1、专题20角度与线段的和差证明目录1考法透析2考法示例2精题精练1考法透析上一页下一页返回导航2020年重庆数学中考第26题是相关证明，考查学生对几何图形的性质、判定的正确理解和应用.前几年以四边形为主，2014年是以三角形为基础的证明，2018年是以四边形为基础的证明.三角形与四边形可以根据图形的特征进行转化，比如有30、45、60等特殊角时，可由三角形构造平行四边形，也可将平行四边形转化为三角形.通过本专题的训练，培养学生对三角形有关的证明的能力，正确观察理解题目的含意，并根据所给条件、结合图形给出正确的证明过程.2考法示例上一页下一页返回导航与角有关的证明常见有“角平分线”“直角”“等腰直
2、角三角形”“含30的直角三角形”；常用的方法有“对顶角”“邻补角”“余角”“补角”“三线八角”“8字形”“角平分线的性质”“直角三角形两锐角互余”“30角所对的直角边等于斜边的一半”“四点共圆”“三角形内角和为180”“多边形内外角和”等方法.类型1上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）如图2，将AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30120时，猜想DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出ADN的面积.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）结论：D
3、NM120是定值.证明：如图，连接BE，CF.同法可证BAE CAF（SAS），ABEACF.ABCACB6060120，EBCBCFABCABEACBACF120.ENNC，EMMF，MNCF，上一页下一页返回导航ENMECF.BDDC，ENNC，DNBE，CDNEBC.ENDNDCNCD，DNMDNEENMNDCDCNECFEBCACBACFEBCBCF120.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航1.（2020南岸区校级期末）如图，点E为 ABCD中一点，EAED，AED90，点F，G分别为AB，BC上的点，连接DF，AG，ADAGDF，且AGD
4、F于点H，连接EG，DG，延长AB，DG相交于点P.（1）若AH6，FH2，求AE的长；（2）求证：P45；（3）若DG2PG，求证：AGEEDG.变 式 训 练上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航PPAM45，AMPMDG.AEDAMD90，ANEMND，MAEGDE.又AEDE，AMDG，AEM DEG（SAS），EMEG，AEMDEG，AEDGEM90.上一页下一页返回导航又EMEG，EGMEMG45.ADAG，AGDADG，AGEEGM45AGEADEEDG45EDG，AGEEDG.上一页下一页返回导航与边有关的证明常见有
5、“等腰三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”“特殊四边形”等；常用的方法有“对称”“旋转”“三线合一”“平行线法”“全等”“相似”“平行线分线段成比例”.类型2上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）如图2，若AE平分BAC，求证：FGHG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cosHDO的值.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航可得AMD67.5BFO，可得FGGM.由“ASA”可证AGM AGH，可得GMHGFG；（3）由题意可知，当点E与点B重合时，HE的长度有最大值，过点F作FNBD，利用OB分别表示FN，DN，FD，
6、即可求解.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）证明：如图，延长HG交AB于M.四边形ABCD是正方形，OABOBAOADODA45，ACBD，AODOBO.AE平分BAC，BAEEAO22.5，DEA9022.567.5DAE22.545，ADDEAB，ABAFDEOE，上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航AMD67.5BFO，FGGM.BAEEAO，AGAG，AGHAGM90，AGM AGH（ASA），GMGH，FGHG.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航变 式 训 练上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航AGEG，APEP.四边形ABCD是平行四边
7、形，ADBC，GAEACB45，AGE是等腰直角三角形，即AGE90.PAE90GAE45，APEP，APE是等腰直角三角形，即APE90，APEPAGAGE90.上一页下一页返回导航又AGEG，四边形APEG是正方形，PFEF，APAGCH.又BFCF，BPCE.APG45BCF，APBHCE135，APB HCE（SAS），BAEH.又BABE，EBEH.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）证明：作AQBE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图所示.ABAE，AQBE，BQEQ，AP是BE的垂直平分线，PBPE，PBEPEB.又ABEAEB，ABP
