1、专题九专题九 二次函数压二次函数压轴题轴题类型六类型六 三角形相似问题三角形相似问题例例6(2018焦作模拟)如图，已知抛物线yx2bxc交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQPQ于点Q，连接AP，设点P的横坐标为m.(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上运动，若AQPAOC，求点P的坐标；(3)如图，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q，请直接写出当点Q落在坐标轴上时点P的坐标例6题图典例精典例精析析典例精典例精析析C(_，0)，P(m，)，Q(m，_)，AO_，CO_，
2、PQ_(1)【自主作答】1m2+3m4441m2 3m解：(1)把A(0，4)，B(4，0)分别代入yx2bxc中得 ，解得 ，抛物线的解析式为yx23x4，当y0时，x23x40，解得x11，x24，C(1，0)；416 40cb c 34bc热身小练习热身小练习(2)【思维教练】通过AQPAOC列出比例式，可得AQ与PQ之间的数量关系然后用m表示出AQ和PQ的长度，需注意PQ长度表示要含绝对值，最后利用AQ与PQ之间的数量关系列等式，得出关于m的一元二次方程求解即可【自主作答】(2)AQPAOC，4，即AQ4PQ，设P(m，m23m4)，m4|4(m23m4)|，即4|m23m|m，解方程
3、4(m23m)m得m10(舍去)，m2 ，此时P点坐标为()；解方程4(m23m)m得m10(舍去)，m2 ,此时P点坐标为()；综上所述，点P的坐标为()或()；AQ PQAO CO41AQ AOPQ CO13413 51,4 1611411 75,4 1611 75,4 1613 51,4 16(3)【思维教练】根据点Q落在坐标轴上，需分类讨论：当点Q落在x轴上，延长QP交x轴于点H，通过证明RtAOQRtQHP，得到HQ的长，即而得到OQ的长，最后利用勾股定理求出m，得到P点坐标；当点Q落在y轴上，易得点A、Q、P、Q所组成的四边形为正方形，利用AQPQ得到含有绝对值的方程求出m，即可求
4、得点P坐标【自主作答】(3)点P的坐标为(4，0)或(5，6)或(2，6)【解法提示】设P(m，m23m4)(m )，如解图，当点Q落在x轴上，延长QP交x轴于H，则PQ4(m23m4)m23m，APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q，AQPAQP90，AQAQm，PQPQm23m，AQOQPH，RtAOQRtQHP，即 ，解得HQ4m12，32OAAQHQQP243mHQmm例6题解图OQm(4m12)123m，在RtAOQ中，42(123m)2m2，整理得m29m200，解得m14，m25，此时P点坐标为(4，0)或(5，6)；当点Q落在y轴上，则点A、Q、P、Q所组成的四边形为正方形，AQ
5、PQ，即|m23m|m，解方程m23mm得m10(舍去)，m24，此时P点坐标为(4，0)；解方程m23mm得m10(舍去)，m22，此时P点坐标为(2，6)，综上所述，点P的坐标为(4，0)或(5，6)或(2，6)【方法指导】解答相似三角形的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，具体步骤如下：(1)假设结论成立，分情况讨论，剔除不符合的情况探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，就要根据相似三角形的对应关系，分情况讨论：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论，剔除不符合的对应形式；(2)设未知量，求边长在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设的点坐标表示出所求三角形的边长；(3)建立关系式，并计算由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理计算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得未知量的值，再通过计算得出相应的点的坐标
