1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（15） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 2 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 3 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则 乙、丙两人恰好参加同一项活动的
2、概率为（ ） A1 2 B1 3 C1 6 D 1 12 4 （5 分） 已知向量 = (2，)， = (4， 2)， 且( + ) ( )， 则实数 m （ ） A4 B4 C2 D4 5 （5 分）若方程|lnx|k， （k0）的两个根分别为 a，b，则函数 f（x）bxa 的图象可 能是（ ） A B C D 6 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 C：x2+y26x+50 相切，则该双曲线离心率等于（ ） A35 5 B 6 2 C3 2 D 5 5 7（5分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 已知 = 4 5 ，
3、= 2，= 3， 则边 a 为（ ） 第 2 页（共 18 页） A20 3 B5 C13 D 97 4 8 （5 分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ） A求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和 B求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和 C求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和 D求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和 9（5 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 在正方形 DD1C1C 中有一动点 P， 满足 PD1PD， 则直线 PB 与平面 DD1C1C 所成角中最大角的正切值为（ ） A1 B2
4、 C3:1 2 D5:1 2 10 （5 分）已知函数 f（x）cosxsin2x，则下列关于函数 f（x）的结论中错误的是（ ） A最大值为43 9 B图象关于直线 = 3 4 对称 C既是奇函数又是周期函数 D图象关于点（，0）中心对称 11 （5 分）已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点( 2 2 ， 3 2 )，椭圆 E 的离心率为 2 2 ， 则椭圆 E 的焦距为（ ） A1 B2 C2 D22 第 3 页（共 18 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R 且满足f（x）f（x） ，f（x）f（2x） ，则 (24 + 48 + 816 5 6) =（
5、 ） A1 B1 C3 2 D0 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线() = 1 2 2+ 在点（1，f（1） ）处的切线与直线 axy10 垂直， 则 a 14 （5 分）若 x，y 满足 2 0 + 3 0 ，则 2x+y 的最大值为 15 （5 分）已知( 3) = 1 3，则(2 + 3) + 2( 3 )的值为 16 （5 分）将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的 最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 1
6、7 （12 分）在等差数列an中，已知 a1+a312，a2+a418，nN* （）求数列an的通项公式； （）求 a3+a6+a9+a3n 18 （12 分）某快递公司为了解本公司快递业务情况，随机调查了 100 个营业网点，得到了 这些营业网点 2019 年全年快递单数增长率 x 的频数分布表： x 的分组 0.20，0） 0，0.20） 0.20，0.40） 0.40，0.60） 0.60，0.80） 营业网点数 2 24 53 14 7 （1） 分别估计该快递公司快递单数增长率不低于 40%的营业网点比例和快递单数负增长 的营业网点比例； （2）求 2019 年该快递公司快递单数增长率
7、的平均数和标准差的估计值（同一组中的数 据用该组区间的中点值作为代表） （精确到 0.01）参考数据：74 8.602 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ACB90，ACCB CC12，M，N 分别是 AB，A1C 的中点 （）求证：MN平面 BCC1B1； （）求点 M 到平面 B1NC 的距离 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）已知点 E 在椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切 于椭圆 C 的右焦点 F2，与 y 轴相交于 A，B 两点，且ABE 是边长为 2 的正三角形 （）求椭圆 C 的
