1、专题六开放型专题六开放型条件开放类条件开放类【类型解读类型解读】条件开放类问题的三种类型条件开放类问题的三种类型(1)(1)补充条件型补充条件型:题目给出部分条件题目给出部分条件,然后再添加一个然后再添加一个(或几个或几个)条件条件,使结论成立使结论成立.(2)(2)探索条件型探索条件型:题目只给出结论题目只给出结论,通过分析给出的结论特征通过分析给出的结论特征,发现使结论成立的发现使结论成立的 条件条件.(3)(3)条件变化型条件变化型:在原有条件与结论的基础上在原有条件与结论的基础上,题目的结论发生变化题目的结论发生变化,需要补充条件需要补充条件.【例【例1 1】(2018(2018怀化怀
2、化)已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABCDABCD中中,ADBC.,ADBC.点点E E为为CDCD边上一点边上一点,AE,AE与与BEBE分分别为别为DABDAB和和CBACBA的平分线的平分线.(1)(1)请你添加一个适当的条件请你添加一个适当的条件,使得四边形使得四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,并证明并证明你的结论你的结论;解解:(1)(1)当当AD=BCAD=BC时时,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形(答案不唯一答案不唯一).).证明证明:ADBC,AD=BC,:ADBC,AD=BC,四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.(2)
3、(2)作线段作线段ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于点于点O,O,并以并以ABAB为直径作为直径作O(O(要求要求:尺规作图尺规作图,保留作图保留作图痕迹痕迹,不写作法不写作法););解解:(2)(2)作图如图所示作图如图所示.(3)(3)在在(2)(2)的条件下的条件下,O O交边交边ADAD于点于点F,F,连接连接BF,BF,交交AEAE于点于点G,G,若若AE=4,sinAGF=,AE=4,sinAGF=,求求O O的的半径半径.45解决条件开放型问题的一般思路解决条件开放型问题的一般思路:从结论出发从结论出发,执果索因执果索因,逆向思维逆向思维,逐步探求结论逐步探求结论成立
4、的条件成立的条件.【强化运用强化运用1 1】(2018(2018衢州衢州)如图如图,在在ABCABC和和DEFDEF中中,点点B,F,C,EB,F,C,E在同一直线上在同一直线上,BF,BF=CE,ABDE,=CE,ABDE,请添加一个条件请添加一个条件,使使ABCABCDEF,DEF,这个添加的条件可以是这个添加的条件可以是 。(只需写一个只需写一个,不添加辅助线不添加辅助线).).AB=DEAB=DE(答案不唯一答案不唯一,如如A=D,ACB=DFEA=D,ACB=DFE等等)结论开放类结论开放类【类型解读类型解读】结论开放型问题的两种类型结论开放型问题的两种类型(1)(1)结论是否成立型
5、结论是否成立型:这类探索问题的设问这类探索问题的设问,常以适合某种条件的结论常以适合某种条件的结论“成立成立”“”“不成不成立立”等语句加以表述等语句加以表述.从给出的已知条件出发从给出的已知条件出发,经过推理证明能够推出结论是否成立经过推理证明能够推出结论是否成立.(2)(2)判断猜想型判断猜想型:这类问题设问通常有两条线段有何关系这类问题设问通常有两条线段有何关系(探索相等、平行或垂直探索相等、平行或垂直),),两两个角是否相等个角是否相等,这个三角形是什么特殊的三角形这个三角形是什么特殊的三角形,这个四边形是什么特殊的四边形等这个四边形是什么特殊的四边形等.它与传统题的区别在于它与传统题
6、的区别在于:探索问题的结论过程往往也是解题过程探索问题的结论过程往往也是解题过程.【例【例2 2】(2018(2018绍兴绍兴)小敏思考解决如下问题小敏思考解决如下问题:原题原题:如图如图1,1,点点P,QP,Q分别在菱形分别在菱形ABCDABCD的边的边BC,CDBC,CD上上,PAQ=B,PAQ=B,求证求证:AP=AQ.:AP=AQ.(1)(1)小敏进行探索小敏进行探索,若将点若将点P,QP,Q的位置特殊化的位置特殊化:把把PAQPAQ绕点绕点A A旋转得到旋转得到EAF,EAF,使使AEBC,AEBC,点点E,FE,F分别在边分别在边BC,CDBC,CD上上,如图如图2.2.此时她证明
7、了此时她证明了AE=AF,AE=AF,请你证明请你证明;(2)(2)受以上受以上(1)(1)的启发的启发,在原题中在原题中,添加辅助线添加辅助线:如图如图3,3,作作AEBC,AFCD,AEBC,AFCD,垂足分别为垂足分别为E,F.E,F.请你继续完成原题的证明请你继续完成原题的证明.解决结论开放型问题解决结论开放型问题,要充分利用题目中给出的条件合理地猜想要充分利用题目中给出的条件合理地猜想,正确地推理正确地推理,就会就会获得所求的结论获得所求的结论.强化运用强化运用2:2:已知已知ABCABC与与DECDEC是两个大小不同的等腰直角三角形是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)(1)如图所
