1、二、重难专题精讲优练二、重难专题精讲优练专题十一专题十一 切线的相关证明及切线的相关证明及计算计算突破设问突破设问1切切线判定线判定1.如图，在RtABC中，C90，点D在AB上，以AD为直径的O与BC相交于点E，且AE平分BAC.求证：BC是O的切线；方法一方法一 利用平行利用平行证相切证相切 第1题图证明证明：如解图，连接OE，AE平分BAC，CAEEAD，OAOE，EADOEA，OEACAE，OEAC，OEBC90，OEBC于点E，且点E在O上，BC是 O的切线第 1 题解图 2.如图所示，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O交于BC于点D，DEAC于点E.求证：DE是O的切线第2题图
2、证明证明：如解图，连接OD，AD，以AB为直径作O交BC于点D，ADB90，ABAC，BDDC，AOBO，DO是ABC的中位线，DOAC，DEAC,ODDE，且点D在O上，DE是O的切线 第2题解图方法二方法二 利用角度转化证利用角度转化证相切相切 3.如图所示，ABD是O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是O外一点且DBCA，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.求证：BC是O的切线；第3题图BEC为直角三角形，CDBC90，又BFDF，ABOC，DBCA，DBCBOC，即BOCC90，CBO90，即OBBC，OB是O的半径，BC是O的切线 第3题解图如解图，连接OB，点E是BD
3、的中点，BEDE，OCBD，BFDF，方法方法三利用三角形全等证相切三利用三角形全等证相切(多在多在双切线模型中双切线模型中)4.如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.求证：BE与O相切；第4题图CDBD，即OD垂直平分BC，ECEB，在OCE和OBE中，,OCE OBE(SSS)，OBEOCE90，OBBE，OB是O的半径，BE与O相切OCOBOEOEECEB第4题解图证明证明：如解图，连接OC，CE为O的切线，OCCE，OCE90，ODBC，OCOB，方法方法四四切点不确定作垂直，证半径切点不确定作垂直，证半径 5.如图，在R
4、tABC中，ACB90，BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DC为半径作D.求证：AB是D的切线；第5题图DCDF，DF是D的半径，DFAB于点F，AB是D的切线第5题解图证明证明：过点D作DFAB于点F；ACB90 ACBC，又AD平分BAC，(直径所对圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方法)；(2)若题干中含特殊角度(如30、45、60等角度)或出现三角函数sin、cos、tan等时，一般考虑用三角函数解题；(3)题目中不涉及角度及三角函数值时，一般考虑利用三角形相似计算线段长；(4)运用等面积公式法也可求点到直线的距离类题在圆中求线段长一般有四种方法：(1)遇到有关切线的问题时，一
5、定存在直角三角形，常运用到勾股定理突破设问突破设问2计算线计算线段长度段长度解题思解题思路路第1题图1.如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E.若AEDE，AD16，DE10，求BC的长跟踪训练跟踪训练 在 R t A D C 中，D C 12.设BDx，在RtBDC中，BC2x2122在RtABC中，BC2(x16)2-202 ，x2 122 (x16)2202，解得x9，BC 15.222016 22129 第 1 题 解图解解：BC是O的直径，ACB90，EC是O的切线，DEEC，又AEDE，AEEC，又DE10，AC2DE20.如解图，连接CD
6、，第2题图2.如图，已知O的半径为5，PA是O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交O于点B，过点A作ACPB交O于点C、交PB于点D，连接BC，当P30时，求弦AC的长；在RtODA中，ADOAsin60 ，AC2AD .5 325 3解解：如解图，连接OA.PA 是 O 的 切 线，切 点 为 A，PAO90.P30，AOD60.ACPB，PB过圆心，ADDC，第2题解图3.ABC中，以BC为直径的O交AB边于点E.过点E作O的切线EF，交AC边于点G，交BC边延长线于点F.若FE4，FC2，求O的半径第3题图解解：如解图，连接OE，EC，EF为O的切线，OEEF，CEFOEC90，BC