8、方程； （）已知圆 O：x2+y2= 18 5 ，设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点， 试判断|PM|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由 21 （12 分）设函数 f（x）ln（x1）+ax2+x+1，g（x）（x1）ex+ax2，aR （）当 a1 时，求函数 f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）若函数 g（x）有两个零点，试求 a 的取值范围； （）证明 f（x）g（x） 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 = 1 + 2
9、= 2 3 2 （t 为参数） ，以 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 4cos （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，点 P（1，2） ，求|PA|+|PB|的值 23已知函数 f（x）|x1| （1）解不等式 f（x）+f（2x+5）x+9； （2） 若 a0， b0， 且1 + 4 = 2， 证明： ( + ) + ( ) 9 2， 并求( + ) + ( ) = 9 2时，a，b 的值 第 5 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国
10、二卷高考模拟试卷（15） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 【解答】解：z（1+i） （2+i）2+i+2i11+3i， = 1 3 故选：B 2 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，
11、3， 故选：A 3 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则 乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（ ） A1 2 B1 3 C1 6 D 1 12 【解答】解：现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活 动， 基本事件总数 n= 4 2 2 2 2 2 2 2 =6， 乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 m= 2 222 2 2 =2， 乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率 p= = 2 6 = 1 3 故选：B 4 （5 分） 已知向量 = (2，)， = (4， 2)， 且( + ) ( )， 则实数 m （
12、 ） A4 B4 C2 D4 【解答】解：( + ) ( )， ( + ) ( ) = 2 2 =4+m21640，解得 m4 故选：D 第 6 页（共 18 页） 5 （5 分）若方程|lnx|k， （k0）的两个根分别为 a，b，则函数 f（x）bxa 的图象可 能是（ ） A B C D 【解答】解：方程|lnx|k（k0）的两个根即为函数 g（x）|lnx|与直线 yk 的交点的 横坐标， 由函数 g（x）|lnx|的图象易知，其中一个根在区间（0，1）内，另一个根在（1，+） 内， 当 0b1，a1 时，由指数函数的图象及函数图象变换可知，选项 D 符合题意 其余选项均不可能满足题意
13、 故选：D 6 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线均与圆 C：x2+y26x+50 相切，则该双曲线离心率等于（ ） A35 5 B 6 2 C3 2 D 5 5 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y x，即 bxay 0 圆 C：x2+y26x+50 化为标准方程（x3）2+y24 C（3，0） ，半径为 2 双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线均和圆 C：x2+y26x+50 相切 3 2:2 =2 9b24b2+4a2 5b24a2 b2c2a2 5（c2a2）4a2 9a
14、25c2 e= = 35 5 双曲线离心率等于 35 5 故选：A 7（5分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 已知 = 4 5 ， = 2，= 3， 则边 a 为（ ） A20 3 B5 C13 D 97 4 【解答】解：cosA= 4 5，sinA= 3 5， 又SABC= 1 2 =3， c5， cosA= 2+22 2 = 4 5， 4:25; 2 225 = 4 5， 解得：a= 13， 故选：C 8 （5 分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ） 第 8 页（共 18 页） A求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和 B求
15、首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和 C求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和 D求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n1，S1， n3，S1+5 n5，S1+5+9 n7，S1+5+9+13 n2017，S1+5+9+13+（220171） n2019， 此时， 满足判断框内的条件， 退出循环， 输出 S1+5+9+13+ （220171） 的值 即 S 为数列1，5，9，4033的和，易得：an+1an4（常数） ， 40331+（n1）4，解得 n1009， 可得该算法的功能是求首项为 1，公差为 4
