1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（16） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设 x，yR，若复数: ;是纯虚数，则点 P（x，y）一定满足（ ） Ayx B = 1 Cyx D = 1 2 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 3 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分）
2、 ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 4 （5 分）若向量 = (1，)， = (1 ，2)，且 ( )，则 x 的值为（ ） A1 B0 C1 D0 或 1 5 （5 分）函数 g（x）的图象可看作是将函数 f（x）= |1| 1 +x1 的图象向左平移一个 单位长度而得到的，则函数 g（x）的图象可能是（ ） A B C D 第 2 页（共 18 页） 6 （5 分）过双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点(22，0)作两条渐近线的垂 线，垂足分
3、别为 A，B，点 O 为坐标原点，若四边形 OAFB 的面积为 4，则双曲线的离心 率为（ ） A22 B2 + 1 C3 D2 7 （5 分）在四边形 ABCD 中，D2B，且 AD1，CD3，cosB= 3 3 ，则边 AC 的 长（ ） A3 B4 C22 D23 8 （5 分）如图，给出的是计算1 + 1 4 + 1 7 + + 1 100的值的一个程序框图，则图中判断框内 （1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ） Ai100，nn+1 Bi34，nn+3 Ci34，nn+3 Di34，nn+3 9（5 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 直线 B1C1与平面 AB1D
4、1所成角的正弦值为 （ ） A1 3 B22 3 C 3 3 D 6 3 10 （5 分） 定义行列式运算|1 2 12| =a1b2a2b1， 已知函数 f （x） = | 1 3 | （0） ， 满足：f（x1）0，f（x2）2，且|x1x2|的最小值为 2，则 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 11 （5 分）已知实数 1，m，9 成等比数列，则椭圆 2 +y21 的离心率为（ ） 第 3 页（共 18 页） A2 B 6 3 C 6 3 或 2 D 2 2 或3 12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的周期为 6，当 x3，3）时，f（x）2xx+1， 则 f（log2
5、3）f（log212）（ ） A19 16 B13 16 C 19 16 D 13 16 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线 y（2x+1）lnx 在点（1，0）处的切线方程为 14 （5 分）已知变量 x，y（x，yR）满足约束条件 0 + 5 3 0 ，若不等式（x+y） 2c（x2+y2） （cR）恒成立，则实数 c 的最大值为 15 （5 分）已知 tan3，则 cos2 16 （5 分）如果圆锥的底面积为 ，母线长为 2，那么该圆锥的侧面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，
6、每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）Sn等差数列an的前 n 项和，a17，S318 （）求an的通项公式； （）求 Sn，并求 Sn的最大值 18 （12 分）某市运会期间 30 位志愿者年龄数据如表： 年龄（岁） 人数（人） 19 7 21 2 28 3 30 4 31 5 32 3 40 6 合计 30 （1）求这 30 位志愿者年龄的众数与极差； （2）以十位为茎，个位数为叶，作出这 30 位志愿者年龄的茎叶图； （3）求这 30 位志愿者年龄的方差 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，平面 SCD 平面ABCD，SDCBCD
7、 ADB2CBD2ABD90，E 为线段 SB 的中点，F 在线段 BD 上，且 EF平面 ABCD （）求证：CE平面 SAD； （）若 BC2，ECF45，求点 F 到平面 SBC 的距离 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 R（x0，y0）是椭圆 C： 2 24 + 2 12 =1（ab0） 上一点，从原点 O 向圆 R： （xx0）2+（yy0）28 作两条切线，分别交 P、Q 两点 （1）若 R 点在第一象限，且直线 OPOQ，求圆 R 的方程； （2）若直线 OP、OQ 的斜率存在，并记为 k1、k2，求 k1k2； （3）试问 OP2+OQ2是否为定值？若是，求
