1、类型一构造含类型一构造含45角的直角三角形角的直角三角形(倍的数量关系倍的数量关系)2专题十二几何探究题专题十二几何探究题例例1如图，正方形如图，正方形ABCD和正方形和正方形CEFG(其中其中BD2CE)，BG的延长线的延长线与直线与直线DE交于点交于点H，连接，连接CH.求证：求证：BHDH CH.2【思维教练】【思维教练】要证要证BHDH CH，可将，可将BHDH转化到同一转化到同一线段上，通过全等证明三角形的特殊性，根据特殊线段上，通过全等证明三角形的特殊性，根据特殊三角形的线段关系即可得证三角形的线段关系即可得证2例1题图在正方形在正方形ABCD和正方形和正方形CEFG中，中，BCC
2、D，CGCE，BCDGCE90，BCG90GCDDCE，BCGDCE(SAS)，CBKCDH，BKDH，BCDC，BCKDCH(SAS)，CKCH，BCKDCH，例1题图K证明：如解图，在线段证明：如解图，在线段BG上截取上截取BKDH，连接，连接CK，KCHBCD90，KCH是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，HK CH，BHDHBHBKKH CH.22例1题图K1.若题中已知若题中已知45角，常通过角，常通过作垂线构造等腰直角三角形；作垂线构造等腰直角三角形；2.若题中无若题中无45角，常通过寻角，常通过寻找直角，作腰相等构造等腰直找直角，作腰相等构造等腰直角三角形角三角形提 分 要 点提
3、 分 要 点类型二构造含类型二构造含30角的直角三角形角的直角三角形(、倍的数量关系倍的数量关系)312例例2如图，如图，ABC为等边三角形，为等边三角形，D是边是边AB上一点，连接上一点，连接CD，E是线是线段段CD上一点，连接上一点，连接AE，BE，使得，使得AEBE，且，且AED2BED，求，求证：证：CE BE.33例2题图【思维教练】【思维教练】要证要证CE BE，可将，可将CE和和BE转化到含转化到含30的直角的直角三角形中，根据其线段关系即可得证三角形中，根据其线段关系即可得证33证明：如解图，在证明：如解图，在CD上截取上截取CFAE，过点，过点F作作FGBE于点于点G，连接连
4、接FB，AEBE，AED2BED，AED60，BED30，ABC为等边三角形，为等边三角形，ACB60，ACCB，EACACD60，ACDFCB60，EACFCB，FG例2题图FG例2题图ACECBF(SAS)，CEBF，AECCFB，BFDAED60，BED30，EBF30，EFBF，EFB是等腰三角形，是等腰三角形，,ACCBEACFCBAECF 在在ACE和和CBF中，中，FGBE，EGGB，在在RtBFG中，中，BF BG，BF BE，CE BE.332 3333FG例2题图1.若题中已知若题中已知30角，常通过角，常通过作垂线构造含作垂线构造含30角的直角三角的直角三角形；角形；2.