16、的等差数列前 1009 项和 故选：C 9（5 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 在正方形 DD1C1C 中有一动点 P， 满足 PD1PD， 则直线 PB 与平面 DD1C1C 所成角中最大角的正切值为（ ） 第 9 页（共 18 页） A1 B2 C3:1 2 D5:1 2 【解答】解：由题意正方体 ABCDA1B1C1D1中，在正方形 DD1C1C 中有一动点 P，满 足 PD1PD， 可知 P 是平面 DD1C1C 内，DD1为直径的半圆，如图， 直线 PB 与平面 DD1C1C 所成角中最大角的最大值， 就是圆的圆心与 C 连线与圆的交点，此时 PC 取得最小值， 设正方
17、体的列出为 2，则 PC= 5 1，BC2， 所以直线 PB 与平面 DD1C1C 所成角中最大角的正切值为： 2 5;1 = 5:1 2 故选：D 10 （5 分）已知函数 f（x）cosxsin2x，则下列关于函数 f（x）的结论中错误的是（ ） A最大值为43 9 B图象关于直线 = 3 4 对称 C既是奇函数又是周期函数 D图象关于点（，0）中心对称 【解答】解：f（x）cosxsin2x2sinxcos2x2sinx（1sin2x）2sin3x+2sinx 令 tsinx（1t1） ，则原函数化为 y2t3+2t，y6t2+2， 函数在（1， 3 3 ） ， （ 3 3 ，1）上为减
18、函数，在（ 3 3 ， 3 3 ）上为增函数， 当 x1 时，y0，当 x= 3 3 时，y= 43 9 ，f（x）的最大值为43 9 ，故 A 正确； f（3 4 ）cos3 4 sin3 2 = 2 2 ，既不是函数最大值，也不是函数最小值， 函数图象不关于直线 = 3 4 对称，故 B 错误； f（x）cos（x）sin（2x）cosxsin2xf（x） ，且 f（2+x）f（x） ， 函数既是奇函数又是周期函数，故 C 正确； 第 10 页（共 18 页） f（）cossin20，图象关于点（，0）中心对称，故 D 正确 错误的结论是 B 故选：B 11 （5 分）已知椭圆 E： 2
19、2 + 2 2 = 1(0)过点( 2 2 ， 3 2 )，椭圆 E 的离心率为 2 2 ， 则椭圆 E 的焦距为（ ） A1 B2 C2 D22 【解答】解：由题意可得： 1 22 + 3 42 =1， = 2 2 ，a2b2+c2，解得 c21， 所以焦距 2c2， 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R 且满足f（x）f（x） ，f（x）f（2x） ，则 (24 + 48 + 816 5 6) =（ ） A1 B1 C3 2 D0 【解答】解：f（x）f（x） ，函数 f（x）是奇函数，且 f（0）0 f（x）f（2x）f（x）f（2x） f（x）f（x+2） f（x
20、）f（x+4） ，函数 f（x）的周期为 4 又2 4+48+816 5 6=2+3 2 + 4 3 5 6 = 4 (24 + 48 + 816 5 6) =f（4）f（0）0 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线() = 1 2 2+ 在点（1，f（1） ）处的切线与直线 axy10 垂直， 则 a 1 2 【解答】解：f（x）= 1 2x 2+xlnx，f（x）x+lnx+1， f（1）2 切线的斜率为 2， 切线与直线 axy10 垂直， 第 11 页（共 18 页） 可得：a= 1 2； 故答案为
21、： 1 2 14 （5 分）若 x，y 满足 2 0 + 3 0 ，则 2x+y 的最大值为 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 设 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由2 = 0 + = 3 ，解得 = 1 = 2，即 A（1，2） ， 代入目标函数 z2x+y 得 z12+24 即目标函数 z2x+y 的最大值为 4 故答案为：4 15 （5 分）已知( 3) = 1 3，则(2 + 3) + 2( 3 )的值为 5 3 【解答】解：cos（x 3）
22、sin（x+ 6）= 1 3， cos（2x+ 3）+sin 2（ 3 x） cos（2x+ 3）+ 1(2 3 2) 2 = 1 2cos2x 3 2 sin2x+ 1 2 + 1 4cos2x 3 4 sin2x = 3 2cos（2x+ 3）+ 1 2 第 12 页（共 18 页） = 3 2 12sin2（x+ 6）+ 1 2 = 3 2 （12 1 9）+ 1 2 = 5 3 故答案为：5 3 16 （5 分）将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的 最大值为 3 【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为 h，底面半径为 r， 则3
23、; 3 = 2，解得 h= 3 3 2 r 故 S侧2rh2r（3 3 2 r）= 3r（2r） 3(+2 2 )2= 3 当 r1 时，S侧的最大值为3 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在等差数列an中，已知 a1+a312，a2+a418，nN* （）求数列an的通项公式； （）求 a3+a6+a9+a3n 【解答】解： （ I）因为an是等差数列，a1+a312，a2+a418，所以21 + 2 = 12， 21+ 4 = 18. 解得 d3，a13则 an3+（n1）33n，nN* （7 分
