1、专题七二次函数综合题【对应训练对应训练】1抛物线抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A(1，0)，B两点，与两点，与y轴交轴交于点于点C.(1)若若ca，求，求a，b满足的关系式；满足的关系式；(2)直线直线y2xm与抛物线交于与抛物线交于C，D两点，抛物线的对称轴为直线两点，抛物线的对称轴为直线x1，且，且1tan OBC2.求抛物线的解析式求抛物线的解析式(用含用含a的式子表示的式子表示)；求线段求线段CD长度的取值范围长度的取值范围解：解：(1)若若ac，抛物线解析式化为，抛物线解析式化为yax2bxa.点点A(1，0)在抛在抛物线上，物线上，aba0，b2a；(2)抛物线抛物
2、线yx26x的对称轴为的对称轴为x3，又，又P(x1，y1)，Q(x2，y1)均在该抛均在该抛物线，且物线，且x1x24，x1x26，且，且2x13，3x24.设设zx12x22，则，则zx12(6x1)22(x13)218.抛物线抛物线z2(x13)218开口向上，且对开口向上，且对称轴为直线称轴为直线x13，当当2x13时，时，z随着随着x1的增大而减小，的增大而减小，2(33)218z2(23)218，即，即18z20，18x12x2220；(1)解：解：由题意得由题意得yax23xa.二次函数图象过点二次函数图象过点(1，1)，a3a1，ac1，yx23x1；5(福州适应性训练福州适应
3、性训练)已知抛物线已知抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点两点(x1x2).(1)若若b2，c5，求，求AB的长；的长；(2)点点C(m，n)在点在点A，B间的抛物线上间的抛物线上(不含点不含点A，B).若若ACB90.求求n的值；的值；以以AC，BC为边作矩形为边作矩形ACBD，当点，当点D落在直线落在直线x2上，且矩形上，且矩形ACBD的面积最小时，求抛物线的解析式的面积最小时，求抛物线的解析式6.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线C：ykx2(4k2k)x的对称轴是的对称轴是y轴，过点轴，过点F(0，2)作一直线与抛物线作一直线与
4、抛物线C相交于相交于P，Q两点，过点两点，过点Q作作x轴的轴的垂线与直线垂线与直线OP相交于点相交于点A.(1)求抛物线求抛物线C的解析式；的解析式；(2)判断点判断点A是否在直线是否在直线y2上，并说明理由；上，并说明理由；(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切过抛物线，则称该直线与抛物线相切过抛物线C上的任意一点上的任意一点(除顶点外除顶点外)作该抛作该抛物线的切线物线的切线l，分别交直线，分别交直线y2和直线和直线y2于点于点M，N.求求MF2 NF2的的值值类型二与几何图形结合类
5、型二与几何图形结合【例例2】(福州模拟福州模拟)如图，抛物线如图，抛物线yax2bxc(a0)与直线与直线yx1相相交于交于A(1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点两点，且抛物线经过点C(5，0).(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)点点M是抛物线上的一个动点是抛物线上的一个动点(不与点不与点A点点B重合重合)，过点，过点M作直线作直线MDx轴于点轴于点D，交直线，交直线AB于点于点E.当当ME2ED时，求时，求M点坐标；点坐标；(3)如图，设抛物线与如图，设抛物线与y轴交于点轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在，在抛物线的第一象限内，是否存在一点一点Q，使得四边形，使
6、得四边形OFQC的面积最大？若存在，请求出点的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不的坐标；若不存在，说明理由存在，说明理由解解：(1)抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx24x5；(2)设设M(x，x24x5)，则，则E(x，x1)，D(x，0).ME|x24x5(x1)|x23x4|，DE|x1|.ME2ED，|x23x4|2|x1|，当，当x23x42(x1)时，解得时，解得x1(舍去舍去)或或x2；当；当x23x42(x1)时，解得时，解得x1(舍去舍去)或或x6.M点坐标点坐标为为(2，9)或或(6，7)；2(2020枣庄枣庄)如图，抛物线如图，抛物线yax2bx4交交x轴于轴于A
7、(3，0)，B(4，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AC，BC.点点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是第一象限内抛物线上的一个动点，点点P的横坐标为的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式；求此抛物线的表达式；(2)过点过点P作作PMx轴，垂足为点轴，垂足为点M，PM交交BC于点于点Q.试探究点试探究点P在运动过在运动过程中，是否存在这样的点程中，是否存在这样的点Q，使得以，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点，若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点过点P作作PNBC
8、，垂足为点，垂足为点N.请用含请用含m的代数式表示线段的代数式表示线段PN的长，并的长，并求出当求出当m为何值时为何值时PN有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？如图，抛物线的对称轴如图，抛物线的对称轴l与与x轴交于点轴交于点E，过点，过点E作作EFBC，垂足为点，垂足为点F.点点Q是对称轴是对称轴l上的一个动点，是否存在以点上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由存在过点存在过点F作作FGOB于点于点G，如解图，如解图.yx22x3的对称
9、轴为的对称轴为x1，OE1.OCOB3，COB90，OCB是等腰直角三角是等腰直角三角形形EFB90，EFB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BEOBOE2，FGGBEG1，F(2，1).当当EF为边时，为边时，四边形四边形EFPQ为平行四边形，为平行四边形，QEPF，QEPFy轴，轴，点点P的横坐标与点的横坐标与点F的横坐标均为的横坐标均为2.当当x2时，时，yx22x33，P(2，3)，QEPF2，Q(1，2).根据对称性当根据对称性当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形时，四边形EFQP也是平行四边形；当也是平行四边形；当EF为对角线时，如解图为对角线时，如解图.四边形四边形PEQF为平行四边形，为平行四边形，QEPF，QEPFy轴，同理得轴，同理得P(2，3)，QEPF2，Q(1，2).综上，点综上，点P的坐标为的坐标为(2，3)时，点时，点Q的坐标为的坐标为(1，2)或或(1，2)；当点；当点P的坐标为的坐标为(0，3)时，点时，点Q的坐标为的坐标为(1，4).