5、若题中无若题中无30角，常通过寻角，常通过寻找直角，截长补短构造含找直角，截长补短构造含30角的直角三角形角的直角三角形.提 分 要 点提 分 要 点微点突破微点突破 截长补短构造线段和差截长补短构造线段和差1.遇角平分线构造对称图形遇角平分线构造对称图形如图，在如图，在ABC中，中，12.(1)截长法截长法(在在AB上截取上截取AEAC，连接连接DE，则有，则有ACDAED)(2)补短法补短法(延长延长AC到点到点F，使得使得AFAB，连接连接DF，则有则有ABDAFD)提 分 要 点提 分 要 点2.遇垂线构造对称图形遇垂线构造对称图形(1)截长法截长法(2)补短法补短法例例1如图，在如图
6、，在ABC中，中，C2B，AD平分平分BAC.求证：求证：ACCDAB.例1题图【思维教练】【思维教练】要证要证ACCDAB，可用截长法构造全等三角形，可用截长法构造全等三角形，结合角度之间的关系得到线段之间的关系，即可结合角度之间的关系得到线段之间的关系，即可得证得证例1题图AD是是BAC的平分线，的平分线，DAFDAC，在在ADF和和ADC中，中，DAFDAC(SAS)，DFCD，AFDC，C2B，,AFACDAFDACADAD F证明：如解图，在证明：如解图，在AB上截取上截取AFAC，连接，连接DF，AFD2B，AFDBBDF，BDFB，BFDF，BFCD，ACCDAFBFAB.例1题
7、图F例例2如图，在如图，在ABC中，中，B60，D是是BC上一点，且上一点，且ADAC，在，在AB边上取一点边上取一点F，使，使DFDB.求证：求证：AFBC.例2题图【思维教练】【思维教练】要证要证AFBC，可用补短法构造全等三角形，可用补短法构造全等三角形，结合已知可得到特殊三角形，从而得到线段结合已知可得到特殊三角形，从而得到线段之间的关系，即可得证之间的关系，即可得证ADAC，ADCACD，180ADC180ACD，即即ADBACE，在在ABD和和AEC中，中，ABDAEC(SAS)，,ADACADBACEBDEC E证明：如解图，延长证明：如解图，延长BC到到E，使，使CEBD，连接
8、，连接AE，例2题图ABAE，B60，DFDB，ABE与与DBF为等边三角形，为等边三角形，ABBE，BFBDCE，ABBFBECE，即即AFBC.E例2题图例例3如图，在如图，在ABC中，中，B2C，ADBC于点于点D.求证：求证：CDBDAB.例3题图【思维教练】【思维教练】要证要证CDBDAB，可构造等腰三角形并根，可构造等腰三角形并根据等腰三角形的性质转化边之间的关系，从据等腰三角形的性质转化边之间的关系，从而得证而得证P例3题图证明：如解图，在证明：如解图，在DC上截取上截取DPBD，连接，连接AP，令令C，BDDP，ADBC，ABAP，BAPB2.CPACAPB，CPAC，APPC
9、，CDDPPCBDAB.令令C，BPAB，BAPP，BAPPABD2，PBAP，ABD2C2，PC，P例3题图【一题多解】【一题多解】方法一：如解图，延长方法一：如解图，延长DB至至P，使，使BPAB，连接，连接AP，APAC，又又ADPC，DPDC，DCDPBDPBBDAB.P例3题图令令C，DPDC，ADPC，APAC，CP，又又ABCC2，PPAB，ABPB，DCDPDBBPDBAB.P例3题图方法二：如解图，延长方法二：如解图，延长DB至至P，使，使DPDC，连接，连接AP，微点突破微点突破 半角模型半角模型解题思路：解题思路：找共顶点的等边；旋转等边所在的三角形使得两条等边重合，构造
10、找共顶点的等边；旋转等边所在的三角形使得两条等边重合，构造全等三角形；注意是否要考虑三点共线全等三角形；注意是否要考虑三点共线1.含含45角的半角模型角的半角模型已知正方形已知正方形ABCD中，中，EAF45，旋转，旋转ADF至至ABG.结论：结论：AEFAEG；EFEGBEDF.提 分 要 点提 分 要 点2.含含60角的半角模型角的半角模型已知已知ABC为等边三角形，为等边三角形，BDC120，BDCD，旋转，旋转BDE至至CDG.结论：结论：DEFDGF；EFGFBECF.3.含含30角的半角模型角的半角模型已知已知ABC是等边三角形，是等边三角形，DAE30，旋转，旋转ABD至至ACF