24、） （ II）a3，a6，a9，a3n构成首项为 a39，公差为 9 的等差数列 则3+ 6+ 9+ + 3= 9 + 1 2 ( 1) 9 = 9 2 (2+ ) （13 分） 18 （12 分）某快递公司为了解本公司快递业务情况，随机调查了 100 个营业网点，得到了 这些营业网点 2019 年全年快递单数增长率 x 的频数分布表： x 的分组 0.20，0） 0，0.20） 0.20，0.40） 0.40，0.60） 0.60，0.80） 营业网点数 2 24 53 14 7 （1） 分别估计该快递公司快递单数增长率不低于 40%的营业网点比例和快递单数负增长 的营业网点比例； （2）求
25、 2019 年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数 第 13 页（共 18 页） 据用该组区间的中点值作为代表） （精确到 0.01）参考数据：74 8.602 【解答】解： （1）根据频数分布表得，所调查 100 个营业网点中， 快递单数增长率不低于 的营业网点的频率为14:7 100 = 0.21， 快递单数负增长的营业网点的频率为 2 100 = 0.02， 用样本频率分布估计总体分布得该快递公司快递单数增长率不低于 40%的营业网点比例 为 21%， 快递单数负增长的营业网点比例为 2% （2） = 0.10 2 100 + 0.10 24 100 + 0.3
26、0 53 100 + 0.50 14 100 + 0.70 7 100 = 0.30， S2（0.100.3）2 2 100 +（0.100.3）2 24 100 +（0.300.3）2 53 100 +（0.500.3） 214 100 +（0.700.3）2 7 100 = 74 2500 = 37 1250 = 0.0296， = 74 2500 = 1 5074 0.02 8.602 = 0.17， 2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值为30%， 标准差的估计值为17% 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ACB90，ACCB CC
27、12，M，N 分别是 AB，A1C 的中点 （）求证：MN平面 BCC1B1； （）求点 M 到平面 B1NC 的距离 【解答】解： （）连接 AC1，BC1交 B1C 于点 O， AA1平面 ABC 且 ACCC12，四边形 ACC1A1为正方形， AC1过点 N，且点 N 为 AC1中点， 又M 为 AB 的中点，MNBC1，且 = 1 21， 又MN 不在平面 BCC1B1内，BC1在平面 BCC1B1内， MN面 BCC1B1 第 14 页（共 18 页） （）由（1）可得四边形 MBON 为平行四边形， 可证 BM平面 B1NC， 点 M 到平面 B1NC 的距离等于点 B 到平面
28、B1NC 的距离，设为 d， 1 = 1 = 11= 22，N 为 A1C 中点，1= 1 2 11= 3， 由;1= ;1，得1 3 1 1 2 = 1 3 1， 又1= 2， = 23 3 20 （12 分）已知点 E 在椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切 于椭圆 C 的右焦点 F2，与 y 轴相交于 A，B 两点，且ABE 是边长为 2 的正三角形 （）求椭圆 C 的方程； （）已知圆 O：x2+y2= 18 5 ，设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点， 试判断|PM|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是
29、定值，请说明理由 【解答】解： （）由题意可得 EF2x 轴，可得 E（c， 2 ） ， ABE 是边长为 2 的正三角形，可得 c= 3 2 2= 3， 2 =2，且 a2b23， 解得 a3，b= 6， 可得椭圆方程为 2 9 + 2 6 =1； （）当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率不存在， 可设切线方程为 x=18 5 ，可得 M（18 5 ，18 5 ） ，N（18 5 ，18 5 ） ， = 18 5 18 5 =0，可得 OMON， 第 15 页（共 18 页） 此时|PM|PN|OP|2r2= 18 5 ； 当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率存在，可设切线方程为 y
30、kx+m， M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由直线和圆相切可得 | 1:2 =18 5 ，即 5m218（1+k2） ， 联立直线方程 ykx+m 和椭圆方程 2x2+3y218， 可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2180， 即有0，x1+x2= 6 2+32，x1x2= 3218 2+32 ， =x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m） （1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2（1+k2） 3 2;18 2:32 +km（ 6 2+32）+m 20， 可得 OMON，此时|PM|PN|OP|2r2= 18 5 综上可得|PM|PN|为定值18 5 21
31、 （12 分）设函数 f（x）ln（x1）+ax2+x+1，g（x）（x1）ex+ax2，aR （）当 a1 时，求函数 f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）若函数 g（x）有两个零点，试求 a 的取值范围； （）证明 f（x）g（x） 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域是（1，+） ，() = (22+1) 1 当 a1 时，f（2）4a+26，f（2）4a+37 所以函数 f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y76（x2） 即 y6x5 （4 分） （）函数 g（x）的定义域为 R，由已知得 g（x）x（ex+2a） 当 a0 时，函数 g（x）（x1）ex只
