1、第二轮第二轮 中考题型突破中考题型突破专题六几何综合【题型【题型1】以三角形为背景的综合题】以三角形为背景的综合题【例【例1】(2017绍兴市绍兴市)已知已知ABC，ABAC，D为直线为直线BC上一上一点，点，E为直线为直线AC上一点，上一点，ADAE，设，设BAD，CDE.(1)如图，若点如图，若点D在线段在线段BC上，上，点点E在线段在线段AC上上如果如果ABC60，ADE70，那么那么 _，_，求求，之间的关系式之间的关系式(2)是否存在不同于以上是否存在不同于以上中的中的，之间的关系式？若存在，之间的关系式？若存在，求出这个关系式求出这个关系式(求出一个即可求出一个即可)；若不存在，说
2、明理由；若不存在，说明理由思路点拨：思路点拨：(1)先利用等腰三角形的性质求出先利用等腰三角形的性质求出DAE，进而求出，进而求出BAD，即可得出结论；，即可得出结论；利用等腰三角形的性质和三角形的内角利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论和即可得出结论(2)当点当点E在在CA的延长线上，点的延长线上，点D在线段在线段BC上，同上，同(1)的方法即可得的方法即可得出结论；出结论；当点当点E在在CA的延长线上，点的延长线上，点D在在CB的延长线上，同的延长线上，同(1)的方的方法即可得出结论法即可得出结论1020【题型【题型1】以三角形为背景的综合题】以三角形为背景的综合题解：解：(1
3、)设设ABCx，ADEy，ACBx，AEDy.在在DEC中，中，yx，在在ABD中，中，xyx.2.(2)当点当点E在在CA的延长线上，的延长线上，点点D在线段在线段BC上，如图上，如图1.设设ABCx，ADEy.ACBx，AEDy.在在ABD中，中，xy.在在DEC中，中，xy180.2180.当点当点E在在CA的延长线上，点的延长线上，点D在在CB的延长线上的延长线上 如图如图2，同，同的方法可得的方法可得1802.【题型【题型1】以三角形为背景的综合题】以三角形为背景的综合题【即时巩固【即时巩固1】(2018葫芦岛市葫芦岛市)在在ABC中，中，ABBC，点点O是是AC的中点，点的中点，点
4、P是是AC上的一个动点上的一个动点(点点P不与点不与点A，O，C重合重合)过点过点A，点，点C作直线作直线BP的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为点点E和点和点F，连接，连接OE，OF.(1)如图如图1，请直接写出线段，请直接写出线段OE与与OF的数量关系；的数量关系；(2)如图如图2，当，当ABC90时，请判断线段时，请判断线段OE与与OF之间之间的数量关系和位置关系，并说明理由的数量关系和位置关系，并说明理由(3)若若 ，当，当POF为等腰三角形时，请直接为等腰三角形时，请直接写出线段写出线段OP的长的长22 3CFAEEF，【题型【题型1】以三角形为背景的综合题】以三角形为背景的综合题解
5、：解：(1)OFOE.(2)OFOE，OFOE.理由如下：如图，延长理由如下：如图，延长EO交交CF于于K.ABCAEBCFB90，ABEBAE90，ABECBF90.BAECBF.ABBC，ABE BCF(AAS)BECF，AEBF.AEBE，CFBE，AECK.EAOKCO.OAOC，AOECOK，AOE COK(ASA)AECK，OEOK.FKEF.EFK是等腰直角三角形是等腰直角三角形OFEK，OFOE.(3)或或 .62 2 33【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的综合题【例【例2】(2017乐山市乐山市)在四边形在四边形ABCD中，中，BD180，对角线，对角线
6、AC平分平分BAD.(1)如图如图1，若，若DAB120，且，且B90，试探究边，试探究边AD，AB与对角线与对角线AC的数量关系并说明理由的数量关系并说明理由(2)如图如图2，若将，若将(1)中的条件中的条件“B90”去掉，去掉，(1)中的中的结论是否成立？请说明理由结论是否成立？请说明理由(3)如图如图3，若，若DAB90，探究边，探究边AD，AB与对角线与对角线AC的数量关系并说明理由的数量关系并说明理由【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的综合题思路点拨：思路点拨：(1)结论：结论：ACADAB，只要证明，只要证明AD AC，AB AC即可解决问题即可解决问题(2)(