11、.结论：结论：ADEAFE；ECF120；CECFBCABAC.例例1 如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E、F分别在边分别在边BC、CD上，分别连上，分别连接接EF、AE、AF，EAF45.求证：求证：(1)EFBEDF；例1题图【思维教练】【思维教练】要证要证EFBEDF，可通过旋转，可通过旋转ADF将将BEDF转化到同一线段上，结合三角形全等即可得证转化到同一线段上，结合三角形全等即可得证四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，BADDABC90，由旋转的性质可得，由旋转的性质可得，ABGD90，DAFBAG，AFAG，BGDF，GAEBAGBAEDAFBAEBADEAF9
12、04545EAF，在在AEF和和AEG中，中，例1题图G证明：证明：(1)如解图，将如解图，将ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90，得到，得到ABG，AEFAEG(SAS)，EFEG.ABGABC9090180，G、B、E三点共线三点共线EFEGBEBGBEDF；,AFAGFAEGAEAEAE G例1题图(2)AF平分平分EFD.例1题图【思维教练】【思维教练】要证要证AF平分平分EFD，根据三角形全等得到角度的相，根据三角形全等得到角度的相等关系，从而得证等关系，从而得证(2)由由(1)得得AEFAEG，AFEAGEAFD，AF平分平分EFD.例例2如图，如图，ABC是等边三角形，是等边
13、三角形，BDC是等腰三角形，是等腰三角形，BDCD，BDC120，以，以D为顶点作一个为顶点作一个60角，角的两边分别交角，角的两边分别交AB、AC边边于于M、N两点，连接两点，连接MN.(1)探究探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；之间的关系，并说明理由；例2题图【思维教练】【思维教练】要探究三条线段之间的关系，可通过三角形旋转将要探究三条线段之间的关系，可通过三角形旋转将其中两边转化到同一线段上，利用三角形全等即可其中两边转化到同一线段上，利用三角形全等即可得证三条线段之间的关系得证三条线段之间的关系MBDECD，MDDE，BDMCDE，又又BDC120，MDN60，点点A，C，E
14、三点共线，三点共线，BDMNDCBDCMDN60，CDENDC60，即，即NDE60，MDNNDE，例2题图E解：解：(1)MNBMNC；理由如下：如解图，将理由如下：如解图，将BDM绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转120，得到，得到CDE，在在DMN和和DEN中，中，DMNDEN(SAS)，MNEN，又又NENCCE，BMCE，MNBMNC；,DMDEMDNEDNDNDN E例2题图(2)若若ABC的边长为的边长为2，求，求AMN的周长的周长【思维教练】【思维教练】要求要求AMN的周长，可将的周长，可将AMN的各边转化到已知线段长中，的各边转化到已知线段长中，结合等边三角形性质求解即可结合等边
15、三角形性质求解即可E例2题图(2)ABC为等边三角形，为等边三角形，ABBCAC2，由由(1)可得，可得，BMCE，MNEN，AMN的周长的周长AMMNANAMNEANAMANNCCEAMANNCBM(AMBM)(NCAN)ABAC224.E例2题图 微点突破微点突破 图形旋转构造全等、相似三角形图形旋转构造全等、相似三角形1.共顶点等腰三角形旋转构造全等三角形：共顶点等腰三角形旋转构造全等三角形：如图，已知等腰如图，已知等腰OAB，OAOB，等腰，等腰OCD，OCOD，将，将OCD绕点绕点O旋转，旋转，E为为AC、BD的交点的交点结论：结论：OACOBD；ACBD；AEBAOB；连接连接OE