8、AEP.ABCD，AFCD，AFAB，BAF90.上一页下一页返回导航AQBE，ABGFAP.在ABG和FAP中，ABG FAP（ASA），AGFP.ABCD，ADBC，ABGFAP,AB=AF,BAGAFP=90,上一页下一页返回导航ABPBPC180，BCPD.又AEPPED180，BPCPED.在BPC和PED中，BPC PED（AAS），PCED，EDAGPCFPFC.BCPD,BPCPED,PB=PE,3精题精练上一页下一页返回导航1.在等腰直角ABC中，ABAC，BAC90，以CA为边在ACB的另一侧作ACMACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CEBD，连接AD、DE
9、、AE.（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出ADE的度数；上一页下一页返回导航（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，作AHBC，垂足为H，作AGEC，垂足为G，连接HG，判断GHC的形状，并说明理由.上一页下一页返回导航解：（1）ADE45.ABAC，BAC90，ABCACB45.ACMACB，ACMABC.在ABD和ACE中，ABAC,ABCACE,BD=CE,上一页下一页返回导航ABD ACE（SAS），ADAE，CAEBAD，DAEBAC90，ADE
10、45.上一页下一页返回导航（2）（1）中的结论成立.证明：BAC90，ABAC，BACB45.ACMACB，BACM45.在ABD和ACE中，ABAC,ABCACE,BD=CE,上一页下一页返回导航ABD ACE（SAS），ADAE，BADCAE，CAEDACBADDACBAC90，即DAE90.ADAE，ADEAED45.上一页下一页返回导航（3）CGH为等腰直角三角形.理由：如图.BCAACE45，GCH90.又AHBC，AGCE，AGAH.ACGGAC45，上一页下一页返回导航AGCG.ABAC，AHBC，HCAHAC45，AHHC，CHCG，CGH为等腰直角三角形.上一页下一页返回导航
11、上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）证明：如图，作GHBC，交CD于点H，则四边形AGHD为平行四边形，ADGH，ABHD，BGCH.EGAB，ABCD，FGCD，GFH90.AEBC，GHBC，AEGH，GAEAGH90.上一页下一页返回导航又FGHAGH90，GAEFGH.AEAD，GHAD，AEGH.在AGE和GFH中，AGE GFH（AAS），EGFHFCCH.又CHBG，EGBGFC.GAEFGH,AGEGFH90,AE=GH,上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下
12、一页返回导航（1）解：如图，延长CB至H，使EHBC，连接DH.DBDE，DBEDEB，DEHDBC，且DEDB，EHBC，DEH DBC（SAS），DHDC.ABC是等边三角形，C60，ACBC，上一页下一页返回导航DHC是等边三角形，DCCH.CA AD3 7，设AD7a，AC3aBCEH，CDCH7a3a10a，BECHEHBC10a3a3a4a4，a1，ECEBBC4a3a7a7.上一页下一页返回导航（2）证明：证明：如图，延长CB至H，使EHBC，连接DH，延长BF至G，使BGBD.由（1），得DEH DBC，DHC是等边三角形，HDECDB，HDC60，HDBEDF.BGBD，DB
13、F60，DBG是等边三角形，DBBGDG，BDGHDC60，上一页下一页返回导航HDBFDG，EDFFDG，且DEBDDG，DFDF，DEF DGF（SAS），EFFG，DEFDGB60，BFEFBFFGBGBD.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（3）在（2）的条件下，若ACB45，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（2）证明：如图，在MC上取一点P，使MPDE，连接AP.BDE是等边三角形，BED60，BEDE，DEC120，BEPM.AEAM，AEMAME，AEBAMP，ABE
14、 APM（SAS），上一页下一页返回导航APMABC60，APC120DEC.过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，MPQAPC120DEC.ACCD，ADCDAC，CDE180BDEADC18060DAC120DAC.上一页下一页返回导航在ABC中，ACB180ABCDAC120DACCDE.MQAC，PMQACB，PMQEDC，MPQ DEC（ASA），MQCD，ACMQ，APC QPM（AAS），CPMP，CMMPCP2DE，即2DEMC.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航190上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC4，则当ABM是直角三角形时，求线段AD的长.上一页下一页返回导航解：（1）190ABCDBE90，ABCABEDBEABE，即CBEABD.ACBBED45，ACBCAB45，BEDBDE45，ABCB，DBEB，ABD CBE（SAS），上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航