8、示如图所示,连接连接AE,DB.AE,DB.试判断线段试判断线段AEAE和和DBDB的数量和位置关系的数量和位置关系,并说明理由并说明理由;解解:(1)AE=DB,AEDB.(1)AE=DB,AEDB.理由如下理由如下:ABCABC与与DECDEC都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,ACE=BCD=90CA=CB,CE=CD,ACE=BCD=90,RtRtACERtACERtBCD.AEBCD.AE=DB,AEC=BDC.=DB,AEC=BDC.延长延长DBDB交交AEAE于点于点M(M(如图如图1),1),AEC+EAC=90AEC+EAC=90,BDC+EAC=9
9、0,BDC+EAC=90,AMD=180AMD=180-90-90=90=90,AEDB.,AEDB.线段线段AEAE和和DBDB的数量和位置关系是的数量和位置关系是AE=DB,AEDB.AE=DB,AEDB.(2)(2)如图所示如图所示,连接连接DB,DB,将线段将线段DBDB绕绕D D点顺时针旋转点顺时针旋转9090 到到DF,DF,连接连接AF,AF,试判断线段试判断线段DEDE和和AFAF的数量和位置关系的数量和位置关系,并说明理由并说明理由.解解:(2)DE=AF,DEAF.(2)DE=AF,DEAF.理由如下理由如下:设设EDED与与AFAF相交于点相交于点N(N(如图如图2),2
10、),ABCABC与与DECDEC都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD,E=EDC=45CA=CB,CE=CD,E=EDC=45.BE=AD.BE=AD.EBD=C+BDC=90EBD=C+BDC=90+BDC,ADF=BDF+BDC=90+BDC,ADF=BDF+BDC=90+BDC,+BDC,EBD=ADF.EBD=ADF.由旋转的性质可得由旋转的性质可得DB=DF.DB=DF.EBDEBDADF.DE=AF,FAD=E=45ADF.DE=AF,FAD=E=45.EDC+FAD=90EDC+FAD=90.AND=90.AND=90.DEAF.DEAF.线段线段DEDE和
11、和AFAF的数量和位置关系是的数量和位置关系是DE=AF,DEAF.DE=AF,DEAF.存在性开放类存在性开放类【类型解读类型解读】存在性开放问题常见的四种类型存在性开放问题常见的四种类型(1)(1)特殊点存在性开放问题特殊点存在性开放问题:图形中存在特殊的点图形中存在特殊的点,该点满足题目中的某些条件该点满足题目中的某些条件,通过通过探索探索,推理证明或运算说明该点存在推理证明或运算说明该点存在.(2)(2)特殊三角形存在性开放问题特殊三角形存在性开放问题:图形中存在着特殊的三角形图形中存在着特殊的三角形(等腰三角形或直角三等腰三角形或直角三角形角形),),通过探索通过探索,推理证明或运算
12、说明该特殊三角形存在推理证明或运算说明该特殊三角形存在.(3)(3)相似三角形存在性开放问题相似三角形存在性开放问题:图形中存在着与原三角形相似的三角形图形中存在着与原三角形相似的三角形,通过探索通过探索,推理证明说明该三角形存在推理证明说明该三角形存在.(4)(4)特殊四边形存在性开放问题特殊四边形存在性开放问题:图形中存在着特殊的四边形图形中存在着特殊的四边形,通过探索通过探索,推理证明或推理证明或运算说明该特殊四边形存在运算说明该特殊四边形存在.【例例3 3】(2018(2018临沂临沂)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,ACB=90,ACB=90,OC=2OB,tanAB
13、C=2,OC=2OB,tanABC=2,点点B B的坐标为的坐标为(1,0).(1,0).抛物线抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过经过A,BA,B两点两点.(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式;(2)(2)点点P P是直线是直线ABAB上方抛物线上的一点上方抛物线上的一点,过点过点P P作作PDPD垂直垂直x x轴于点轴于点D,D,交线段交线段ABAB于点于点E,E,使使PE=DE.PE=DE.求点求点P P的坐标的坐标;12在直线在直线PDPD上是否存在点上是否存在点M,M,使使ABMABM为直角三角形为直角三角形?若存在若存在,求出符合条件的所有点求出符合条件的所
14、有点M M的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.解决存在性问题解决存在性问题,需先假设存在需先假设存在,再进行推演再进行推演,若得出推演结果若得出推演结果,则说明结论存在则说明结论存在;若若推出矛盾推出矛盾,则推翻假设则推翻假设,说明结论不存在说明结论不存在.强化运用强化运用3:(20183:(2018济宁济宁)如图如图,已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)经过点经过点A(3,0),B(-1,A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).0),C(0,-3).(1)(1)求该抛物线的解析式求该抛物线的解析式;(2)(2)若以点若以点A A为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线BCBC相切于点相切于点M,M,求切点求切点M M的坐标的坐标;(3)(3)若点若点Q Q在在x x轴上轴上,点点P P在抛物线上在抛物线上,是否存在以点是否存在以点B,C,Q,PB,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边为顶点的四边形是平行四边形形?若存在若存在,求点求点P P的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.
