1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广东省高考数学（理科）模拟试卷（年广东省高考数学（理科）模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，4，6，B1，4，7， 8，则 A（UB）（ ） A4 B2，3，6 C2，3，7 D2，3，4，7 2 （5 分）已知复数 z 满足(1 ) = |1 + 3|，则复数 z 的共轭复数为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3 （5 分）已知等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，S424，S999，则 a7
2、（ ） A13 B14 C15 D16 4（5 分） 若向量 ， 的夹角为 3， 且| | = 2， | | = 1， 则向量 与向量 2 的夹角为 （ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 2 + 6 + 2 ，则 zx+3y 的最小值是（ ） A4 B2 C2 D4 6 （5 分）以抛物线 y24x 的焦点为右焦点，且长轴为 4 的椭圆的标准方程为（ ） A 2 16 + 2 15 = 1 B 2 16 + 2 4 = 1 C 2 4 + 2 3 = 1 D 2 4 + 2= 1 7 （5 分）如图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日
3、的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图 若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 第 2 页（共 19 页） an，an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中正确的是（ ） A数列an是递增数列 B数列Sn是递增数列 C数列an的最大项是 a11 D数列Sn的最大项是 S11 8 （5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑 P ABC 的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2） （ ） A41 B16 C25 D64 9 （5 分）函数 yx2ex的大致图象为（ ） A B C
4、 D 10（5分） 已知角 的始边在 x 轴的非负半轴上， 顶点在坐标原点， 且终边过点(1，2)， 则 sin 值为（ ） A 6 3 B 3 3 C 6 3 D 3 3 11 （5 分）已知 a= 3 1 2， = 23， = 32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当 ab 时，aba； 当 ab 时，abb2，已知函数 f（x）（1x）x2（2x） （x2，2） ，则满足 f （m+1）f（3m）的实数的取值范围是（ ） A1 2 ，+ ) B1 2 ，
5、2 C1 2 ， 2 3 D1， 2 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 写给全人类的数学魔法书第 3 部遇到任何数学题都能够解答的 10 种解题思 路中有这样一道例题： “远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有 盏灯” 14（5分） 在( + 3 ) 的的展开式中， 各项系数和与二项式系数和之比为32， 则在( + 3 ) 的 展开式中 x2系数为 15 （5 分） 已知 F 为双曲线： 2 4 2 9 = 1的左焦点， P， Q 为双曲线 C 同一支上的两点 若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，
6、点(13，0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为 16 （5 分）已知四面体 ABCD 的顶点都在同一个球的球面上，BC= 3，BD4，且满足 BCBD， ACBC， ADBD 若该三棱锥的体积为43 3 ， 则该球的球面面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E 为 A
7、B 的中点，沿 DE 将ADE 折起，使得点 A 到点 P 位置，且 PEEB，M 为 PB 的中 点，N 是 BC 上的动点（与点 B，C 不重合） （I）求证：平面 EMN平面 PBC； （II）是否存在点 N，使得二面角 BENM 的余弦值 6 6 ？若存在，确定 N 点位置；若 不存在，说明理由 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）设椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为 6 3 ，圆 O：x2+y23 与 x 轴正 半轴交于点 A，圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为23 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭
8、圆 C 于点 M，N，试判断|PM|PN|是否为定值？ 若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 20 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4
9、，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 21 （12 分）已知 f（x）x+ 1 mlnx，mR （1）讨论 f（x）的单调区间； （2）当 0m 2 2 时，证明 exx2xf（x）+1m 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系
10、 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)， 其参数方程 = = 3 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出这个 定值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 第 5 页（共 19 页） 23已知函数 f（x）|xm|+|x+1|，mN*，若存在实数 x 使得 f（x）3 成立 （1）求 m 的值； （2）若 ，0， （41） （1）m，求 + 的最小值 第 6 页（共 19 页） 2020 年广东省高考数学（理科
