1、专题突破(六)阅读理解型问题阅读理解型问题是近年来中考的常见题型,一般由两部分组成:一是阅读材料;二是考查内容.它要求学生根据阅读获取的信息解答问题,提供的阅读材料主要包括:一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数学公式的推导与应用过程,或提供新闻背景材料等.它能较好地体现知识的形成过程,既有考查基础知识的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的.解答这类题时,首先要仔细阅读信息,收集信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法,然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合理判断和推理,进而解决问题.类型一新定义型阅读理解问题(2017,22/2016,1
2、0/2015,18/2014,19)图Z6-1图Z6-1图Z6-1(2)证明:如图,延长BC到点T,四边形FBCD内接于O,FDC+FBC=180,又FDE+FDC=180,FDE=FBC.图Z6-1(3)如图,连接CF,BEC是ABC中BAC的遥望角,BAC=2BEC,BFC=BAC,BFC=2BEC.BFC=BEC+FCE,BEC=FCE,FCE=FAD,BEC=FAD,又FDE=FDA,FD=FD,FDE FDA(AAS),DE=DA,AED=DAE.AC是O的直径,ADC=90,AED+DAE=90,AED=DAE=45.图Z6-1 题型精练1.2020重庆B卷在数的学习过程中,我们总
3、会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数“好数”.定义:对于三位自然数n,各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数n为“好数”.例如:426是“好数”,因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除;643不是“好数”,因为6+4=10,10不能被3整除.(1)判断312,675是否是“好数”?并说明理由.(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.1.2020重庆B卷在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数“好数”.定义:对于三位
4、自然数n,各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数n为“好数”.例如:426是“好数”,因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除;643不是“好数”,因为6+4=10,10不能被3整除.(1)判断312,675是否是“好数”?并说明理由.解:(1)312是“好数”,675不是“好数”.理由如下:312是“好数”,因为3,1,2都不为0,且3+1=4,4能被2整除;675不是“好数”,因为6+7=13,13不能被5整除.(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.(2)设n=100a+10b+c(a,b,c为整数且6a9,1b
5、4,1c9).由题意,得a+b=mc(m为正整数),a=b+5,所以2b+5=mc.又因为2b+5为奇数,所以m,c同时为奇数.当b=1时,a=6,mc=7,则m=7,c=1或m=1,c=7,此时“好数”有2个:611,617;当b=2时,a=7,mc=9,则m=9,c=1或m=1,c=9或m=3,c=3,此时“好数”有3个:721,729,723;当b=3时,a=8,mc=11,则m=11,c=1,此时“好数”有1个:831;当b=4时,a=9,mc=13,则m=13,c=1,此时“好数”有1个:941.所以共有“好数”:2+3+1+1=7(个).综上所述,百位数字比十位数字大5的所有“好数
6、”共有7个.2.2018山西百校联考皮诶尔德费马,17世纪法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”.1638年勒奈笛卡儿邀请费马思考关于到三个顶点距离为定值的函数问题,费马经过思考并由此提出费马点的相关结论.定义:若一个三角形的最大内角小于120,则在其内部有一点,可使该点所对三角形三边的张角均为120,此时该点叫做这个三角形的费马点.例如,如图Z6-2,点P是ABC的费马点.图Z6-2请结合阅读材料,解决下列问题:已知:如图,在锐角三角形DEF中.(1)尺规作图,并标明字母.在DEF外,以DF为一边作等边三角形DFG;作DFG的外接圆O;连接EG交O于点M.(2)求证:(1)中的点M是
7、DEF的费马点.解:(1)如图.(2)求证:(1)中的点M是DEF的费马点.(2)证明:连接DM,MF.DFG是等边三角形,DFG=FDG=60.DMG=FMG=60.DMF=DMG+FMG=60+60=120,DME=180-DMG=180-60=120,FME=180-FMG=180-60=120.点M是DEF的费马点.1图Z6-3(1)特例感知:如图Z6-3,已知边长为2的等边三角形ABC的重心为点O,求OBC与ABC的面积.(3)性质应用:如图,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,连接BE交对角线AC于点M.若正方形ABCD的边长为4,求EM的长度;(3)性质应用:如图,在正方形AB
