2021年新高考数学模拟试卷（40）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（40） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|y= ，则 AB（ ） Ax|lx2 Bx|0x2 Cx|xl Dx|x0 2 （3 分）设 aR，若复数1; :在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = 1 4， = 2，且 a+b5，则 c 等于（ ） A5 B13 C4 D17 4 （3 分）不透明的袋中装

2、有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的 概率为（ ） A 3 14 B3 7 C6 7 D13 28 5 （3 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x0 的夹角为 60，若以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，则双曲线 C 的标准方程 为（ ） A 2 3 y21 B 2 9 2 3 =1 C 2 3 2 9 =1 Dx2 2 3 =1 6 （3 分）函数() = (2+ 1 )在1，1的图象大致为（ ） A B

3、 第 2 页（共 20 页） C D 7（3 分） 在ABC 中 角 A、 B、 C 所对边分别为 a、 b、 c， 若 acosAsinC （2ba） sinAcosC， 则角 C 的大小为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 8 （3 分）已知函数 f（x）x2+a，g（x）x2ex，若对任意的 x21，1，存在唯一的 x1 1 2，2，使得 f（x1）g（x2） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A （e，4 B （e+ 1 4，4 C （e+ 1 4，4） D （1 4，4 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）若

4、 ab0，则下列不等式成立的是（ ） A1 1 B :1 :1 C + 1 + 1 D + 1 + 1 10 （3 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 4个单位后得到函数 g（x）的图象，则函 数 g（x）具有性质（ ） A在(0， 4)上单调递增，为偶函数 B最大值为 1，图象关于直线 = 3 2 对称 C在( 3 8 ， 8)上单调递增，为奇函数 D周期为 ，图象关于点(3 4 ，0)对称 11 （3 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截 面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（ ） 第 3

5、页（共 20 页） AE 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4 12 （3 分）已知函数() = + 2，0 2 ， 0，若关于 x 的方程 f（f（x） ）0 有 8 个不同 的实根，则 a 的值可能为（ ） A6 B8 C9 D12 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）函数 f（x）= 在点 P（1，f（1） ）处的切线与直线 2x+y30 垂直，则 a 14 （3 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 15 （

6、3 分）设an是由正数组成的等比数列，且 a4a79，log3a1+log3a2+log3a3+log3a10 的值是 16 （3 分）如图所示，三棱锥 ABCD 的顶点 A，B，C，D 都在半径为2同一球面上， ABD 与BCD 为直角三角形，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P，Q 分别为线段 AO， BC 上的动点 （不含端点） ， 且 APCQ， 则三棱锥 PQCO 体积的最大值为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分） （开放题）在锐角ABC 中，a23，_，求ABC 的周长 l 的范围 第 4 页（共 20 页） 在 =（cos

7、 2，sin 2） ， =（cos 2，sin 2） ，且 = 1 2， cosA（2bc）acosC，f（x）cosxcos（x 3） 1 4，f（A）= 1 4 注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解 18 （12 分） 已知数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2= 1 2， b3= 3 8， an+1bn+12 nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 19 （12 分）在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB1，BC2， E 是 PD 的中点 （1）求证：平面 PDC平面 PAD； （2）求二面角 EACD 的余

8、弦值； （3）求直线 CP 与平面 AEC 所成角的正弦值 20（12 分） 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） ， 椭圆上的点到焦点的最小距离为 22且过 点 P（2，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 M（3，0）的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P 和 Q，若点 P 关于 x 轴的 对称点为 P，判断直线 PQ 是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过， 说明理由 21 （12 分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日 健步走的步数， 从而为科学健身提供了一定帮助 某企业为了解员工每日健步走的情况， 从该企业

9、正常上班的员工中随机抽取 300 名， 统计他们的每日健步走的步数 （均不低于 4 千步，不超过 20 千步） 按步数分组，得到频率分布直方图如图所示 （1）求这 300 名员工日行步数 x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的 中点值为代表，结果保留整数） ； （2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数 （单位：千步）服从正态分布 N（， 2） ，其中 为样本平均数，标准差的近似值为 2，求该企业被抽取的 300 名员工中日行 第 5 页（共 20 页） 步数 （14，18的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该企业员工中随机抽取 2 人作为“日 行万步” 活动的慰

10、问奖励对象， 规定： 日行步数不超过 8 千步者为 “不健康生活方式者” ， 给予精神鼓励，奖励金额为每人 0 元；日行步数为 814 千步者为“一般生活方式者” ， 奖励金额为每人 100 元；日行步数为 14 千步以上者为“超健康生活方式者” ，奖励金额 为每人 200 元求工会慰问奖励金额 X（单位：元）的分布列和数学期望 附：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）0.6827，P（ 2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+2axblnx，且 f（x）在 x1 处取得极值 （1）试找出 a，b 之间的关系式； （2）若函数