32、有一个零点； 当 a0，因为 ex+2a0， 当 x（，0）时，g（x）0；当 x（0，+）时，g（x）0 所以函数 g（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增 又 g（0）1，g（1）a， 因为 x0，所以 x10，ex1，所以 ex（x1）x1，所以 g（x）ax2+x1 第 16 页（共 18 页） 取0= 11+4 2 ，显然 x00 且 g（x0）0 所以 g（0）g（1）0，g（x0）g（0）0 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点 当 a0 时，由 g（x）x（ex+2a）0，得 x0，或 xln（2a） ） 当 1 2，则 ln（2a）0 当 x 变化时，
33、g（x） ，g（x）变化情况如下表： x （，0） 0 （0，ln（ 2a） ） ln（2a） （ln（2a） ， +） g（x） + 0 0 + g（x） 1 注意到 g（0）1，所以函数 g（x）至多有一个零点，不符合题意 ） 当 = 1 2，则 ln（2a）0，g（x）在（，+）单调递增，函数 g（x）至 多有一个零点，不符合题意 若 1 2，则 ln（2a）0 当 x 变化时，g（x） ，g（x）变化情况如下表： x （， ln （ 2a） ） ln（2a） （ln（2a） ， 0） 0 （0，+） g（x） + 0 0 + g（x） 1 注意到当 x0，a0 时，g（x）（x1）ex
34、+ax20，g（0）1，所以函数 g（x） 至多有一个零点，不符合题意 综上，a 的取值范围是（0，+） （9 分） （）证明：g（x）f（x）（x1）exln（x1）x1 设 h（x）（x1）exln（x1）x1，其定义域为（1，+） ，则证明 h（x）0 即可 因为() = 1 = ( 1 1)， 取1 = 1 + ;3， 则(1) = 1(1 3)0， 且 h（2）0 第 17 页（共 18 页） 又因为() = ( + 1)+ 1 (1)2 0，所以函数 h（x）在（1，+）上单增 所以 h（x）0 有唯一的实根 x0（1，2） ，且0= 1 01 当 1xx0时，h（x）0；当 xx
35、0时，h（x）0 所以函数 h（x）的最小值为 h（x0） 所以() (0) = (0 1)0 (0 1) 0 1 =1+x0x010 所以 f（x）g（x） （14 分） 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 = 2 3 2 （t 为参数） ，以 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 4cos （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，点 P（1，2） ，求|PA|+|PB|的值 【解
36、答】解： （1）直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 = 2 3 2 （t 为参数） ， 由 = 1 + 2 = 2 3 2 得 2 = 3( 1)， l 的普通方程为： = 3 + 2 + 3， C 的极坐标方程是 4cos， 24cos，x2+y24x， C 的直角坐标方程为：x2+y24x0 （2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，得： (1 + 2) 2 + (2 3 2 )2 4(1 + 2) = 0， 2 (23 + 1) + 1 = 0， 12= 1，1+ 2= 23+ 1，t1，t2同号， | + | = |1| + |2| = |1+ 2| = 23 + 1 23
37、已知函数 f（x）|x1| （1）解不等式 f（x）+f（2x+5）x+9； （2） 若 a0， b0， 且1 + 4 = 2， 证明： ( + ) + ( ) 9 2， 并求( + ) + ( 第 18 页（共 18 页） ) = 9 2时，a，b 的值 【解答】选修 45：不等式选 解： （1）f（x）+f（2x+5）|x1|+|2x+4|x+9 当 x2 时，不等式为 4x12x3，x（，3； 当2x1 时，不等式为 59，不成立； 当 x1 时，不等式为 2x6x3，x（，3， 综上所述，不等式的解集为（，33，+） ； （2） 证明： 解法一 f （x+a） +f （xb） |x+a
38、1|+|xb1|x+a1 （xb1） |a+b|， |a+b|（a+b）（a+b）( 1 2 + 2 ) = 5 2 + 2 + 2 5 2 + 2 2 2 = 9 2 当且仅当 2 = 2 ，即 b2a 时“”成立； 由 = 2 1 2 + 2 = 1可得： = 3 2， = 3 解法二：f（x+a）+f（xb）|x+a1|+|xb1|， 当 x1a 时，f（x+a）+f（xb）xa+1x+b+12x+2a+ba+b； 当 1ax1+b 时，f（x+a）+f（xb）x+a1x+b+1a+b； 当 x1+b 时，f（x+a）+f（xb）x+a1+xb12x2+aba+bf（x+a）+f（x b）的最小值为 a+b， ( + ) = ( + )( 1 2 + 2 ) = 5 2 + 2 + 2 5 2 + 2 2 2 = 9 2， 当且仅当 2 = 2 ，即 b2a 时“”成立； 由 = 2 1 2 + 2 = 1可得： = 3 2， = 3