8、CD中,点E是CD的中点,连接BE交对角线AC于点M.若SCME=1,求正方形ABCD的面积.5.2020常州如图Z6-4,I与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为H,且交I于P,Q两点(Q在P,H之间).我们把点P称为I关于直线a的“远点”,把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”.(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,点E的坐标为(0,4),半径为1的O与两坐标轴交于点A,B,C,D.过点E画垂直于y轴的直线m,则O关于直线m的“远点”是点(填“A”“B”“C”或“D”),O关于直线m的“特征数”为;图Z6-4图Z6-4(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,点E的坐标为(0,4),
9、半径为1的O与两坐标轴交于点A,B,C,D.过点E画垂直于y轴的直线m,则O关于直线m的“远点”是点(填“A”“B”“C”或“D”),O关于直线m的“特征数”为;解:(1)D10解析根据定义得O关于直线m的远点是点D;O关于直线m的特征数为DBDE=1-(-1)4-(-1)=25=10.类型二推理论证型阅读理解问题(2020,20/2019,21/2018,21/2016,19)例22017山西模拟阅读与思考:婆罗摩笈多(Brahmagupta)是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数概念及加减法运算仅晚于中国九章算术,
10、而他的负数乘除法法则在当时的全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明过程如下:已知:如图Z6-5,四边形ABCD内接于O,对角线ACBD于点P,PMAB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN.证明:在ABP和BMP中,ACBD,PMAB,BAP+ABP=90,BPM+MBP=90.BAP=BPM.DPN=BPM,BAP=BDC,(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分;(2)已知:如图,ABC内接于O,B=30,ACB=45,AB=2,点D在O上,BCD=60,连接AD,与BC交于点P,作PMAB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长
11、为.图Z6-5证明:在ABP和BMP中,ACBD,PMAB,BAP+ABP=90,BPM+MBP=90.BAP=BPM.DPN=BPM,BAP=BDC,(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分;图Z6-5解:(1)DPN=PDN.DN=PN.同理,CN=PN,CN=DN.(2)已知:如图,ABC内接于O,B=30,ACB=45,AB=2,点D在O上,BCD=60,连接AD,与BC交于点P,作PMAB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为.(2)1解析ACB=45,BCD=60,ACD=45+60=105.又D=B=30,DAC=180-ACD-D=45.APC=180-4
12、5-45=90,ADBC,APC是等腰直角三角形.PA=PC,CPD=APB=90.题型精练1.2020山西20题阅读与思考下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.年月日星期日没有直角尺也能作出直角今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图Z6-6所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况,要过AB上的一点C作出AB的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?图Z6-6办法一:如图,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm,然后分别以D,C为圆心,以50cm与40cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则DCE必为9
13、0.办法二:如图,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长,在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则RCS=90.图Z6-6我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢?任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是_;(2)根据“办法二”的操作过程,证明RCS=90;(3)尺规作图:请在图的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹
14、,不写作法);说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).图Z6-6勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形)(2)根据“办法二”的操作过程,证明RCS=90;(2)证明:由作图方法可知:QR=QC,QS=QC,QCR=QRC,QCS=QSC.又SRC+RCS+RSC=180,QCR+QCS+QRC+QSC=180.2(QCR+QCS)=180.QCR+QCS=90.即RCS=90.(3)尺规作图:请在图的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).(3)如图,