11、）模拟试卷（年广东省高考数学（理科）模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，4，6，B1，4，7， 8，则 A（UB）（ ） A4 B2，3，6 C2，3，7 D2，3，4，7 【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，8，A2，3，4，6，B1，4，7，8， UB2，3，5，6，A（UB）2，3，6 故选：B 2 （5 分）已知复数 z 满足(1 ) = |1 + 3|，则复数 z 的共轭复数为（ ） A1+i
12、B1i C1+i D1i 【解答】解：由(1 ) = |1 + 3| =12+ (3)2= 2， 得 z= 2 1 = 2(1+) (1)(1+) = 1 + ， 则 = 1 故选：D 3 （5 分）已知等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，S424，S999，则 a7（ ） A13 B14 C15 D16 【解答】解：因为 S424，S999， 41 + 6 = 24 91+ 36 = 99，解可得，a13，d2 则 a7a1+6d15 故选：C 4（5 分） 若向量 ， 的夹角为 3， 且| | = 2， | | = 1， 则向量 与向量 2 的夹角为 （ ） A 6 B 3 C2 3
13、D5 6 【解答】解：如图， 第 7 页（共 19 页） 设 = ， = ，则 = (1，0)， = (1，3)， 2 =（1，3）（2，0）（1，3） ， 设 与 2 的夹角为 （0） ， cos= (2 ) | |2 |= 1+3 22 = 1 2 = 3 故选：B 5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 2 + 6 + 2 ，则 zx+3y 的最小值是（ ） A4 B2 C2 D4 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 0 2 + 6 + 2 表示的平面区域， 如图： 其中 B（4，2） ，A（2，2） 设 zF（x，y）x+3y， 将直线 l：zx+3y 进行平移，观察直线在 y
14、 轴上的截距变化， 可得当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值 z最小值F（4，2）2 故选：B 第 8 页（共 19 页） 6 （5 分）以抛物线 y24x 的焦点为右焦点，且长轴为 4 的椭圆的标准方程为（ ） A 2 16 + 2 15 = 1 B 2 16 + 2 4 = 1 C 2 4 + 2 3 = 1 D 2 4 + 2= 1 【解答】解：由抛物线 y24x，得 2p4，p2， 焦点坐标为 F（1，0） ， 所求椭圆的右焦点为（1，0） ，即 c1， 又 2a4，a2，则 b2a2c2413 椭圆的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1 故选：C 7 （5 分）如图是某
15、省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图 若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 an，an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中正确的是（ ） 第 9 页（共 19 页） A数列an是递增数列 B数列Sn是递增数列 C数列an的最大项是 a11 D数列Sn的最大项是 S11 【解答】解：因为 1 月 28 日新增确诊人数小于 1 月 27 日新增确证人数，即 a7a8，所 以an不是递增数列，所以 A 错误； 因为 2 月 23 日新增确诊病例为 0，即 S33S34，所以Sn不是递增数列，所以 B
16、错误； 因为 1 月 31 日新增确诊病例最多， 从 1 月 21 日算起， 1 月 31 日是第 11 天， 所以数列an 的最大项是 a11，所以 C 选项正确， 数列Sn的最大项是最后一项，所以选项 D 错误， 故选：C 8 （5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑 P ABC 的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2） （ ） A41 B16 C25 D64 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 第 10 页（共 19 页） 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA底面 ABC 则 BCPC放入长方体，求长
17、方体外接球即可，设外接球的半径为 R， 所以（2R）242+42+3241， 所以 S4R241 故选：A 9 （5 分）函数 yx2ex的大致图象为（ ） A B C D 【解答】解：任意 xR，yx2ex0，排除 C y2xex+x2ex（x2+2x）ex， 在区间（，2） ， （0，+）上，y0，y 单调递增， 在区间（2，0）上，y0，y 单调递减， 故选：A 10（5分） 已知角 的始边在 x 轴的非负半轴上， 顶点在坐标原点， 且终边过点(1，2)， 则 sin 值为（ ） A 6 3 B 3 3 C 6 3 D 3 3 【解答】解：终边过点(1，2)， 第 11 页（共 19 页
18、） sin= 2 (1)2+(2)2 = 6 3 ， 故选：C 11 （5 分）已知 a= 3 1 2， = 23， = 32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 【解答】 解： 3 1 230= 1， 1 2 = 222322 = 1， 3233 = 1 2， abc 故选：A 12 （5 分）在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当 ab 时，aba； 当 ab 时，abb2，已知函数 f（x）（1x）x2（2x） （x2，2） ，则满足 f （m+1）f（3m）的实数的取值范围是（ ） A1 2 ，+ ) B1 2 ，2 C1 2 ， 2
