1、第第15讲三角形的有关概念及性质讲三角形的有关概念及性质考点考点1 三角形的三角形的分类分类 考点考点2 三角形的边角三角形的边角关系关系 大于第三大于第三边边小于第三边小于第三边等于等于大于大于温馨提示温馨提示三三边关系常考题型边关系常考题型(1)判断三条已知线段能否组成三角形判断三条已知线段能否组成三角形.(2)当已知两边时当已知两边时,可确定第三边的范围可确定第三边的范围.(3)证明线段的不等关系证明线段的不等关系.考点考点3 三角形中的重要线段三角形中的重要线段2考点考点4 三角形面积与高的关系三角形面积与高的关系1.等底等高的两个三角形面积相等等底等高的两个三角形面积相等.2.等高不
2、等底等高不等底,面积比等于底的比面积比等于底的比,如图如图1,S1 S2=a b.3.等底不等高等底不等高,面积比等于高的比面积比等于高的比,如图如图2,S1 S2=h1 h2.4.在一组平行线之间进行等积变形在一组平行线之间进行等积变形,如图如图3,ABCDSACD=SBCD.考点考点5 内、外角平分线与高的规律内、外角平分线与高的规律总结总结 核心素养核心素养1.用三角板作用三角板作ABC的边的边BC上的高上的高,下列三角板的摆放位置下列三角板的摆放位置正确的是正确的是()A2.如图如图,在在ABC中有四条线段中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线其中有一条线段是段是ABC的中线
3、的中线,则该线段是则该线段是()A.线段线段DEB.线段线段BEC.线段线段EFD.线段线段FGB3.若线段若线段AM,AN分别是分别是ABC边上的高线和中线边上的高线和中线,则则()A.AMANB.AMANC.AMAND.AMAND数学文化数学文化海伦海伦秦九韶公式秦九韶公式古希腊的几何学家海伦古希腊的几何学家海伦,约公元约公元50年年,在数学史上以解决几在数学史上以解决几何测量问题而闻名何测量问题而闻名.在他的著作度量一书中在他的著作度量一书中,给出了给出了如下如下我国南宋时期的数学家秦九韶我国南宋时期的数学家秦九韶(约约12021261),曾提出利用曾提出利用三三海伦公式和秦九韶公式实质
4、上是同一个公式海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式,所以我们一般所以我们一般也称此公式为海伦也称此公式为海伦秦九韶公式秦九韶公式.4.问题问题:在在ABC中中,AB=13,BC=12,AC=7.求求ABC的面积的面积.解解:AB=13,BC=12,AC=7,命题命题1 三角形的三边关系三角形的三边关系【典例【典例1】(2020济宁济宁)已知三角形的两边长分别为已知三角形的两边长分别为3和和6,则这则这个三角形的第三边长可以是个三角形的第三边长可以是_(写出一个即可写出一个即可).【思路导引】【思路导引】根据三角形的三边关系确定出第三边长的取值根据三角形的三边关系确定出第三边长的取值范围范围,
5、然后写出一个符合条件的值即可然后写出一个符合条件的值即可.4解析解析:根据三角形的三边关系根据三角形的三边关系,得第三边长得第三边长x的取值范围是的取值范围是3x9,故这个三角形的第三边长可以是故这个三角形的第三边长可以是4(答案不唯一答案不唯一).【变式训练】【变式训练】1.(2020绍兴绍兴)长度分别为长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连的四根细木棒首尾相连,围成围成一个三角形一个三角形(木棒允许连接木棒允许连接,但不允许折断但不允许折断),得到的三角形的得到的三角形的最长边长为最长边长为()A.4B.5 C.6D.7B2.(2020宿迁宿迁)在在ABC中中,AB=1,BC=,下列