11、f（x）在 x1 3， 1 2上不是单调函数，求实数 a 的取值范围； （3）求在函数 f（x） ，x1 3， 1 2的图象上任意一点处的切线斜率 k 的最大值 第 6 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（40） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|y= ，则 AB（ ） Ax|lx2 Bx|0x2 Cx|xl Dx|x0 【解答】解：集合 Ax|x2x20x|1x2， Bx|y= =x|x0， ABx|x1 故选

12、：C 2 （3 分）设 aR，若复数1; :在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：复数1; : = (1;)(;) (:)(;) = ;1 2:1 :1 2:1 在复平面内对应的点位于实轴 上， :1 2:1 = 0，即 a1 故选：C 3 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = 1 4， = 2，且 a+b5，则 c 等于（ ） A5 B13 C4 D17 【解答】解：cosC= 1 4， = 2， =abcos（C）abcosC= 1 4ab2， 解得：ab8，a+b5， 由余弦定理得：c2a2+b22abcosC（

13、a+b）22ab2abcosC251645， 则 c= 5 故选：A 4 （3 分）不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的 概率为（ ） 第 7 页（共 20 页） A 3 14 B3 7 C6 7 D13 28 【解答】解：不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色 的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球，基本事件总数 n= 8 2 =28， 取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球包含的基本事件个数

14、： m= 6 121 =12， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的概率为 p= = 12 28 = 3 7 故选：B 5 （3 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x0 的夹角为 60，若以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，则双曲线 C 的标准方程 为（ ） A 2 3 y21 B 2 9 2 3 =1 C 2 3 2 9 =1 Dx2 2 3 =1 【解答】解：双曲线的渐近线为 y ， 渐近线与直线 x0 的夹角为 60， tan30= 3 3 ， 双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为 8，

15、42+ 2= 8， 由，解得解得 a23，b21 双曲线 C 的标准方程为 2 3 y21 故选：A 6 （3 分）函数() = (2+ 1 )在1，1的图象大致为（ ） A 第 8 页（共 20 页） B C D 【解答】解：() = () (2+ 1 + ) = (2+ 1 ) = ()， 故函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 CD； 又(1) = 1 (2 1)0，故排除 A 故选：B 7（3 分） 在ABC 中 角 A、 B、 C 所对边分别为 a、 b、 c， 若 acosAsinC （2ba） sinAcosC， 则角 C 的大小为（ ） A 6 B 4 C 3 D

16、 2 【解答】解：由 acosAsinC（2ba）sinAcosC，得 asinB2bsinAcosC， 由正弦定理得：ab2abcosC， cosC= 1 2， 又C（0，） ， C= 3， 故选：C 8 （3 分）已知函数 f（x）x2+a，g（x）x2ex，若对任意的 x21，1，存在唯一的 x1 1 2，2，使得 f（x1）g（x2） ，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 9 页（共 20 页） A （e，4 B （e+ 1 4，4 C （e+ 1 4，4） D （1 4，4 【解答】解：f（x）x2+a 在 1 2，2的值域为a4，a， 但 f（x）在（1 2，2递减，此时 f（x）

17、a4，a 1 4） g（x）x2ex的导数为 g（x）2xex+x2exx（x+2）ex， 可得 g（x）在1，0递减， （0，1递增， 则 g（x）在1，1的最小值为 g（0）0，最大值为 g（1）e，即值域为0，e 对任意的 x21，1，存在唯一的 x1 1 2，2，使得 f（x1）g（x2） ， 可得0，ea4，a 1 4） ， 可得 a40ea 1 4， 解得 e+ 1 4 a4 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）若 ab0，则下列不等式成立的是（ ） A1 1 B :1 :1 C + 1 + 1 D

18、+ 1 + 1 【解答】 解： ab0， 1 1 ， :1 :1， a+ 1 b+ 1 ， a+ 1 （b+ 1 ） = ()(1) 与 0 的大小关系不确定，因此 a+ 1 b+ 1 不正确 综上可得：AC 正确 故选：AC 10 （3 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 4个单位后得到函数 g（x）的图象，则函 数 g（x）具有性质（ ） A在(0， 4)上单调递增，为偶函数 B最大值为 1，图象关于直线 = 3 2 对称 C在( 3 8 ， 8)上单调递增，为奇函数 D周期为 ，图象关于点(3 4 ，0)对称 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：将函数 f（x）sin2