8、出该值；若不是，说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ 1 （aR）在 x1 处的切线与直线 x2y+10 平行 （）求实数 a 的值，并判断函数 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）m 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1+x21 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C：4cos，直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别 交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通
9、方程； 第 5 页（共 18 页） （2）若点 P（3，1） ，求 1 | 1 |的值 23已知函数 f（x）|x+2|2|x3| （）解不等式：f（x）2； （）若函数 f（x）的最大值为 m，正实数 a，b 满足 a+2bm，证明：2 + 1 8 5 第 6 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（16） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设 x，yR，若复数: ;是纯虚数，则点 P（x，y）一定满足（ ） Ay
10、x B = 1 Cyx D = 1 【解答】解：由: ; = (:)(:) (;)(:) = ;1 2:1 + : 2:1 是纯虚数， 1 = 0 + 0 ，得 x0，y= 1 故选：B 2 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 3 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同
11、学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 【解答】解：由题意可得甲= 1 6（88+87+85+92+93+95）90， 设被污损的数字为 x， 则乙= 1 6（85+86+88+90+99+x）89+ 6， 满足题意时，甲乙 即：9089+ 6，解得 x6， 即 x 可能的取值为 0，1，2，3，4，5， 第 7 页（共 18 页） 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p= 6 10 = 3 5 故选：C 4 （5 分）若向量 = (1，)， = (1 ，2)，且 ( )，则 x 的值为（ ） A1 B0 C1 D0 或 1 【解答】解：
12、= (， 2)，且 ( )， ( ) = + ( 2) = 0，解得 x0 或 1 故选：D 5 （5 分）函数 g（x）的图象可看作是将函数 f（x）= |1| 1 +x1 的图象向左平移一个 单位长度而得到的，则函数 g（x）的图象可能是（ ） A B C D 【解答】 解： 由已知可得() = ( + 1) = | + ， 显然 g （x） g （x） ， 故 g （x） 为奇函数，其图象关于原点对称，排除 A； 当 x 趋向于正无穷大时，g（x）趋向于正无穷大，排除 D； g（1）10，排除 B； 故选：C 6 （5 分）过双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点(22，
13、0)作两条渐近线的垂 线，垂足分别为 A，B，点 O 为坐标原点，若四边形 OAFB 的面积为 4，则双曲线的离心 率为（ ） A22 B2 + 1 C3 D2 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：过双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点(22，0)作两条渐近线 的垂线，垂足分别为 A，B，点 O 为坐标原点，若四边形 OAFB 的面积为 4，在 RtOAF 中，|AF|csinAOFc =b，同理，|OA|a， SOAF= 1 2|OA|AF|= 1 2ab， 又 SOAF2，ab4，而 c22，即 a2+b28，ab2，e= 2 故选：D 7 （5 分）在四边形 ABC
14、D 中，D2B，且 AD1，CD3，cosB= 3 3 ，则边 AC 的 长（ ） A3 B4 C22 D23 【解答】解：如图所示： ， D2B，cosB= 3 3 ， cosDcos2B2cos2B1= 2 1 3 1 = 1 3， 在ACD 中，AD1，CD3，由余弦定理得：cosD= 2+22 2 ， 1:9; 2 213 = 1 3， 解得：AC23， 故选：D 8 （5 分）如图，给出的是计算1 + 1 4 + 1 7 + + 1 100的值的一个程序框图，则图中判断框内 （1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ） 第 9 页（共 18 页） Ai100，nn+1 Bi34，n