7、1)中的结论成立以中的结论成立以C为顶点，为顶点，AC为一边作为一边作ACE60，ACE的另一边交的另一边交AB延长线于点延长线于点E，只要证明，只要证明DAC BEC即可解决问题即可解决问题(3)结论：结论：ADAB AC.过点过点C作作CEAC交交AB的延长的延长线于点线于点E，只要证明，只要证明ACE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DAC BEC即可解决问题即可解决问题12122解：解：(1)ACADAB.理由如下：如图理由如下：如图1中，中，在四边形在四边形ABCD中，中，DB180，B90.D90.DAB120，AC平分平分DAB，DACBAC60.B90，AB AC，同理，同理
8、AD AC.ACADAB.1212【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的综合题(2)(1)中的结论成立，理由如下：如图中的结论成立，理由如下：如图2，以，以C为顶点，为顶点，AC为一边作为一边作ACE60，ACE的另一边交的另一边交AB 延长线于点延长线于点E.BAC60，AEC为等边三角形为等边三角形 ACAECE.DB180，DAB120，DCB60.DCABCE.DABC180，ABCEBC180，DCBE.CACB，DAC BEC(AAS)ADBE.ACADAB.【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的综合题(3)结论：结论：ADAB AC.理由如下：
9、理由如下：如图如图3，过点，过点C作作CEAC交交AB的延长线于点的延长线于点E.DB180，DAB90，DCB90.ACE90，DCABCE.又又AC平分平分DAB，CAB45.E45.ACCE.又又DB180，DCBE，CDA CBE(AAS)ADBE.ADABAE.在在RtACE中，中，CAB45，AE .ADAB AC.22cos45ACAC 2【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的综合题【即时巩固【即时巩固2】(2018盘锦市盘锦市)如图如图1，点，点E是正方形是正方形ABCD边边CD上任意一点，以上任意一点，以DE为边作正方形为边作正方形DEFG，连接，连接BF，
10、点，点M是线段是线段BF中点，射线中点，射线EM与与BC交于点交于点H，连接，连接CM.(1)请直接写出请直接写出CM和和EM的数量关系和位置关系；的数量关系和位置关系；(2)把图把图1中的正方形中的正方形DEFG绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转45，此时点，此时点F恰恰好落在线段好落在线段CD上，如图上，如图2，其他条件不变，其他条件不变，(1)中的结论是否成中的结论是否成立，请说明理由；立，请说明理由；(3)把图把图1中的正方形中的正方形DEFG绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转90，此时点，此时点E，G恰好分别落在线段恰好分别落在线段AD，CD上，如图上，如图3，其他条件不变，其他条件不变，(
11、1)中中的结论是否成立，请说明理由的结论是否成立，请说明理由【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的综合题解：解：(1)CMEM，CMEM.(2)如图如图a，连接，连接BE.四边形四边形ABCD和四边形和四边形EDGF 是正方形，是正方形，FDE45，CBD45.点点B，E，D在同一条直线上在同一条直线上 BCF90，BEF90，M为为BF的中点，的中点，CM BF，EM BF.CMME.EFD45，EFC135.CMFMME，MCFMFC，MFEMEF.MCFMEF135.CME36013513590.CMME.1212【题型【题型2】以四边形为背景的综合题】以四边形为背景的
12、综合题(3)如图如图b，连接，连接DF，MG，作，作MNCD于于N.在在EDM和和GDM中，中，EDM GDM(SAS)MEMG，MEDMGD.M为为BF的中点，的中点，FGMNBC，GNNC.又又MNCD，MCMG.MCME，MCGMGC.MGCMGD180，MCGMED180.CMECDE180.CDE90，CME90.(1)中的结论成立中的结论成立DEDGMDEMDCDMDM ，【题型【题型3】以圆为背景的综合题】以圆为背景的综合题【例【例3】(2017杭州市模拟杭州市模拟)如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点C在在 O上，上，ABC的平的平分线与分线与AC相交于点相交于点D，与