15、直线CP即为所求.答案不唯一,如:三边分别相等的两个三角形全等(或SSS);等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(或等腰三角形“三线合一”);到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上等.2.2019山西21题阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)(图Z6-7)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.下面就是欧拉发现的一个定理:在ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI2=R2-2Rr.如图Z6-8,O和I分别是ABC的外接圆和内切圆,I与AB相切于点F,设O的
16、半径为R,I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr.图Z6-7图Z6-8图Z6-8任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN=(用含R,d的代数式表示);(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;(3)请观察式子和式子,并利用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;(4)应用:若ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则ABC的外心与内心之间的距离为cm.R-d(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;(2)BD=ID.理由如下:点I是ABC的内心,BAD=C
17、AD,CBI=ABI.DBC=CAD,BID=BAD+ABI,DBI=DBC+CBI,BID=DBI,BD=ID.(3)请观察式子和式子,并利用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;(3)由(2)知,BD=ID,IAID=DEIF.又IAID=IMIN,DEIF=IMIN.2Rr=(R+d)(R-d).R2-d2=2Rr.d2=R2-2Rr.(4)应用:若ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则ABC的外心与内心之间的距离为cm.图Z6-9图Z6-10图Z6-11图Z6-10解:(1)又A=C,MBA MGC.MB=MG.又MDBC,BD=GD.C
18、D=CG+GD=AB+BD.图Z6-114.2019嘉兴小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故:如图Z6-12,在ABC中,ADBC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作:如图,任意画ABC,在AB上任取一点P,画正方形PQMN,使Q,M在BC边上,N在ABC内,连接BN并延长交AC于点N,画NMBC于点M,NPNM交AB于点P,PQBC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”.图Z6-
19、12图Z6-12(1)温故:如图Z6-12,在ABC中,ADBC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.(3)推理:证明图中的四边形PQMN是正方形.图Z6-13图Z6-136.请阅读下列材料,并完成相应的任务:双心四边形及其性质我们知道,每个三角形都有一个外心和一个内心,它们分别是该三角形外接圆和内切圆的圆心,四边形就不同了,通过画图可以知道,圆内接四边形通常没有内切圆,圆外切四边形往往又没有外接圆,很难两全其美.定义:既有内切圆,又有外接圆的四边形叫做双心四边形.有没有双心四边形呢?答案是肯定的,并且双心四边形具有
20、很多性质.牛顿定理3:圆外切四边形对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线交点重合.(注:艾萨克牛顿(1643年1月1727年3月),英国皇家学会会长,英国著名的物理学家,百科全书式的“全才”,他和阿基米德、高斯并列为世界三大数学家)根据以上定理可知双心四边形有以下性质:性质:双心四边形对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线交点重合.如图Z6-14,这个性质可叙述为:已知四边形ABCD是双心四边形,E,F,G,H是四边形上与其内切圆相切的切点,则AC,BD,EG,FH四线相交于一点K.人们在研究双心四边形时,还得出了一些其他的性质图Z6-14任务:(1)请直接写出一种特殊四边形,使其一定
21、是双心四边形;(2)如图,已知四边形ABCD是双心四边形,点O为其内切圆的圆心,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边与其内切圆相切的切点,AC,BD相交于点K,连接HF,EG,请证明以下性质:AKH=BKF(等角性质);HFEG(垂直性质).图Z6-14解:(1)正方形.(2)如图,已知四边形ABCD是双心四边形,点O为其内切圆的圆心,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边与其内切圆相切的切点,AC,BD相交于点K,连接HF,EG,请证明以下性质:AKH=BKF(等角性质);HFEG(垂直性质).(2)证明:如图,连接OH,OF.由牛顿定理3得AC,BD,EG,FH四线相交于一点K.四边形ABCD为大圆的内接四边形,CAD=CBD.OH=OF,OHF=OFH.H,F为四边形ABCD与其内切圆的切点,OHAD,OFBC.AHO=BFO=90,AHO+OHF=BFO+OFH,即AHF=BFH.在AKH和BKF中,AKH=180-CAD-AHF,BKF=180-CBD-BFH,AKH=BKF.