15、n+3 Ci34，nn+3 Di34，nn+3 【解答】解：算法的功能是计算 S= 1 + 1 4 + 1 7 + + 1 100的值， 由题意及等差数列的性质，可得，1001+（i1）3，解得 i34， 终止程序运行的 i 值为 35， 判断框的条件为 i34， 根据 n 值的规律得：执行框应为 nn+3， 故选：C 9（5 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 直线 B1C1与平面 AB1D1所成角的正弦值为 （ ） A1 3 B22 3 C 3 3 D 6 3 【解答】解：如图，连接 A1C 交 AB1D1于 O，直线 B1C1与平面 AB1D1所成角就是直线 A1D1与平面 A
16、B1D1所成角，A1O平面 AB1D1， A1D1O 即为直线 B1C1与平面 AB1D1所成角，设正方体的棱长为 a， sinA1D1O= 3 3 = 3 3 ， 故选：C 第 10 页（共 18 页） 10 （5 分） 定义行列式运算|1 2 12| =a1b2a2b1， 已知函数 f （x） = | 1 3 | （0） ， 满足：f（x1）0，f（x2）2，且|x1x2|的最小值为 2，则 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：函数 f（x）= | 1 3 | = 3sinxcosx2sin（x 6） （0） ， 满足 f（x1）0，f（x2）2，且|x1x2|的最小值为 2
17、， 4 = 2，解得 T2， = 2 =1 故选：A 11 （5 分）已知实数 1，m，9 成等比数列，则椭圆 2 +y21 的离心率为（ ） A2 B 6 3 C 6 3 或 2 D 2 2 或3 【解答】解：实数 1，m，9 成等比数列，m29，即 m3， m0，m3，椭圆的方程为 2 3 + 2= 1，a= 3，b1，c= 2 离心率为 = = 2 3 = 6 3 ， 故选：B 12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的周期为 6，当 x3，3）时，f（x）2xx+1， 则 f（log23）f（log212）（ ） A19 16 B13 16 C 19 16 D 13 16 【
18、解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）的周期为 6，当 x3，3）时，f（x）2x x+1， f（log23）= 223log23+13log23+14log23， 第 11 页（共 18 页） 3log2124，3log21262， 则 f（log212）f（log2126）= 2212;6（log2126）+1= 2212 26 log212+6+1= 12 64 log212+7= 3 16 log232+7= 3 16 log23+5， 则 f （log23） f （log212） 4log23 （ 3 16 log23+5） 4log23 3 16 log235= 19 16， 故
19、选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线 y（2x+1）lnx 在点（1，0）处的切线方程为 3xy30 【解答】解：由 y（2x+1）lnx，得： y2lnx+ 1 + 2， f（1）3， 即曲线 y（2x+1）lnx 在点（1，0）处的切线的斜率为 3， 则曲线 y（2x+1）lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y03（x1） ， 整理得：3xy30 故答案为：3xy30 14 （5 分）已知变量 x，y（x，yR）满足约束条件 0 + 5 3 0 ，若不等式（x+y） 2c（x2+y2） （cR）恒成立，
20、则实数 c 的最大值为 25 13 【解答】解：由题意知：可行域如图， 又（x+y）2c（x2+y2） （在可行域内恒成立） 且 c (+)2 2+2 =1+ 2 2+2 =1+ 2 1+( ) 2 =1+ 2 1 + ， 故只求 z1+ 2 1 + 的最大值即可 设 k= ，则有图象知 A（2，3） ， 则 OA 的斜率 k= 3 2，BC 的斜率 k1， 由图象可知即 1k 3 2， 第 12 页（共 18 页） zk+ 1 在1， 3 2上为增函数， 当 k= 3 2时，z 取得最大值 z= 3 2 + 2 3 = 13 6 ， 此时 1+ 2 =1+ 2 13 6 =1+ 12 13
21、= 25 13， 故 c 25 13， 故 c 的最大值为25 13， 故答案为：25 13 15 （5 分）已知 tan3，则 cos2 4 5 【解答】解：tan3， cos2= 22 2+2 = 12 1+2 = 19 1+9 = 4 5 故答案为： 4 5 16 （5 分）如果圆锥的底面积为 ，母线长为 2，那么该圆锥的侧面积为 2 【解答】解：设圆锥的底面积半径 r，则底面半径为 r2，解得 r1； 由母线长为 l2，则该圆锥的侧面积为 S侧rl122 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）Sn