13、，与 O过点过点A的的切线相交于点切线相交于点E.(1)ACB_，理由是：理由是：_；(2)猜想猜想EAD的形状，并证明你的猜想；的形状，并证明你的猜想；(3)若若AB8，AD6，求，求BD.90直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角思路点拨：思路点拨：(1)根据根据AB是是 O的直径，点的直径，点C在在 O上利用直径上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论所对的圆周角是直角即可得到结论【题型【题型3】以圆为背景的综合题】以圆为背景的综合题思路点拨：思路点拨：(2)根据根据ABC的平分线与的平分线与AC相交于点相交于点D，得到，得到CBDABE，再根据，再根据AE是是 O的切线得到的切线
14、得到EAB90，从而得到从而得到CDBCBD90，等量代换得到，等量代换得到AEDEDA，从而判定，从而判定EAD是等腰三角形是等腰三角形(3)证得证得CDBAEB后，设后，设BD5x，则，则CB4x，CD3x，从而得到从而得到CACDDA3x6，然后在，然后在RtACB中，利用中，利用AC2BC2AB2得到得到(3x6)2(4x)282，解得，解得x后即可求得后即可求得BD的长的长解：解：(2)EAD是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：ABC的平分线与的平分线与AC相交于点相交于点D，CBDABE.AE是是 O的切线，的切线，EAB90.AEBEBA90.EDACDB，CDBCBD9
15、0.CBDABE，AEDEDA.AEAD.EAD是等腰三角形是等腰三角形【题型【题型3】以圆为背景的综合题】以圆为背景的综合题(3)解：解：AEAD，AD6，AEAD6.AB8，在在RtAEB中，中，EB10.CDBE，CBDABE CDBAEB.设设CB4x，CD3x，则，则BD5x.CACDDA3x6.在在RtACB中，中，AC2BC2AB2.即即(3x6)2(4x)282.解得解得x2(舍去舍去)或或x .BD5x .6384AEDCABBC1425145【题型【题型3】以圆为背景的综合题】以圆为背景的综合题【即时巩固【即时巩固3】(2017广东省模拟广东省模拟)如图，如图，AB为为 O
16、直径，直径，BC为为 O切线，连接切线，连接A，C两点，交两点，交 O于点于点D，BECE，连接连接DE，OE.(1)判断判断DE与与 O的位置关系，的位置关系，并说明理由；并说明理由；(2)求证：求证：BC2CD2OE；(3)若若cosBAD ，BE6，求求OE的长的长35【题型【题型3】以圆为背景的综合题】以圆为背景的综合题(1)解：解：DE为为 O的切线理由如下：的切线理由如下：连接连接BD，OD，如图，如图 AB为为 O的直径，的直径，ADB90.在在RtBDC中，中，E为斜边为斜边 BC的中点，的中点，CEDEBE BC.CCDE.OAOD，AADO.ABC90，CA90.ADOCD
17、E90.ODE90.DEOD.又又OD为圆的半径，为圆的半径，DE为为 O的切线的切线12【题型【题型3】以圆为背景的综合题】以圆为背景的综合题(2)证明：证明：E是是BC的中点，的中点，O点是点是AB的中点，的中点，OE是是ABC的中位线，的中位线，AC2OE.CC，ABCBDC，ABCBDC.BC CDAC BC.即即BC2ACCD.BC2CD2OE.(3)解：由解：由(2)得得OE是是ABC的中位线，的中位线，OEAC.BOEBAD.在在RtOBE中，中，cosBOE .设设OB3t，OE5t，则，则BE4t.4t6，解得，解得t .OE5t .35OBOE 32152【题型【题型4】相
18、似形综合题】相似形综合题【例【例4】(2017长春市模拟长春市模拟)在矩形在矩形ABCD中，中，AD3，CD 4，点点E在边在边CD上，且上，且DE1.感知：如图感知：如图，连接，连接AE，过点，过点E作作EFAE，交，交BC于点于点F，连，连 接接AF，易证：，易证：ADE ECF(不需要证明不需要证明)；探究：如图探究：如图，点，点P在矩形在矩形ABCD的边的边AD上上(点点P不与点不与点A，D重重 合合)，连接，连接PE，过点，过点E作作EFPE，交，交BC于点于点F，连接，连接PF.求证：求证：PDEECF；应用：如图应用：如图，若，若EF交交AB边于点边于点F，其他条件不变，且，其他