16、，则则OE平分平分AED.提 分 要 点提 分 要 点2.共顶点不等边三角形旋转构造相似三角形：共顶点不等边三角形旋转构造相似三角形：如图，已知如图，已知OAB，OABOCD，将，将OCD绕点绕点O旋转，直线旋转，直线AC与与BD交于点交于点E.结论：结论：OACOBD；AEBAOB.ACBDOAOB例例1在在ABC和和ADE中，中，BACDAE.(1)如图如图，若，若ABAC，ADAE，BAC52，BD与与CE交于点交于点F，求求BFC的度数；的度数；【思维教练】【思维教练】要求要求BFC的度数，可通过边角关系，证得三角形全等，的度数，可通过边角关系，证得三角形全等，从而得到角的关系，根据三
17、角形内角和为从而得到角的关系，根据三角形内角和为180即可求得即可求得例题图(1)解：解：BACDAE，BACCADDAECAD，即即BADCAE.ABAC，ADAE，BADCAE(SAS)，ACEABD，FBCBCFFBCACBACEABCACB180BAC18052128，BFC180FBCBCF52；例题图(2)如图如图，若若ABC和和ADE均为等边三角形均为等边三角形，且点且点D在在BC边上边上，连连接接CE.求证：求证：CACECD；例题图【思维教练】【思维教练】要证要证CACECD，根据两个等边三角形得到角与，根据两个等边三角形得到角与边的相等关系，进而证得三角形全等，从而得到线边
18、的相等关系，进而证得三角形全等，从而得到线段之间的关系，由此即可得证段之间的关系，由此即可得证(2)证明：证明：ABC和和ADE均为等边三角形，均为等边三角形，ABACBC，ADAE，BACDAE60，BACDACDAEDAC，即，即BADCAE.在在BAD和和CAE中，中，BADCAE(SAS)，BDCE，BCBDCDCECD，,ABACBADCAEADAE 例题图CABCCECD；(3)如图如图，若若ABAC，ADAE，M、N分别是分别是BD、CE的中点的中点，连接连接AM，AN，MN.求证：求证：AMNABC.例题图【思维教练】【思维教练】要证要证AMNABC，先通过边角关系证明三角形全
19、等，先通过边角关系证明三角形全等，由此结合角度的转化得到一组角相等，根据两边对应成由此结合角度的转化得到一组角相等，根据两边对应成比例、夹角相等即可得证比例、夹角相等即可得证(3)证明：证明：BACDAE，BACBAEDAEBAE，即即EACDAB，ABAC，ADAE，BADCAE(SAS)，ACEABD，CEBD，点点M、N分别是分别是BD、CE的中点，的中点，CEBD，CNBM，CANBAM(SAS)，例题图ANAM，CANBAM，CANBANBAMBAN，即，即CABNAM，ACAB，ANAM，AMNABC.ANACAMAB例题图类型一与全等三角形有关的问题类型一与全等三角形有关的问题
20、典例精析典例精析例例如图如图，在等边在等边ABC中中，AB6，BDCE,AD、BE交于点交于点F.例题图(1)求证：求证：ABDBCE；【思维教练】【思维教练】根据等边三角形的性质结合题中所给线段关系即根据等边三角形的性质结合题中所给线段关系即可证得可证得.(1)证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABACBC，ABDC60，在在ABD和和BCE中，中，ABDBCE(SAS)；60,ABBCABDBCEBDCE 例题图例题图(2)当当FAE45时时，求求AE的值；的值；【思维教练】【思维教练】由由(1)中结论可判断中结论可判断ABE中有两个特殊角，通过作中有两个特殊角，通过作垂线构造
21、两个特殊直角三角形，简化图形如下图，垂线构造两个特殊直角三角形，简化图形如下图，设出设出AH的值并列等式即可求得的值并列等式即可求得AE的长的长设设AHa，BAE60，ABE45，HEHB a，AH2a，即即a a6，解得，解得a3 3，AE2a6 6；3333H例题图(2)解：如解图，作解：如解图，作EHAB，垂足为，垂足为H，(3)如图如图，连接连接FC，若若CFAD，求证：求证：BD CD.12例题图【思维教练】【思维教练】F点在等边三角形内部时，考虑构造等边三角形，延长点在等边三角形内部时，考虑构造等边三角形，延长BE至至G，使得，使得FGFA，由，由(1)中所证全等结合等边三角形的性