22、等差数列an的前 n 项和，a17，S318 （）求an的通项公式； （）求 Sn，并求 Sn的最大值 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （）根据题意，设等差数列an的公差为 d， 则有 S3a1+a2+a33a218，则 a26， 又由 a17， 则 da2a1671， 则 an7+（1）（n1）8n； （）根据题意，有（）的结论，an8n， 则 Sn= (7+8) 2 = 1 2（n 15 2 ）2+ 225 8 ， 又由 nN*， 故当 n7 或 8 时，Sn取得最大值，且其最大值 S7S828 18 （12 分）某市运会期间 30 位志愿者年龄数据如表： 年龄（岁） 人数（人
23、） 19 7 21 2 28 3 30 4 31 5 32 3 40 6 合计 30 （1）求这 30 位志愿者年龄的众数与极差； （2）以十位为茎，个位数为叶，作出这 30 位志愿者年龄的茎叶图； （3）求这 30 位志愿者年龄的方差 【解答】解： （1）众数为 19，极差为 212 分， （2）茎叶图如图下： 1#/DEL/# 2#/DEL/# 3#/DEL/# 4#/DEL/# | 9999999 11888 000011111222 000000 5 分 （3）年龄的平均数为： 197:283:212:304:315:323:406 30 = 870 30 = 29，8 分 第 14
24、页（共 18 页） 故这 30 位志愿者年龄的方差为： 1 30 (19 29)2 7 + 3 12+ 2 82+ 4 12+ 22 5 + 32 3 + 112 6 = 1608 30 = 268 5 12 分 19 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，平面 SCD 平面ABCD，SDCBCD ADB2CBD2ABD90，E 为线段 SB 的中点，F 在线段 BD 上，且 EF平面 ABCD （）求证：CE平面 SAD； （）若 BC2，ECF45，求点 F 到平面 SBC 的距离 【解答】 （）证明：因为平面 SCD平面 ABCD， 平面 SCD平面 ABCDCD，SDCD，SD
25、平面 SCD，故 SD平面 ABCD； 又 EF平面 ABCD，故 EFSD； 因为 EF平面 SAD，SD平面 SAD，故 EF平面 SAD； 取 SA 中点 G，连接 GE，GD，则 GEAB，且 = 1 2 ； 因为BCDABC90，故 CDAB，故 GECD； 由角度关系可知， = 1 2 ，故 CDGE， 即四边形 CDGE 为平行四边形，CEGD； 又因为 CE平面 SAD，GD平面 SAD，故 CE平面 SAD （）解：由（I）可知，F 是线段 BD 的中点在等腰直角BCD 中，BCCD2，则 = 22， 在 RtECF 中，ECF45，所以 = = 1 2 = 2， 所以 =
26、2 = 22， = 23 易知是点 F 到平面 SBC 的距离是点 D 到平面 SBC 的距离的一半，过 D 作平面 SBC 的垂 线，交平面 SBC 于点 M， 第 15 页（共 18 页） 则易知 M 一定在线段 SC 上，由 SCDMSDCD 得 = = 26 3 ， 所以点 F 到平面平面 SBC 的距离为 6 3 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 R（x0，y0）是椭圆 C： 2 24 + 2 12 =1（ab0） 上一点，从原点 O 向圆 R： （xx0）2+（yy0）28 作两条切线，分别交 P、Q 两点 （1）若 R 点在第一象限，且直线 OPOQ，求圆 R
27、 的方程； （2）若直线 OP、OQ 的斜率存在，并记为 k1、k2，求 k1k2； （3）试问 OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 【解答】解： （1）由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r22， 因为直线 OP，OQ 互相垂直，且和圆 R 相切， 所以|OR|= 2r4，即 x02+y0216 又点 R 在椭圆 C 上，所以0 2 24 + 02 12 =1 联立，解得 x0y022， 所以，所求圆 R 的方程为（x22）2+（y22）28； （2）因为直线 OP：yk1x 和 OQ：yk2x 都与圆 R 相切， 所以 |10;0| 1: 12 =22，|20;0|