19、条件不变，且PEF 的面积是的面积是3，则，则AP的长为的长为_2【题型【题型4】相似形综合题】相似形综合题思路点拨：感知思路点拨：感知：先利用矩形性质得：先利用矩形性质得：DC90，再利用同角的余角相等得再利用同角的余角相等得DAEFEC，根据已知边的，根据已知边的长度计算出长度计算出ADCE3，则由，则由ASA证得证得ADE ECF.探究：利用两角相等证明探究：利用两角相等证明PDEECF.应用：作辅助线，构建如图应用：作辅助线，构建如图一样的相似三角形，利用探一样的相似三角形，利用探究得究得PDEEGF，则，则 ，所以，所以 .再利再利用用PEF的面积是的面积是3，列式可得，列式可得PE
20、EF6，两式结合可求，两式结合可求得得PE的长，利用勾股定理求的长，利用勾股定理求PD，从而得出，从而得出AP的的长长DEPEFGEF 13PEEF 探究：证明：如图探究：证明：如图，四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，DC90.DPEDEP90.EFPE，PEF90.DEPFEC90.DPEFEC.PDEECF.【题型【题型4】相似形综合题】相似形综合题【即时巩固【即时巩固4】(2017东营市东营市)如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，BAC120，ABAC2，点，点D是是BC边上的一个动点边上的一个动点(不与不与B，C重合重合)，在，在AC上取一点上取一点E，使，使ADE30
21、.(1)求证：求证：ABDDCE；(2)设设BDx，AEy，求，求y关于关于x的函数关系式并写出自变的函数关系式并写出自变 量量x的取值范围；的取值范围；(3)当当ADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AE的长的长【题型【题型4】相似形综合题】相似形综合题(1)证明：证明：ABC是等腰三角形，且是等腰三角形，且BAC120，ABDACB30.ABDADE30.ADCADEEDCABDDAB，EDCDAB.ABDDCE.【题型【题型4】相似形综合题】相似形综合题(2)解：如图解：如图1，ABAC2，BAC120，过过A作作AFBC于于F.AFB90.AB2，ABF30，AF AB1.BF .
22、BC2BF .则则DC ，EC2y.ABDDCE，.化简得化简得y (0 x )1232 32 3x ABDCBDCE 22 32xxy 21322xx2 3【题型【题型4】相似形综合题】相似形综合题(3)解：当解：当ADDE时，如图时，如图2.由由(1)可知此时可知此时ABDDCE，则则ABCD，即，即2 .x ，代入，代入y .解得解得y ，即，即AE .当当AEED时，如图时，如图3，EADEDA30，AED120.DEC60，EDC90.则则ED EC，即，即y (2y)解得解得y ，即，即AE .当当ADAE时，时，AEDEDA 30，EAD120.此时点此时点D与点与点B重合，不符
23、合题意，此情况不存在，重合，不符合题意，此情况不存在，当当ADE是等腰三角形时，是等腰三角形时，AE 或或 .2 3x 2 32 21322xx42 3 42 3 1212232342 3 23【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题【例【例5】(2017襄阳市襄阳市)如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，CD是中线，是中线，ACBC，一个以点，一个以点D为顶点的为顶点的45角绕点角绕点D旋转，使角的两边分别与旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别的延长线相交，交点分别为点为点E，F，DF与与AC交于点交于点M，DE与与BC交于点交于点N.(1)如图如图1，若，若CE
24、CF，求证：，求证：DEDF；(2)如图如图2，在，在EDF绕点绕点D旋转的过程中：旋转的过程中：探究三条线段探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说之间的数量关系，并说 明理由；明理由；若若CE4，CF2，求，求DN的长的长【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题思路点拨：思路点拨：(1)根据等腰直角三角形的性质得到根据等腰直角三角形的性质得到BCDACD45，BCEACF90，于是得到，于是得到DCEDCF135，根据全等三角形的性质即可，根据全等三角形的性质即可得出结论得出结论(2)证得证得CDFCED，根据相似三角形的性质得，根据相似三角形的性质得到到 ，即，即CD2CE