19、x 的图象向右平移 4个单位后得到函数 g（x）的图象， 则 g（x）sin2（x 4）sin（2x 2）cos2x， 则函数 g（x）为偶函数，当 0x 4时，02x 2，此时 g（x）为增函数，故 A 正确， 函数的最大值为 1，当 = 3 2 时，g（x）cos（3）cos1，为最大值，则 函数图象关于直线 = 3 2 对称，故 B 正确， 函数为偶函数，故 C 错误， 函数的周期T= 2 2 = ， g （3 4 ） cos （3 4 2） cos3 2 =0， 即图象关于点(3 4 ，0)对称， 故 D 正确 故正确的是 ABD， 故选：ABD 11 （3 分）在四棱锥 PABCD

20、中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截 面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（ ） AE 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4 【解答】解：在 A 中，连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF，则平面 PAC平面 BDEEF， PC平面 BDE，EF平面 BDE，PC平面 PAC， EFPC， 四边形 ABCD 是正方形，AFFC，AEEP，故 A 正确； 在 B 中，CDAB，PBA（或其补角）为 PB 与 CD 所成角， 第 11

21、 页（共 20 页） PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB， 在 RtPAB 中，PAAB，PAB= 4， PB 与 CD 所成角为 4，故 C 错误； 在 C 中，四边形 ABCD 为正方形，ACBD， PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD， PAACA，BD平面 PAC，故 C 正确； 在 D 中，设 ABPAx，则;= 1 3 2 = 1 3 2 = 1 3 3， VCBDEVEBCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 1 2 = 1 12 3 VCBDC：VPABCD= 1 12 3： 1 3 3=1：4故 D 正确 故选：ACD 12 （3 分）已知函数()

22、= + 2，0 2 ， 0，若关于 x 的方程 f（f（x） ）0 有 8 个不同 的实根，则 a 的值可能为（ ） A6 B8 C9 D12 【解答】解：由题意可得 a0 时，显然不成立； 当 a0 时，令 f（x）t， 则由 f（t）0 得，t12a，t20，t3a， 又方程 f（f（x） ）0 有 8 个不同的实根， 由题意结合可得，即 0 2 2 2 4 ，解得 a8， 故选：CD 第 12 页（共 20 页） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）函数 f（x）= 在点 P（1，f（1） ）处的切线与直线 2x+

23、y30 垂直，则 a 2 【解答】解：由题意得：() = ()2 = 又切线与直线 2x+y30 垂直，故切线斜率 k= 1 2 (1) = = 1 2， = 2 故答案为： 2 14 （3 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 8 【解答】解：二项式( 3 2 ) 4的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 （ 3 ）4 r （2）rxr= 4 （2）rx 44 3 令 x 的幂指数4;4 3 =0，解得 r1， 展开式中的常数项为： T2= 4 1 （2）18 故答案为：8 15 （3 分）设an是由正数组成的等比数列，且 a4a79，log3a1+log3a2+log3a3+log3a

24、10 的值是 10 【解答】解：an是由正数组成的等比数列，且 a4a79，则 a1a10a2a9a3a8a5 a6a4a79 第 13 页（共 20 页） 则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a10log3（a1a10a2a9a3a8a4a7a5a6）5log39 10， 故答案为：10 16 （3 分）如图所示，三棱锥 ABCD 的顶点 A，B，C，D 都在半径为2同一球面上， ABD 与BCD 为直角三角形，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P，Q 分别为线段 AO， BC 上的动点 （不含端点） ， 且 APCQ， 则三棱锥 PQCO 体积的最大值为 1 12

25、【解答】解：设 APx，x（0，2） 由题意可知：BD 的中点 O 为球心，当平面 ABD平面 BCD 时， 三棱锥 PQCO 体积 V= 1 3POSOCQ= 1 3 （2 x） 1 2 2 xsin45= 1 6x （2 x） 1 6( +2 2 )2= 1 12，当且仅当 x= 2 2 时取等号 三棱锥 PQCO 体积的最大值为 1 12 故答案为： 1 12 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分） （开放题）在锐角ABC 中，a23，_，求ABC 的周长 l 的范围 在 =（cos 2，sin 2） ， =（cos 2，sin 2） ，且