6、选项中下列选项中,可以作可以作为为AC长度的是长度的是()A.2B.4C.5D.6A命题命题2 三角形的内角与外角性质三角形的内角与外角性质【典例【典例2】(2020吉林吉林)将一副三角尺按如图所示的方式摆放将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则则的大小为的大小为()A.85B.75 C.65D.60【思路导引】【思路导引】把把放置于一个三角形中利用内角和求解放置于一个三角形中利用内角和求解,或或者确定者确定是哪个三角形的外角是哪个三角形的外角,然后分别求与其不相邻的两然后分别求与其不相邻的两个内角的度数个内角的度数,利用外角和性质求解利用外角和性质求解.B解析解析:方法一方法一:如下图所示如下
7、图所示,ACD=BCD-BCA=60-45=15,=180-D-ACD=180-90-15=75.方法二方法二:如上图所示如上图所示,=E+ACB=30+45=75.【变式训练】【变式训练】3.(2020邵阳邵阳)将一张矩形纸片将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作按如图所示操作:(1)将将DA沿沿DP向内折叠向内折叠,使点使点A落在点落在点A1处处,(2)将将DP沿沿DA1向内继续折叠向内继续折叠,使点使点P落在点落在点P1处处,折痕与边折痕与边AB交于点交于点M.若若P1MAB,则则DP1M的大小是的大小是()A.135B.120C.112.5 D.115图图1图图2C解析解析:P1MAB,
8、P1MA=90.由折叠可知由折叠可知DMP1=DMP,DMP1=DMA=45.矩形矩形ABCD中中,A=90,ADM=45.由折叠可知由折叠可知MDP1=ADP=PDM=ADM=22.5,在在DP1M中中,DP1M=180-45-22.5=112.5.故选故选C.4.(2020泰安泰安)将含将含30角的一个直角三角尺和一把直尺如图角的一个直角三角尺和一把直尺如图放置放置,若若1=50,则则2等于等于()A.80B.100C.110D.120C命题命题3 三角形中的重要线段三角形中的重要线段【典例【典例3】(2020烟台烟台)如图如图,点点G为为ABC的重心的重心,连接连接CG,AG并延长分别交
9、并延长分别交AB,BC于点于点E,F,连接连接EF,若若AB=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则则EF的长度为的长度为()A.1.7B.1.8C.2.2D.2.4【思路导引】【思路导引】已知点已知点G为为ABC的重心的重心,则则AF与与CE为为ABC的中线的中线,故故EF是是ABC的中位线的中位线,其长为边其长为边AC的一半的一半.A解析解析:点点G为为ABC的重心的重心,AE=BE,BF=CF,EF=AC=1.7.故选故选A.【变式训练】【变式训练】5.(2020枣庄枣庄)如图如图,在在ABC中中,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D,交交BC于点于点E,连接连接AE.若若BC
10、=6,AC=5,则则ACE的周长的周长为为()A.8B.11C.16 D.17B6.(2020济宁济宁)如图如图,在在ABC中中,点点D为为ABC的的内心内心,A=60,CD=2,BD=4.则则DBC的面积是的面积是()B7.如图如图,在在ABC中中,1=2,G是是AD的中点的中点,延长延长BG交交AC于于点点E,F为为AB上一点上一点,CFAD交交AD于点于点H.AD是是ABE的角的角平分线平分线;BE是是ABD的边的边AD上的中线上的中线;CH为为ACD的边的边AD上的高上的高;AH是是ACF的角平分线和高线的角平分线和高线.其中判断正确其中判断正确的有的有_.8.(2019攀枝花攀枝花)如图如图,在在ABC中中,CD是是AB边上的高边上的高,BE是是AC边上的中线边上的中线,且且BD=CE.求证求证:(1)点点D在在BE的垂直平分线上的垂直平分线上;(2)BEC=3ABE.证明证明:(1)如图如图,连接连接DE.CD是是AB边上的高边上的高,ADC=BDC=90.BE是是AC边上的中线边上的中线,AE=CE,DE=CE.BD=CE,BD=DE.点点D在在BE的垂直平分线上的垂直平分线上.(2)DE=AE,A=ADE.ADE=DBE+DEB,BD=DE,DBE=DEB,A=ADE=2ABE.BEC=A+ABE.BEC=3ABE.