22、质可得中所证全等结合等边三角形的性质可得AFG60，则，则AFG为为_，从而可证得从而可证得ABF_ACG，所以所以AGCAFB_，所以所以FGC60，所以所以AFCG，此时此时_，结合结合30的的RtGFC即可即可得证线段关系得证线段关系等边三角形等边三角形120BDBFDCFG 例题图G(3)证明：如解图，延长证明：如解图，延长BE至至G，使，使FGAF，连接，连接AG，CG，由由(1)知知AFE60，BADCBE，AFG是等边三角形，是等边三角形，FAG60，AFAG，BACFAG60，BACCADFAGCAD，即即BAFCAG，在在BAF和和CAG中，中，BAFCAG(SAS)，ABF
23、ACG，CGBF，又又ABCBAC，BADCBE，ABCCBEBACBAD，即即ABFCAF，ACGCAF，AFCG，,ABACBAFCAGAFAG 例题图GAFC90，AFE60，CFCG，CFG30，FG2CG，FG2BF，FDCG，BD DC.12BFBDFGDC=12例题图G类型二与相似三角形有关的问题类型二与相似三角形有关的问题(2019.23)典例精析典例精析例例(2021科大附中三模科大附中三模)如图如图，在在ABC中中，BAC90，ABAC，D为为BC的中点的中点，F，E是是AC上两点上两点，连接连接BE，DF交于交于ABC内一点内一点G，且且EGF45.例题图(1)如图如图，
24、若若AE3CE3，求求BG的长；的长；【思维教练】【思维教练】要求要求BG的长，根据的长，根据AE3CE3及及ABC为等腰直角三角形，可求出为等腰直角三角形，可求出CE_，AE_，AB_，BC_，BD_，BE_，观察观察BG所在三角形，可简化图形如下图，所在三角形，可简化图形如下图，根据根据EGF45结合对顶角性质，利用两组对角相等的三角形相似，结合对顶角性质，利用两组对角相等的三角形相似，得到得到_，列出对应线段比，代值求解即可列出对应线段比，代值求解即可1344 22 25BGDBCE解：解：(1)AE3CE3，CE1，AE3，ABAC4，A90，BE 5，BC4 ，C45，D是是BC的中
25、点，的中点，BD2 ，CEGFBGD45，DBGCBE，BGDBCE，22ABAE 2243 22 ，即，即 ，BG ；BGBDBCBE=2 254 2BG=165【思维教练】连接【思维教练】连接AD，要证，要证EAGABE，可简化图形，可简化图形如图如图，证明证明ABG_即可，要证三角形相似，即可，要证三角形相似，需得到边的关系，简化图形如图需得到边的关系，简化图形如图，图中图中 ABD _，可得到线段关系为可得到线段关系为_，根据根据(1)中的中的相似三角形得到边的关系为相似三角形得到边的关系为_，等量等量代换即可证得两组对边成比例，其夹角相等代换即可证得两组对边成比例，其夹角相等证得目标
26、三角形相似，即可得证角相等证得目标三角形相似，即可得证角相等(2)如图如图，连接连接AG，求证：求证：EAGABE；例题图EBACBAABBDBCBA BDBGBEBC(2)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD，例题图ABAC，D为为BC的中点，的中点，ADBC，ADB90BAC，ABDABC，ABDCBA，AB2BDBC，由由(1)知：知：BDBCBGBE，ABBDBCAB=AB2BGBE，ABGABE，ABGEBA，AGBBAE90，EAGBAGBAGABE90，EAGABE；ABBEBGAB=例题图(3)若若E为为AC的中点的中点，求求EF FD的值的值【思维教练】【思维教练】要求要
27、求EFFD的值，可简化图形如下，斜的值，可简化图形如下，斜A字型证明字型证明FEG_，得到边的比例关系，根据得到边的比例关系，根据E为为AC的中点，结合的中点，结合(2)中所证得的中所证得的AGEBAE，进行边之间的转化，从而求得线段比值进行边之间的转化，从而求得线段比值FDC(3)FGEC45，EFGDFC，FEGFDC，E是是AC的中点，的中点，AECE，AGEBAE，设设EGm，则，则AG2m，12EGAEAGAB=FEEGFDCD=由由(2)知知AGE90，AE m，ABAC2 m，BC2 m，CD m，.101010FEEGmFDCDm=551010类型三与全等和相似三角形有关的问题