19、 3 D1， 2 3 【解答】解：当2x1 时，f（x）1x22x4； 当 1x2 时，f（x）x2x22x34； 所以 f（x）= 4， 2 1 3 4，1 2 ， 易知，f（x）x4 在2，1单调递增，f（x）x34 在（1，2单调递增， 且2x1 时，f（x）max3，1x2 时，f（x）min3， 则 f（x）在2，2上单调递增， 所以 f（m+1）f（3m）得： 2 + 1 2 2 3 2 + 1 3 ，解得：1 2 m 2 3， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 写给全人类的数学魔法书第 3 部
20、遇到任何数学题都能够解答的 10 种解题思 路中有这样一道例题： “远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有 2 盏灯” 【解答】解：设顶层灯数为 a1，由题意得：q2， 第 12 页（共 19 页） 则8= 1(128) 12 =510， 解得 a12 故答案为：2 14（5分） 在( + 3 ) 的的展开式中， 各项系数和与二项式系数和之比为32， 则在( + 3 ) 的 展开式中 x2系数为 90 【解答】解：在( + 3 ) 的展开式中，各项系数和为 4n，二项式系和为 2n， 各项系数和与二项式系之比为 32，即4 2 =2n32，n5， 在( + 3 ) 的展开式中，
21、通项公式为 Tr+1= 53rx 5;3 2 令 5 3 2 =2，求得 r2，x2的系数为5 2990， 故答案为：90 15 （5 分） 已知 F 为双曲线： 2 4 2 9 = 1的左焦点， P， Q 为双曲线 C 同一支上的两点 若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点(13，0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为 32 【解答】 解： 根据题意， 双曲线： 2 4 2 9 = 1的左焦点 F （13， 0） ， 所以点(13，0)是 双曲线的右焦点， 虚轴长为：6； 双曲线图象如图： |PF|AP|2a4 |QF|QA|2a4 而|PQ|12， + 得：|PF|+|QF|PQ|8，
22、周长为：|PF|+|QF|+|PQ|8+2|PQ|32 故答案为：32 第 13 页（共 19 页） 16 （5 分）已知四面体 ABCD 的顶点都在同一个球的球面上，BC= 3，BD4，且满足 BCBD， ACBC， ADBD 若该三棱锥的体积为43 3 ， 则该球的球面面积为 23 【解答】解：由题意，如图：BCBD，ACBC，ADBD作 CEBD，EDBC，可 得 CBDE 是矩形，可得 AE平面 BCDE， BC= 3，BD4，该三棱锥的体积为43 3 ， 可得1 3 1 2 4 3 = 43 3 ，可得 AE2，并且 AB 为球的直径，BE= 3 + 16 = 19， AB= 19
23、+ 4 = 23， 球的表面积 4 2 4 =23， 故答案为：23 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【解答】解： （1）由; ; = :， 第 14 页（共 19 页） 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （a+b）22
24、ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 可得： （a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 18 （12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E 为 AB 的中点，沿 DE 将ADE 折起，使得点 A 到点 P 位置，且 PEEB，M 为 PB 的中 点，N 是 BC 上的动点（与点 B，C 不重合） （I）求证：平面 EMN平面 PBC； （II）是否存在点 N，使得二面角 BENM 的余弦值 6 6 ？若存在，确定 N 点位置；若 不存在，说明理由 【解答】解： （I）证明：由
25、 PEEB，PEED，EBEDE， 所以 PE平面 EBCD，又 BC平面 EBCD， 故 PEBC，又 BCBE，故 BC平面 PEB， EM平面 PEB，故 EMBC， 又等腰三角形 PEB，EMPB， BCPBB，故 EM平面 PBC， EM平面 EMN， 故平面 EMN平面 PBC； 第 15 页（共 19 页） （II）以 E 为原点，EB，ED，EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 PEEB2，设 N（2，m，0） ，B（2，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ，C（2， 2，0） ，M（1，0，1） ， = (1，0，1)， = (2，0，0)， =
26、 (2，0)， 设平面 EMN 的法向量为 = (，)， 由 = + = 0 = 2 + = 0 ，得 = (， 2， )， 平面 BEN 的法向量为 = (0，0，1)， 故|cos ， |; 22:4|= 6 6 ， 得 m1， 故存在 N 为 BC 的中点 19 （12 分）设椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为 6 3 ，圆 O：x2+y23 与 x 轴正 半轴交于点 A，圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为23 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M，N，试判断|PM|PN|是否为定值？ 若为定值，求出
27、该定值；若不是定值，请说明理由 【解答】解： （1）由椭圆的离心率为 e= = 6 3 ，c2a2b2 知，a= 3，椭圆 C 的 方程可设为 2 32 + 2 2 =1， 由题意易求得 A （3， 0） ， 圆 O 在点 A 处的切线被椭圆 C 截得的弦长为23 可得点 （3， 3） 在椭圆上， 3 32 + 3 2 =1，解得 a212，b24， 椭圆 C 的方程为 2 12 + 2 4 =1 第 16 页（共 19 页） （2）当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x= 3， 由（1）知，M（3，3） ，N（3，3） ， =0，OMON 当过点 P 且与圆 O
