1、H O L I D AY初升高绝对值专项主 讲:段 秋 淋一、知识要点l(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍然是零。即 总结:绝对值永远大于等于零,不可能小于零。0aa-0a00aaa,l(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离。如|3|=3,表示数轴上的3到原点的距离是3个单位;|-3|=3,表示数轴上的-3到原点的距离是3个单位。(总结:到原点的距离相等的点有两个,它们互为相反数)l(3)两个数的差的绝对值的几何意义:|a-b|表示在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离。如|a-b|=3,表示数轴上的数a与
2、数b之间相距3个单位长度,假设此时a=1,则与1相距3个单位长度的b=4或者b=-2.二、典型例题精讲l例题1、解方程|x-2|+|2x-1|=8 分析:该方程中含有两个绝对值,所以我们首先需要将两个绝对值的符号去掉,这里就需要对x的取值进行讨论去绝对值,采用“零点分段法”。解析:设|x-2|=0、|2x-1|=0,得x=2或x=当x时,有2-x+1-2x=8,x=-5/3 当x2时,有2-x+2x-1=8,x=7(不合题意,舍去)当x2时,有x-2+2x-1=8,x=11/3综上所述,次方程的解为:x=-5/3或x=11/32l例题2、已知:关于x的方程|x|-ax=1同时有一个正根和一个负
3、根,求整数a的值。分析:关于绝对值的运算,一定要把绝对值的符号去掉,把绝对值去掉就要先用“零点分段法”进行分类讨论。解:当x0时,依题意可得:-x-ax=1,-x(1+a)=1,x=-0 1+a0 a-1 (出现一个负根的情况)(出现一个负根的情况)当x0时,依题意可得:x-ax=1,x(1-a)=1,x=0 1-a0 a1 (出现一个正根的情况)(出现一个正根的情况)综上所述,-1a1 整数a=0a11a-11 例题3、已知:a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,求:分析:a+b+c=0,所以首先要分析a,b,c的正负性,然后再分类讨论去绝对值abcabcccbbaal解:依题意a,b,
4、c中有两个负数一个正数或一个负两个正数。当a,b,c中有两个负数一个正数时:此时 故 当a,b,c中有一个负数两个正数时:此时 故 综上所述,1-11-1-ccbbaa1abcabc0abcabcccbbaa1111-ccbbaa1-abcabc0abcabcccbbaa0abcabcccbbaa 例题4、设 是一个五位数,其中a、b、c、d、e是阿拉伯数字,且abcd,试求 的最大值分析:有绝对值的运算,一定要去绝对值,就要先判断绝对值里的正负性,是一个五位数,那么a0,b、c、d、e都可以取09的任意一个数,且其中abcd,那么原题只差最后一个绝对值里的正负性没确定。abcdee-dd-c
5、c-bb-ayabcde 解:当de时,当de时,又 是一个五位数,其中a、b、c、d、e是 阿拉伯数字 当a=1,e=0,d=9时,y有最大值17(两个化简式子中(两个化简式子中a和和e都是减数,都是减数,d为被减数,其中要被为被减数,其中要被减数越大,减数越小,得到的值才越大)减数越大,减数越小,得到的值才越大)a-ee-dd-cc-bb-aye-a-2de-dd-cc-bb-ayabcde 例题5、求关于x的方程 所有解的和。分析:关于嵌套绝对值嵌套绝对值的方程求解问题,去绝对值的顺序是由外及内由外及内的方法,同时某个式子的绝对值等于正数,那么要考虑全绝对值等于正数有两种情况:一种就是这
6、个式子就等于这个正数,另一种就是这个式子就等于这个正数的相反数。1a0a1-2-x 解:原式可化为 或 即 或 即 x-2=a+1或x-2=-(a+1)或x-2=-a+1或x-2=-(-a+1)x=3+a 或 x=1-a 或 x=3-a 或 x=1+a 关于x的方程 所有解的和为:3+a+1-a+3-a+1+a=8a1-2-x-a1-2-x1a2-x1-a2-x1a0a1-2-x 例题6、若 都满足条件:且 ,求 的取值范围。分析:有绝对值的方程求解问题,可以用“零点分段法”分类讨论去绝对值轻松解决。在某个范围内的任意两个数,在某个范围内的任意两个数,小数减去大数的取值范围,用最小值减去最大值
7、作为最后小数减去大数的取值范围,用最小值减去最大值作为最后取值范围的最小值,最大值一定小于零。取值范围的最小值,最大值一定小于零。21xx、43x21-x221xx 21x-x 解:先将 求解 当 时:1-2x-(2x+3)=4 当 时:1-2x+2x+3=4恒成立此时 当 时:2x-1+2x+3=4 的解是 的取值范围是43x21-x223-x 23-x 21x23-21x 21x23-21x 43x21-x221x23-21x-x0 x-x2-2123-21 例题7、已知 ,求y的最大值。分析:有绝对值的运算,首先使用“零点分段法”将y化简,然后再各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,
8、从中选出最大值。1x4-1-x6x2y 解:由题意可得:三个零点分别为:-3,1,-1 当x-3时,y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1 由于x-3,所以y=x-1-4,y的最大值是-4 当-3x-1时,y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11 由于-3x-1,所以-4y=5x+116,y的最大值是6 当-1x1时,y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3 由于-1x1,所以0y=-3x+36,y的最大值是6 当x1时,y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1 由于x1,所以y=-x+10,y有最大值是0 综上所述,当x=-1时,y取得最大值为6-3-11H O L I D AY谢谢观看THANKS FOR WATCHING制作人:秋淋老师