28、类型三与全等和相似三角形有关的问题 典例精析典例精析例例(2020安徽安徽23题题源于沪科八下源于沪科八下P104复习题复习题T9)如图如图，已知四边形，已知四边形ABCD是矩形，点是矩形，点E在在BA的延长线上，的延长线上，AEAD，EC与与BD相交于点相交于点G，与与AD相交于点相交于点F，AFAB.例题图(1)求证：求证：BDEC；【思维教练】【思维教练】要证要证BDEC，即证明即证明EGB_，可证可证GEBEBG90，由由DAB90，_为为ABD和和BEG的公共角，此时可证明两的公共角，此时可证明两三角形的另一组角相等，简化图形如下图，根据题干条件证明三角形的另一组角相等，简化图形如下
29、图，根据题干条件证明AEF_ADB，由此得到角相等，从而得证垂直由此得到角相等，从而得证垂直90EBG(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，点是矩形，点E在在BA的延长线上，的延长线上，EAFDAB90，又又AEAD，AFAB，AEFADB(SAS)，AEFADB，GEBGBEADBABD90，EGB90，即，即BDEC；【思维教练】要求【思维教练】要求AE的长，根据题干已知的长，根据题干已知AFAB_，AEAD，线段所在图形为线段所在图形为AEF和和DCF，则可简化图形如下图，则可简化图形如下图，根据矩形性质得根据矩形性质得_，从而得到线段比例关系为从而得到线段比例关系为_，设设AE
30、a，则则AD_，代入比例关系即可求得代入比例关系即可求得AE的长的长例题图(2)若若AB1，求求AE的长；的长；1AEFDCFAEAFDCDF a(2)由矩形性质知由矩形性质知AECD，AEFDCF，EAFCDF，AEFDCF，即，即AEDFAFDC，设设AEADa(a0)，则有则有a(a1)1，化简得化简得a2a10，解得解得a (负值已舍去负值已舍去)，AE的长为的长为 ；AEAFDCDF 152 152(3)如图如图，连接连接AG，求证：求证：EGDG AG.2例题图【思维教练】要证【思维教练】要证EGDG AG，可观察，可观察EG，AG均在均在AGE中，中，简化图形如下图，根据简化图形
31、如下图，根据AEAD，_ADG，在线段在线段EG上截取上截取EP_，则，则AEP_ADG，此时考虑含此时考虑含 的特殊三角函数值，的特殊三角函数值，证明证明APG为为_，等量代换即可得证线段关系等量代换即可得证线段关系22AEFDG等腰直角三角形等腰直角三角形(3)证明：如解图，在线段证明：如解图，在线段EG上取点上取点P，使得，使得EPDG，连接，连接AP，在在AEP和和ADG中，中，AEPADG(SAS)，APAG，EAPDAG，PAGPADDAGPADEAPDAE90，PAG为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，,AEADAEPADGEPDG P例题图EGDGEGEPPG AG.2【一题多
32、解】方法一：如解图，过点【一题多解】方法一：如解图，过点A作作AG的垂线，与的垂线，与DB的延长线交的延长线交于点于点Q，EAG90DAGDAQ，在在AEG和和ADQ中，中，AEGADQ(SAS)，EGDQ，AGAQ，AGQ为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，,AEGADQAEADEAGDAQ Q例题图EGDGDQDGQG AG.2【一题多解】如解图，在线段【一题多解】如解图，在线段EG上取一点上取一点M，使得，使得MGDG，连接，连接DM，DE，BDEC，DGM为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，MDG45，DM DG，DAB90，ADAE，DAE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，EDA45，DE DA，MDGEDA45，222DEDMDADG=M例题图MDGADMEDAADM，即即EDMADG，EDMADG，EM AG，EGDGEGMGEM AG.222EMDMAGDG=M例题图