7、是O的直径，BEC90，BEOOEC90，CEFBEO，OBOE，BBEO，第3题解图BCEF，又FF，FECFBE，=，即FE2FCFB，FE4，FC2，162FB，FB8，BCFBFC826，OBOC3，即O的半径为3.FEFBFCFE突破设问突破设问3求阴影部求阴影部分面积分面积求与扇形有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积进行求解常用方法如下：(1)直接(构造)和差：对图形进行适当分割，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差来计算；(2)等积转化法：通过等面积的转化，利用图形在平移、旋转、对称、同底等高等情况下面积相等，
8、将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算解题思解题思路路跟踪训练跟踪训练 1.如图，AB与O相切于点C，OA、OB分别交O于点D、E，OAOB.若AB4，OA4，计算阴影部分的面积第1题图解解：如解图，连接OC，OAOB，OCAB，ACBC AB ，在RtOAC中，OA4，AC ，由勾股定理得OC 2，sinA ，A30，第1题解图122 32 3OCOA241222OAAC AOC60，EOCAOC60，S阴影SOCBS扇形COE 2 .122 3260 2360 2 3232.如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.若BAC60
9、，OA2，求阴影部分的面积(结果保留)第2题图解解：设EO与AD交于点M，连接ED，BAC60，OAOE，AEO是等边三角形，AEOA，AOE60，AEAOOD2，第2题解图BC是 O的切线，ODBC，又 A C O D，A C O D 即AEOD，四 边 形 A E D O 是 菱 形，则AEM DMO，EOD60，SAEMSDMO，S阴影S扇形EOD .260 2360 23突破设问突破设问4计算角度或证明角相等计算角度或证明角相等(含证含证平行、垂直平行、垂直)(1)根据圆周角定理求解；(2)根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于90进行角度转化求解解题思解题思路路跟踪训练跟踪训练
10、 1.如图，AB为O的直径，CB，CD分别切O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交O于点G，EFOG于点F.求证：FEBECF；第1题图证明证明：CB，CD分别切O于点B，D，OC平分BCE，即ECFBCO，且OBBC，BCOCOB90，EFOG，FEBFOE90，又COBFOE，FEBBCOECF.2.如图，已知AB是O的直径，AT是O的切线，T40，BT交O于点C，E是AB上一点，延长CE交O于点D.求CDB的大小第2题图解解：如解图，连接AC，AT是O的切线，AB是O直径，ATAB，即TAB90，T50，ABC90T50，由AB是O的直径，得ACB90，CAB90ABC4
11、0，CDBCAB40.第 2 题解图3.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC边于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E.求证：DEAC.第3题图 第 3 题解图证明证明：如解图，连接AD，AB为O的直径，ADBC，ABAC，BDCD，OBOA，OD是ABC的中位线，ODAC，DE是O的切线，ODDE，DEAC.突破设问突破设问5证明线证明线段相等段相等 证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段平行，则可以考虑利用特殊四边形对边相等来证明；(2)若所证两线段共线，则考虑利用等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；(3)若所证两线段不共线也不平行，可考虑将两
12、条线段放在一个三角形中，利用等腰三角形或等边三角形的等角对等边来证明或将两条线段放在两个三角形中，利用三角形全等来证明解题思解题思路路跟踪训练跟踪训练 1.如图，AB是O的直径，点C在O上，AD平分CAB，BD是O的切线，AD与BC相交于点E.求证：BDBE；第1题图证明证明：BD是O的切线，ABD90，DABD90，AB是O的直径，ACB90，CAECEA90，AD平分CAB，CAEDAB，CEAD，CEADEB，DDEB，BDBE.2.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC边于点D，过点C作CFAB，与过点B的切线交于点F，连接BD.求证：BDBF；第2题图CFAB，F90，ABCFCB，AB是 O的直径，ADB90，BDC90，FBDC.ABAC，ABCACB，ACBFCB.在BCF和BCD中，BCF BCD(AAS)，BFBD.FBDCFCBDCBBCBC(1)证明：BF是 O的切线，ABF90.