28、 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ykx+m，M（x1，y1） ， N（x2，y2） ， 圆心 O 到切线的距离 d= | 1+2 = 3，即 m23（1+k2） 联立直线和椭圆的方程得： （1+3k2）x2+6kmx+3m2120， 36k2m24（1+3k2） （3m212）0，x1+x2= 6 1+32，x1x2= 3212 1+32 ， =x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m） （1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 （1+k2） 3212 1+32 +km 6 1+32 +m2 = (1+2)(3212)622+2(1+32) 1+32 = 421
29、2212 1+32 = 4(1+32)12212 1+32 =0， OMON， 综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M，N，都有 OMON 在 RtOMN 中，由OMPNOP 得，|PM|PN|OP|23 为定值 20 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试
30、验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； 第 17 页（共 19 页） （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的 概率均为1 4， 假设每次接种后
31、当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3(1 4) 3 = 5 32， P（X2）1P（C）P（C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P（C）1P（C）1（1 5 32）（1 5 3
32、2）1= 729 1024， 所以 X 的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X 的数学期望 E（X）= 1 5 32 + 2 135 1024 + 3 729 1024 = 2617 1024 21 （12 分）已知 f（x）x+ 1 mlnx，mR （1）讨论 f（x）的单调区间； （2）当 0m 2 2 时，证明 exx2xf（x）+1m 【解答】 解： （1） f （x） 1+ 1 2 = 2+(1) 2 = (1)(1) 2 （x0） m2 时，m11则函数 f（x）在（0，1） ， （m1，+）上单调递增，在（1，m1） 上单调递减 m2 时，
33、f（x）= (1)2 2 0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 1m2 时，0m11，则函数 f（x）在（0，m1） ， （1，+）上单调递增，在（m 1，1）上单调递减 第 18 页（共 19 页） m1 时，f（x）= (1)(+1) 2 0，函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增 （2）证明：exx2xf（x）+1mexmxlnx0.0m 2 2 令 g（x）exmxlnxx0+，g（x）0 （x（0，+） ） g（x）exm（lnx+1） g （x）ex 在（0，+）上单调递增 存在 x0使得0= 0，lnx0+x0lnm 可得 xx0时，g（x）取得极小
34、值 g（x0）= 0m（lnx0+1）= 0 m（1+lnmx0） m（ 1 0 +x0）mlnm2mmlnmm（2ln 2 2 ）mln20 函数 g（x）在 x（0，+）上单调递增 g（x）g（0）0 exmxlnx0 成立，即当 0m 2 2 时，不等式 exx2xf（x）+1m 成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)， 其参数方程 = = 3 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极
35、坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出这个 定值 【解答】解： （ I）将点(1， 3 2)代入曲线 E 的方程， 得 1 = ， 3 2 = 3，解得 a 24， 所以曲线 E 的普通方程为 2 4 + 2 3 = 1， 极坐标方程为2(1 4 2 +1 3 2) = 1 （）不妨设点 A，B 的极坐标分别为(1，)，(2， + 2)，10，20， 第 19 页（共 19 页） 则 (1 41 22 +1 31 22) = 1， (1 42 22( + 2) + 1 3 2 22( + 2) = 1， 即 1 1 2 =
36、 1 4 2 + 1 3 2， 1 2 2 = 1 4 2 + 1 3 2， 1 1 2 + 1 2 2 = 1 4 + 1 3 = 7 12，即 1 |2 + 1 |2 = 7 12 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xm|+|x+1|，mN*，若存在实数 x 使得 f（x）3 成立 （1）求 m 的值； （2）若 ，0， （41） （1）m，求 + 的最小值 【解答】 解： （1） 存在实数 x 使得 f （x） 3 成立即存在实数 x 使得|xm|+|x+1|3 成立， 等价为 3（|xm|+|x+1|）min， 而|xm|+|x+1|xmx1|m+1|
37、，当且仅当（xm） （x+1）0 即1xm 时等号 成立， 故存在实数 x 使得 f（x）3 成立等价于|m+1|3， 解得4m2， 又因为 mN*，所以 m1 （2）解法一、由（1）得 m1，故（41） （1）1， 所以 + = + 1 41 + 1 = 1 4 + 1 41 + 5 4 2( 1 4) 1 41 + 5 4 = 9 4， 当且仅当 = 3 4 ， = 3 2时取最小值 9 4 解法二：由（41） （1）1， 即 440，即 1 4 + 1 =1， 由 0，0 可得（+） （ 1 4 + 1 ）= 1 4 +1+ 4 + 5 4 +2 4 = 9 4， 当且仅当 = 3 4 ， = 3 2时取最小值 9 4