26、 = 1 2， cosA（2bc）acosC，f（x）cosxcos（x 3） 1 4，f（A）= 1 4 注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解 【解答】解：若选，则由 =（cos 2，sin 2） ， =（cos 2，sin 2） ，且 = 1 2， 得2 2 + 2 2 = 1 2，cosA= 1 2， 又 A（0， 2） ， 所以 A= 3； 第 14 页（共 20 页） 又 = 23 3 2 =4， ABC 的周长为= 4(2 3 ) + 4 + 23， 即= 43( + 6) + 23； 因为锐角ABC 中，A= 3， 所以 B（ 6， 2） ， 所以 B+ 6（

27、 3， 2 3 ） ， 所以ABC 的周长为 lABC（6+23，63 若选，由 cos A（2bc）acos C， 所以 2bcosAacosC+ccosA， 所以 2sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB； 又 B（0，） ，所以 sinB0，所以 cosA= 1 2； 又 A（0， 2） ，所以 A= 3； 所以 = 23 3 2 =4， ABC 的周长为= 4(2 3 ) + 4 + 23， 即= 43( + 6) + 23； 因为锐角ABC 中，A= 3， 所以 B（ 6， 2） ， 所以 B+ 6（ 3， 2 3 ） ， 所以ABC 的周长为 l

28、ABC（6+23，63 若选，则 f（x）cos xcos（x 3） 1 4 = 1 2cos 2x+3 2 cos xsin x 1 4 = 1 2 1+2 2 + 3 2 2 2 1 4 第 15 页（共 20 页） = 1 2（ 1 2cos2x+ 3 2 sinx2） = 1 2sin（2x+ 6） ， 又 f（A）= 1 4，所以 sin（2A+ 6）= 1 2， 又 A（0， 2） ，所以 A= 3； 所以 = 23 3 2 =4， ABC 的周长为= 4(2 3 ) + 4 + 23， 即= 43( + 6) + 23； 因为锐角ABC 中，A= 3， 所以 B（ 6， 2） ，

29、 所以 B+ 6（ 3， 2 3 ） ， 所以ABC 的周长为 lABC（6+23，63 18 （12 分） 已知数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2= 1 2， b3= 3 8， an+1bn+12 nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 【解答】 解：（1） 数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2= 1 2， b3= 3 8， an+1bn+12 nbn+1， 当n1可得a2b22b1+1， 即有a22 （1+1） 4， n2时， a3b34b2+1， 即有a3= 8 3 （2+1） 8， 可得等比数列an的公比为 2，且 an42n 22n； （2

30、）由 an+1bn+12nbn+1，即 2n+1bn+12nbn+1， 可得2nbn为首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 2nbn1+n1n， 则 bnn （1 2） n， 即有bn的前 n 项和为 Sn11 2 +2 （1 2） 2+3 （1 2） 3+n （1 2） n， 1 2Sn1 （ 1 2） 2+2 （1 2） 3+3 （1 2） 4+n （1 2） n+1， 第 16 页（共 20 页） 相减可得1 2Sn= 1 2 +（1 2） 2+（1 2） 3+（1 2） nn （1 2） n+1 = 1 2(1 1 2) 11 2 n （1 2） n+1， 化简可得bn的前 n 项

31、和为 2（n+2） （1 2） n 19 （12 分）在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB1，BC2， E 是 PD 的中点 （1）求证：平面 PDC平面 PAD； （2）求二面角 EACD 的余弦值； （3）求直线 CP 与平面 AEC 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD 矩形 ABCD，CDDA，又 PADAA， CD平面 PAD， CDP 平面 PCD， 平面 PDC平面 PAD （2）解：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz，P（0，0，1） ，D（

32、0，2，0） ， C（1，2，0） ，E(0，1， 1 2)， PA平面 ACD， 平面 ACD 法向量1 = = （0， 0， 1） ， 设平面 ACE 法向量2 = （x， y，z） ， 由2 = 0 2 = 0 则 y+ 1 2 =0，x+2y0，取2 =（2，1，2） ， 1 ，2 = 1 2 |1 |2 | = 2 13 = 2 3， 二面角 EACD 的余弦值为2 3 （3） 解： = （1， 2， 1） ， 设直线 CP 与平面 AEC 所成角为 ， sin= |2 ， | = 第 17 页（共 20 页） |2 | |2 | | = 6 9 20（12 分） 已知椭圆 C： 2

33、 2 + 2 2 =1 （ab0） ， 椭圆上的点到焦点的最小距离为 22且过 点 P（2，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 M（3，0）的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P 和 Q，若点 P 关于 x 轴的 对称点为 P，判断直线 PQ 是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过， 说明理由 【解答】解： （1）由题意 (2)2 2 + 12 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 2 = 2 ， 故椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 2 = 1 （2）设 P（x1，y1） 、Q（x2，y2） 将直线与椭圆的方程联立得： = ( 3) 2 4