25、CF，根据等腰直角三角形的，根据等腰直角三角形的性质得到性质得到CD AB，于是得到，于是得到AB24CECF.过过D作作DGBC于于G，于是得到，于是得到DGNECN90，CGDG，当，当CE4，CF2时，求得时，求得CD ，推出，推出CENGDN，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到 2，根据勾股定理即可得到结论，根据勾股定理即可得到结论CDCFCECD 122 2CNCEGNDG【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题(1)证明：证明：ACB90，ACBC，ADBD，BCDACD45，BCEACF90.DCEDCF135.在在DCE与与DCF中，中，DCE DCF(S
26、AS)DEDF.CECFDCEDCFCDCD ，【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题(2)解：解：DCFDCE135，CDFF18013545.CDFCDE45，FCDE.CDFCED.，即，即CD2CECF.ACB90，ACBC，ADBD，CD AB.AB24CECF.CDCFCECD 12【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题如图，过如图，过D作作DGBC于于G，则则DGNECN90，CGDG.当当CE4，CF2时，时，由由CD2CECF得得CD .在在RtDCG中，中，CGDGCDsinDCG 2.ECNDGN，ENCDNG，CENGDN.GN ，DN .2CNCEGN
27、DG2 22 2sin451233CG 222222 10()233CNDG【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题【即时巩固【即时巩固5】(2016福州市福州市)如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，AB4，AD3，M是边是边CD上一点，将上一点，将ADM沿直线沿直线AM对折，得对折，得到到ANM.(1)当当AN平分平分MAB时，时，求求DM的长；的长；(2)连接连接BN，当，当DM1时，时，求求ABN的面积；的面积；(3)当射线当射线BN交线段交线段CD于点于点F时，求时，求DF的最大值的最大值【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题解：解：(1)由折叠性质得由折叠性质得ANM
28、ADM.MANDAM.AN平分平分MAB，MANNAB，DAMMANNAB.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，DAB90.DAM30.DMADtanDAM3tan 30 3 .333【题型【题型5】几何变换综合题】几何变换综合题(2)延长延长MN交交AB延长线于点延长线于点Q，如图，如图1所示所示 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABDC.DMAMAQ.由折叠性质得由折叠性质得ANM ADM.DMAAMQ，ANAD3，MNMD1.MAQAMQ.MQAQ.设设NQx，则，则AQMQ1x.ANM90，ANQ90.在在RtANQ中，由勾股定理得中，由勾股定理得AQ2AN2NQ2.(x1)232
29、x2.解得解得x4.NQ4，AQ5.AB4，AQ5，SNAB .441412434552525NAQSAN NQ (3)过点过点A作作AHBF于点于点H，如图，如图2所示所示 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABDC.HBABFC.AHBBCF90，ABHBFC.AHAN3，AB4，当点当点N，H重合重合(即即AHAN)时，时，AH最大，最大，BH最小，最小，CF最小，最小，DF最大，此时点最大，此时点M，F重合，重合，B，N，M三点共线，如图三点共线，如图3所示所示 由折叠性质得由折叠性质得ADAH.ADBC，AHBC.在在ABH和和BFC中，中，ABH BFC(AAS)CFBH.由勾股定理得由勾股定理得BH .CF .DF的最大值的最大值DCCF4 .BHCFAHBC 2222437ABAH 77HBABFCAHBBCFAHBC ，
