1、 动态几何图形综合探究动态几何图形综合探究 1动点问题动点问题【例例3】(2020抚顺本溪辽阳抚顺本溪辽阳25题题12分分)如图，射线如图，射线AB和射线和射线CB相交于点相交于点B，ABC(0180)，且，且ABCB.点点D是射线是射线CB上的动点上的动点(点点D不与点不与点C和和点点B重合重合)，作射线，作射线AD，并在射线，并在射线AD上取一点上取一点E，使，使AEC，连接连接CE，BE.(1)如图，当点如图，当点D在线段在线段CB上，上，90时，请直接写出时，请直接写出AEB的度数；的度数；(2)如图，当点如图，当点D在线段在线段CB上，上，120时，时，请写出线段请写出线段AE，BE
2、，CE之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；ABF CBE(SAS)，ABFCBE，BFBE，ABFFBDCBEFBD，ABDFBE，ABC120，FBE120，BFBE，BFEBEF30，BHEF，BHE90，FHEH，1(2020岳阳岳阳)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB6，BC8，动点，动点P，Q分分别从别从C点，点，A点同时以每秒点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上上沿沿CA，AB的方向运动，当点的方向运动，当点Q运动到点运动到点B时，时，P，Q两点同时停止运两点同时停止运动设点动设点P运动的时间为运动
3、的时间为t(s)，连接，连接PQ，过点，过点P作作PEPQ，PE与边与边BC相交于相交于点点E，连接，连接QE.(1)如图，当如图，当t5 s时，延长时，延长EP交边交边AD于点于点F.求证：求证：AFCE；(2)在在(1)的条件下，的条件下，试探究线段试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；三者之间的等量关系，并加以证明；(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，ABC90，在在RtABC中，中，AB6，BC8，根据勾股定理得，根据勾股定理得，AC10，由运动知，由运动知，CPt5，APACCP5，APCP，ADBC，PAFPCE，AFPCEP，APF
4、 CPE(AAS)，AFCE；(2)解：结论：解：结论：AQ2CE2QE2，证明：如图，连接证明：如图，连接FQ，由，由(1)知知APF CPE，AFCE，PEPF，EFPQ，QEQF，在在RtQAF中，根据勾股定理得，中，根据勾股定理得，AQ2AF2QF2，AQ2CE2QE2；(3)解：由运动知，解：由运动知，AQt，CPt，APACCP10t，FQ平分平分AFE，AFQPFQ，FAQFPQ90，FQFQ，FAQ FPQ(AAS)，AQPQt，AFPF，BQABAQ6t，FACFPA，DACACB，APFCPE，ACBCPE，PECE，2(2020乐山乐山)点点P是平行四边形是平行四边形AB
5、CD的对角线的对角线AC所在直线上的一个动点所在直线上的一个动点(点点P不与点不与点A，C重合重合)，分别过点，分别过点A，C向直线向直线BP作垂线，垂足分别为点作垂线，垂足分别为点E，F.点点O为为AC的中点的中点(1)如图，当点如图，当点P与点与点O重合时，线段重合时，线段OE和和OF的关系是的关系是_；(2)当点当点P运动到如图所示的位置时，运动到如图所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断请在图中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立？中的结论是否仍然成立？(3)如图，点如图，点P在线段在线段OA的延长线上运动，的延长线上运动，当当OEF30时，试探究线段时，试探究线段C
6、F，AE，OE之间的关系之间的关系OEOF解：解：(2)补全图形如图所示，补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长结论仍然成立，理由如下：延长EO交交CF于点于点G，AEBP，CFBP，AECF，EAOGCO，点点O为为AC的中点，的中点，AOCO，又又AOECOG，AOE COG(AAS)，OEOG，GFE90，OEOF；(1)证明：如图，在证明：如图，在AB上截取上截取AGCE，ABBC，BGBE，BGE45，AGE135，又，又CF平分平分DCN，DCF45，ECF135，AGEECF.又又EFAE，AEBFEC90，AEBBAE90，BAEFEC，2图形变换问题图形变换问题【例例