28、1: 22 =22， 两边平方可得 k1，k2为（x028）k22x0y0k+（y028）0 的两根， 第 16 页（共 18 页） 可得 k1k2= 028 028， 因为点 R（x0，y0）在椭圆 C 上， 所以0 2 24 + 02 12 =1，即 y0212 1 2x0 2， 所以 k1k2= 41 202 028 = 1 2； （3）当直线 OP，OQ 不落在坐标轴上时， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 由（2）知 2k1k2+10， 所以212 12 +10，故 y12y22= 1 4x1 2x22， 因为 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）在椭圆 C 上， 所以1
29、 2 24 + 12 12 =1，2 2 24 + 12 12 =1， 即 y1212 1 2x1 2，y22121 2x2 2， 所以（12 1 2x1 2） （121 2x2 2）=1 4x1 2x22， 整理得 x12+x2224， 所以 y12+y22（12 1 2x1 2）+（121 2x2 2）12， 所以 OP2+OQ2x12+y12+x22+y22（x12+x22）+（y12+y22）36 当直线 OP，OQ 落在坐标轴上时，显然有 OP2+OQ236 综上可得，OP2+OQ2为定值 36 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ 1 （aR）在 x1 处的切线与直线 x2
30、y+10 平行 （）求实数 a 的值，并判断函数 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）m 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1+x21 【 解 答 】 解 ： （ ） 函 数f （ x ） 的 定 义 域 ： （ 0 ， + ） ，（1 分） (1) = 1 1 = 1 2，解得 = 2，（2 分） () = + 1 2 ， () = 1 1 22 = 21 22 （3 分） 第 17 页（共 18 页） 令f（x）0，解得0 1 2 ，故 ()在(0， 1 2)上是单调递减；（4 分） 令f（x）0，解得 1 2 ，故()在(1 2， + )上是单调递增（5 分） （II）由
31、 x1，x2为函数 f（x）m 的两个零点，得1+ 1 21 = ，2+ 1 22 = ，（6 分） 两式相减，可得1 2+ 1 21 1 22 = 0，（7 分） 即 1 2 = 12 212，12 = 12 21 2 ， 因此1= 1 21 21 2 ，2= 12 1 21 2 （8 分） 令 = 1 2 ，由12，得01， 则1+ 2= 1 2 + 11 2 = 1 2，（9 分） 构造函数() = 1 2(01)，（10 分） 则() = 1 + 1 2 2 = (1)2 2 0 所以函数 h（t）在（0，1）上单调递增，故 h（t）h（1） ， （11 分） 即 1 20，可知 ;1
32、 2 1， 故 x1+x21命题得证（12 分） 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C：4cos，直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别 交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若点 P（3，1） ，求 1 | 1 |的值 【解答】解： （1）曲线 C：4cos，24cos， 第 18 页（共 18 页） 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x， 即（x2）2+y24， 直
33、线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ， 直线 l 的普通方程为：x2y50 （2）直线 l 的参数方程为： = 3 + 2 = 1 + （t 为参数） ， = 3 + 2 5 = 1 + 1 5 ， 代入 x2+y24x，得 t2+ 2 5 2 = 0 1+ 2= 2 5 ，12= 2， 1 | 1 | = 1 |1| 1 |2| = |2|;|1| |1|2| = |2:1| |12| = 5 5 23已知函数 f（x）|x+2|2|x3| （）解不等式：f（x）2； （）若函数 f（x）的最大值为 m，正实数 a，b 满足 a+2bm，证明：2 + 1 8
34、5 【解答】 （）解：当 x3 时，f（x）|x+2|2|x3|x+22x+6x+82， 解得 x6，3x6； 当2x3 时，f（x）|x+2|2|x3|x+2+2x63x42， 解得 x2，2x3； 当 x2 时，f（x）|x+2|2|x3|x2+2x6x82， 解得 x10，无解（4 分） 综上所述，原不等式的解集为（2，6）（5 分） （）证明：f（x）|x+2|2|x3|= 8， 2 3 4， 2 3 + 8， 3 ()= 5， 即 a+2b5， 5 + 2 5 = 1 （8 分） (2 + 1 )( 5 + 2 5 ) = 2 5 + 5 + 4 5 + 2 5 4 5 + 2 5 4 5 = 8 5（当且仅当 a2b 时，等号成 立）（10 分）
