1、重难突破专题(二)实践与应用题型解读现实生活中存在大量的有关数量关系的问题,需要从所研究的问题中捕捉数量关系,建立相应的数学模型方程(组)、不等式(组)、函数表达式,再通过对数学模型的研究,使原问题获得解决,为此同学们要过好三关:1.审题关.应用题出题形式多样,如利用对话或图表呈现相关信息.对于文字叙述冗长的问题,要从数学的角度去除无关信息,抓住有用信息,捕捉数量关系,为此学生要提高阅读能力和搜集信息的能力.2.转化关.在分析数量关系时要抓住反映数量关系的关键词语,如“共”“少”“是”“剩下”等,根据相等、不等关系分别列方程(组)、不等式(组),根据变量之间的对应关系列函数表达式,切忌混淆数量
2、关系,建立错误的数学模型.3.解题关.加强解方程(组)、不等式(组)的训练,确保求解正确,充分考虑结果的多样性,使答案简明、准确.在空间与图形的综合题中,常遇到求未知几何量或探索存在性问题,可通过探索图形性质,寻找未知几何量和已知几何量之间的等量关系或不等关系,列出方程(组)或不等式(组),利用其有解、无解探索存在性问题,通过求解来求几何量.类型一建立方程、不等式模型解决问题例12019泸州某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车,若购买A型汽车4辆,B型汽车7辆,共需310万元;若购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元.(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?(2)该公
3、司计划购买A型和B型两种汽车共10辆,费用不超过285万元,且A型汽车的数量少于B型汽车的数量,请你给出费用最省的方案,并求出该方案所需费用.(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?【分层分析】(1)设A型汽车每辆的价格为x万元,B型汽车每辆的价格为y万元,根据“购买A型汽车4辆,B型汽车7辆,共需310万元;购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;例12019泸州某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车,若购买A型汽车4辆,B型汽车7辆,共需310万元;若购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元.(2)该
4、公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆,费用不超过285万元,且A型汽车的数量少于B型汽车的数量,请你给出费用最省的方案,并求出该方案所需费用.【分层分析】(2)根据题意列出不等式组,找其整数解即可.【方法点析】解答此类问题的关键是仔细审题,将题中相等、不等关系用方程(组)、不等式(组)表示出来.用方程思想解决数学问题要敢于设元,设多个元,有时可使问题简单化.类型二建立函数模型解决问题例22019湖州某校的甲、乙两位老师同住一小区,该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校,出发10分钟后乙再出发,乙从小区先骑公共自行车,途经学校又骑行若干米到达还车点后,立即步行走回学校.已知甲步行的速度
5、比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x(分),图Z2-1中线段OA和折线BCD分别表示甲、乙离开小区的路程y(米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象;图表示甲、乙两人之间的距离s(米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象(不完整).角度1分段函数问题图Z2-1根据图和图中所给信息,解答下列问题:(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程;(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离;(3)在图中,画出当25x30时s关于x的函数的大致图象.图Z2-1(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程;【分层分析】(1)根据图中的数据可求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小
6、区的路程;解:(1)240030=80(米/分),8010=800(米),甲步行的速度是80米/分,乙出发时甲离开小区的路程为800米.(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离;【分层分析】(2)求出OA的解析式,将x=18代入OA的解析式,可求得点E的纵坐标,进而可求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离;(2)设直线OA的解析式为y=kx,30k=2400,解得k=80,直线OA的解析式为y=80 x,当x=18时,y=8018=1440,则乙骑自行车的速度为1440(18-10)=180(米/分),乙骑自行车的时间为25-10=15(分),乙骑自行车的
7、路程为18015=2700(米),乙到达还车点时,甲、乙两人之间的距离为2700-2580=700(米).(3)在图中,画出当25x30时s关于x的函数的大致图象.【分层分析】(3)先根据乙步行的速度求出其到达学校的时间,再补图.(3)当25x30时,s关于x的函数的大致图象如图.例32019青岛某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图Z2-2所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w
8、(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?角度2最值问题图Z2-2例32019青岛某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图Z2-2所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式.【分层分析】(1)由图象可知一次函数图象过点(30,100),(45,70),利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式.图Z2-2例32019青岛某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足
9、一次函数关系,其图象如图Z2-2所示.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?角度2最值问题图Z2-2【分层分析】(2)销售单价为x元,则每件商品利润为(x-30)元,根据每天获得利润=每件商品利润销售量可求得w与x的函数表达式,再根据自变量x的取值范围求出最大值.(2)由题意得:w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,-20,故当x55时,w随x的增大而增大,而30 x50,当x=50时,w有最大值,此时,w=1200,故销售单价定为50元时,才能使销售该商品每天的利润最大,
10、最大利润是1200元.例32019青岛某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图Z2-2所示.(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?【分层分析】(3)由w800,可求得x的取值范围,再根据一次函数的增减性求得y的最小值.图Z2-2(3)由题意得:(x-30)(-2x+160)800,解得:40 x70,每天的销售量y=-2x+16020,每天的销售量最少应为20件.【方法点析】此类问题考查的是方程、不等式、函数在实际生活中的灵活运用,主要是根据题意列出方程、不等式
11、、函数表达式,利用函数的增减性求最值,难点在于读懂题目信息,列出相关的表达式.题型精练1.2019济宁小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图Z2-3中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.图Z2-3解:(1)从线段AB得:两人从相距30 km的两地同时出发,1 h后相遇,则v小王+v小李=30 km/h,小王从甲地到乙地行驶了3 h,v小王=303=10(km/
12、h),v小李=20 km/h.题型精练1.2019济宁小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图Z2-3中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.图Z2-3图Z2-32.2019荆州为拓展学生视野,促进书本知识与生活实践的深度融合,荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动.在此次活动中,若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带
13、6名学生.现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示:学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元,为安全起见,每辆客车上至少要有2名老师.甲型客车乙型客车载客量(人/辆)3530租金(元/辆)400320(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少要有2名老师,可知租车总辆数为辆.(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?甲型客车乙型客车载客量(人/辆)3530租金(元/辆)400320(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少要有2名老师,可知租车总辆数为辆.甲型客车乙型客车载客量(人/辆)3530租金(元/
14、辆)400320答案8(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?甲型客车乙型客车载客量(人/辆)3530租金(元/辆)400320图Z2-4(2)在小轿车司机驶过景点入口时,大客车离景点入口还有多远?(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速.(4)若大客车一直以出发时的速度行驶,中途不再停车,那么小轿车折返到达景点入口,需等待min,大客车才能到达景点入口.图Z2-4图Z2-4答案40515图Z2-4图Z2-4(4)若大客车一直以出发时的速度行驶,中途不再停车,那么小轿车折返到达景点入口,需等待min,大客车才能到达景点入口.答案10图Z2-4