7、4】(2020沈阳沈阳24题题12分分)在在ABC中，中，ABAC，BAC，点点P为线段为线段CA延长线上一动点，连接延长线上一动点，连接PB，将线段，将线段PB绕点绕点P逆时针旋转，逆时针旋转，旋转角为旋转角为，得到线段，得到线段PD，连接，连接DB，DC.(1)如图，当如图，当60时，时，求证：求证：PADC；求求DCP的度数；的度数；(2)如图，当如图，当120时，请直接写出时，请直接写出PA和和DC的数量关系；的数量关系；(1)证明：证明：BACBPD60，ABAC，PBPD，ABC与与PBD都是等边三角形都是等边三角形PBDABC60，BABC,BPBD.PBDABDABCABD，P
8、BADBC.PBA DBC，PADC；解：解：PBA DBC，PABDCB，BACACB60，DCP1206060；(1)如图，求证：如图，求证：CEBC；(2)连接连接ED，M为为AC的中点，的中点，N为为ED的中点，连接的中点，连接MN，如图，如图.写出写出DE，AC，MN三条线段的数量关系，并说明理由；三条线段的数量关系，并说明理由；在点在点D运动的过程中，当运动的过程中，当BD的长为何值时，的长为何值时，M，E两点之间的距离最小？最小值是两点之间的距离最小？最小值是_，请直接写出结果，请直接写出结果1(1)证明：如图，过点证明：如图，过点A作作AHAC交交BC于点于点H，ACB45，A
9、HAC，AHCACB45，AHAC，将线段将线段AD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到线段得到线段AE，ADAE，HACDAE90，HADCAE，且，且ADAE，AHAC，HAD CAE(SAS)，ACEAHD45，HCE90，CEBC；2(2020邵阳邵阳)已知：如图，将一块已知：如图，将一块45角的直角三角板角的直角三角板DEF与正方形与正方形ABCD的一角重合，连接的一角重合，连接AF，CE，点，点M是是CE的中点，连接的中点，连接DM.(1)请你猜想请你猜想AF与与DM的数量关系是的数量关系是_；(2)如图，把正方形如图，把正方形ABCD绕着点绕着点D顺时针旋转顺时针旋转角角(09
10、0).AF与与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若不成立，请说明理由；(温馨提示：延长温馨提示：延长DM到点到点N，使，使MNDM，连接，连接CN)求证：求证：AFDM；AF2DM(2)解：解：AF2DM仍然成立，证明：延长仍然成立，证明：延长DM到点到点N，使使MNDM，连接，连接CN，M是是CE中点，中点，CMEM，又又CMNEMD，MNC MDE(SAS)，CNDEDF，MNCMDE，CNDE，又又ADBC，NCBEDA，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ADDC，BCD90EDF，ADFDCN，ADF DCN(S
11、AS)，AFDN，AF2DM；解：解：(1)如图，取如图，取AC的中点的中点M，连接，连接EM，BF，ABAC，BAC60，ABC为等边三角形，为等边三角形，线段线段CE绕点绕点E顺时针旋转顺时针旋转60得到线段得到线段EF，ECEF，CEF60，EFC是等边三角形，是等边三角形，ECCF，ACBECF60，ACEBCF，ACBC，ACE BCF(SAS)，D是是BC 的中点，的中点，M是是AC的中点，的中点，DFEM，E是是AD的中点，的中点，M是是AC的中点，的中点，4(2019济宁济宁)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB8，AD10，E是是CD边上边上一点，连接一点，连接AE，将矩形，将矩形ABCD沿沿AE折叠，顶点折叠，顶点D恰好落在恰好落在BC边上点边上点F处，处，延长延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点G.(1)求线段求线段CE的长；的长；(2)如图，如图，M，N分别是线段分别是线段AG，DG上的动点上的动点(与端点不重合与端点不重合)，且且DMNDAM，设，设AMx，DNy.写出写出y关于关于x的函数解析式，并求出的函数解析式，并求出y的最小值；的最小值；是否存在这样的点是否存在这样的点M，使，使DMN是等腰三角形？是等腰三角形？若存在，请求出若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由