34、 + 2 2 = 1 ， 消去 y，整理得（2k2+1）x212k2x+18k240 由根与系数之间的关系可得：1+ 2= 122 22+1，1 2= 1824 22+1 点 P 关于 y 轴的对称点为 P，则 P（x1，y1） 直线 PQ 的斜率 = 2+1 21 方程为： + 1= 2+1 21 ( 1)， 即 = 2+1 21 ( 1 21 2+1 1) = 2+1 21 ( (2+1)1+(21)1 2+1 ) = 2+1 21 ( 12+21 2+1 ) 第 18 页（共 20 页） = 2+1 21 ( 1(23)+2(13) (23)+(13) ) = 2+1 21 ( 2123

35、(1+2) 1+26 ) = 2+1 21 ( 218 24 22+1 3 122 22+1 122 22+16 ) = 2+1 21 ( 4 3) 直线 PQ 过 x 轴上定点(4 3 ，0) 21 （12 分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日 健步走的步数， 从而为科学健身提供了一定帮助 某企业为了解员工每日健步走的情况， 从该企业正常上班的员工中随机抽取 300 名， 统计他们的每日健步走的步数 （均不低于 4 千步，不超过 20 千步） 按步数分组，得到频率分布直方图如图所示 （1）求这 300 名员工日行步数 x（单位：千步）的样本平均数（每组数据

36、以该组区间的 中点值为代表，结果保留整数） ； （2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数 （单位：千步）服从正态分布 N（， 2） ，其中 为样本平均数，标准差的近似值为 2，求该企业被抽取的 300 名员工中日行 步数 （14，18的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该企业员工中随机抽取 2 人作为“日 行万步” 活动的慰问奖励对象， 规定： 日行步数不超过 8 千步者为 “不健康生活方式者” ， 给予精神鼓励，奖励金额为每人 0 元；日行步数为 814 千步者为“一般生活方式者” ， 奖励金额为每人 100 元；日行步数为 14 千步以上者为“超健康生活方式者” ，奖励

37、金额 为每人 200 元求工会慰问奖励金额 X（单位：元）的分布列和数学期望 附：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）0.6827，P（ 2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 【解答】 解：（1） 这 300 名员工日行步数的样本平均数为 2 （50.005+70.005+90.04+11 第 19 页（共 20 页） 0.29+130.11+150.03+170.015+190.005）11.6812 千步； （2）因为 N（12，22） ， 所以 P（1418）P（12+212+32）= 1 2P（618）P（1014） 0.1574， 所以走路步数 （14，18

38、）的总人数为 3000.157447 人； （3）由频率分布直方图知每人获得奖励为 0 元的概率为 0.02，奖励金额为 100 元的概率 为 0.88，奖励金额为 200 元的概率为 0.1， 由题意知 X 的可能取值为 0，100，200，300，400， P（X0）0.0220.0004， P（X100）20.020.880.0352， P（X200）0.882+20.020.10.7784， P（X300）20.880.10.176， P（X400）0.120.01， 所以 X 的分布列为： X 0 100 200 300 400 P 0.0004 0.0352 0.7784 0.17

39、6 0.01 E（X）1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01216 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+2axblnx，且 f（x）在 x1 处取得极值 （1）试找出 a，b 之间的关系式； （2）若函数 f（x）在 x1 3， 1 2上不是单调函数，求实数 a 的取值范围； （3）求在函数 f（x） ，x1 3， 1 2的图象上任意一点处的切线斜率 k 的最大值 【解答】解： （1）f（x）2x+2a ， f（x）在 x1 处取得极值， f（1）2+2ab0，故 b2+2a， （2）函数 f（x）在 x1 3， 1 2上不是单调函数， f（x）2x+2a =0 在（1 3， 1 2）内有解， 即 x2+ax（a+1）0 在（1 3， 1 2）上有解， 第 20 页（共 20 页） 由 x2+ax（a+1）0 可得 x1 或 x1a， 1 3 1 1 2， 解可得， 3 2 4 3， （3）kf（x）2x+2a ， k2+ 2 =2+ 2(1+) 2 = 2(2+1+) 2 ， 当 1+a 1 9即 a 10 9 时，k0 在1 3， 1 2上恒成立，k 在 1 3， 1 2上单调递增， 故当 x= 1 2时，k 取得最大值2a3， 当 1 4 1 + 1 9即 5 4 10 9 时， 当 x 1 3，1 )时，k0，