1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 2 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 3 （5 分）下列各式中错误的是（ ） A0.830.73 Blg1.6lg1.4 Clog0.5 0.4log 0.5 0.6 D0.75 0.10.75 0.1 4 （
2、5 分）若 a0，b0，则“a+b8”是“ab16”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5（5 分） 已知 a， bR， 不等式组1 1 1 1表示的平面区域为 M， 不等式组 2 2 2 2表 示的平面区域为 N在平面区域 M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区 域 N 的概率是（ ） A7 8 B6 7 C8 9 D4 5 6 （5 分）执行如图所示程序框图，若输入 = 1 4，则输出结果为（ ） A2 B3 C4 D5 7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） 第 2 页（共 19 页） A2 3 B4
3、 3 C2 D4 8 （5 分）已知 cos（ 4 ）= 3 5，（ 2，） ，则 sincos（ ） A 7 25 B 7 25 C42 5 D 42 5 9（5 分） 已知an是等差数列， 若 a1+1， a3+3， a5+5 成等比数列， 且公比为 q， 则 q （ ） A3 B3 C1 D1 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2 = ，b4，则 ABC 的面积的最大值为（ ） A43 B23 C2 D3 11 （5 分）定义域为 R 的可导函数 yf（x）的导函数 f（x） ，满足 f（x）f（x） ，且 f（0） 2，则不等式 f（x）2ex的
4、解集为（ ） A （，0） B （，2） C （0，+） D （2，+） 12 （5 分） 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， F1PF260，若坐标原点 O 到 PF1的距离为 3 6 ，则椭圆离心率为（ ） A 2 2 B 6 3 C 7 3 D 3 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 45， =（1，1） ，| |1，则| +2 | 14（5分） 已知点 F为抛物线 y28x的焦点， 则点F坐标为 ； 若双曲线 2 2 2 2
5、 = 1 （a 0）的一个焦点与点 F 重合，则该双曲线的渐近线方程是 15 （5 分）东汉王充论衡宜汉篇 ： “且孔子所谓一世，三十年也 ” ，清代段玉裁说 第 3 页（共 19 页） 文解字注 ： “三十年为一世按父子相继曰世 ” “一世”又叫“一代” ，到了唐朝，为 了避李世民的讳， “一世”方改为“一代” ，当代中国学者测算“一代”平均为 25 年另 据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有 24 年，其中只有 约 30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的 13%，只 有 5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值根据上述材料，可
6、以推断美国 学者认为“一代”应为 年 16 （5 分）已知函数 f（x）= 2 + 2 3， 1 2，1 ，则函数 yf（f（x） ）图象与直线 y4 的交点个数为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an是等差数列，满足 a25，a49，数列bn+an是公比为 3 的等比 数列，且 b13 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）2020 年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时 艰，为疫区助力福建省漳州市东山县共 101 个海鲜商
7、家及个人为缓解武汉物质压力， 募捐价值百万的海鲜输送武汉东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省 漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东 南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的 优势根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环 境下服从正态分布 N（280，25） （1） 随机购买 10 只该商家的海产品， 求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率； （2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量 现用以往的先进养殖技
8、术投入 xi（千元） 与年收益增量 yi（千元） （i 1，2，3，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中 在曲线 ya+b的附近，且 =46.6， =563， =6.8， 8 =1 ( )2=289.8， 8 =1 ( )2=1.6， 8 =1 ( )( ) = 1469， 8 =1 ( )( ) = 108.8，其 中 ti= ， = 1 8 8 =1 根据所给的统计量，求 y 关于 x 的回归方程，并预测先进养 殖技术投入为 49 千元时的年收益增量 第 4 页（共 19 页） 附：若随机变量 ZN（1，4） ，则 P（5Z7）0.9974，0.9987100.9
9、871； 对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归线 v+u 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 19 （12 分）如图所示的几何体 ABCDFE 中，ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平 面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC （）求几何体 ABCDFE 的体积； （）证明：平面 ADE平面 BCF 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距 离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条
10、直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物 线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF|NF|的最小值 21 （12 分） 如图是一块地皮 OAB， 其中 OA， AB 是直线段， 曲线段 OB 是抛物线的一部分， 且点 O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴经测量，OA2km， = 2km， = 4现要从这块地皮中划一个矩形 CDEF 来建造草坪，其中点 C 在曲线段 OB 上，点 D，E 在直线段 OA 上，点 F 在直线段 AB 上，设 CDakm，矩形草 坪 CDEF 的面积为 f（a）km2 （1）求 f（a）
11、 ，并写出定义域； （2）当 a 为多少时，矩形草坪 CDEF 的面积最大？ 第 5 页（共 19 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极 轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是： = + 2 2 = 2 2 （t 是参 数） （1）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|= 14，试求实数 m 值 （2）设 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围 五解答题（共五解答题（共 1 小题
12、）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 6 页（共 19 页） 2020 年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（年宁夏高考数学（文科）模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5，
13、 ABxN|1x52，3，4 故选：C 2 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 【解答】解： = 2020+3 1+ = 1+3 1+ = (1+3)(1) (1+)(1) = 2 + ， z 的虚部是 1 故选：D 3 （5 分）下列各式中错误的是（ ） A0.830.73 Blg1.6lg1.4 Clog0.5 0.4log 0.5 0.6 D0.75 0.10.75 0.1 【解答】 解： 根据幂函数的单调性可知 0.830.73正确； 根据对数函数的单调性可知 lg1.6 lg1.4 和 log0.50.4log0.50.6 都正确
14、； 根据指数函数的单调性可知 0.75 0.10.750.1 故选：D 4 （5 分）若 a0，b0，则“a+b8”是“ab16”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：依题意，对应正数 a，b，当 a+b8 时，ab (+ 2 )216，故充分性成立， 若 ab16 无法推出 a+b8，如当 a1，b16 时，ab16 而 a+b178，故必要性不 成立 第 7 页（共 19 页） 故选：B 5（5 分） 已知 a， bR， 不等式组1 1 1 1表示的平面区域为 M， 不等式组 2 2 2 2表 示的平面区域为 N在平面区域 M 内
15、有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区 域 N 的概率是（ ） A7 8 B6 7 C8 9 D4 5 【解答】解：画出不等式组1 1 1 1表示的平面区域为 M， 和不等式组 2 2 2 2表示的平面区域为 N，如图所示； 则所求的概率是 P1 2 正方形 =1 21 21 1 2 22 = 7 8 故选：A 6 （5 分）执行如图所示程序框图，若输入 = 1 4，则输出结果为（ ） 第 8 页（共 19 页） A2 B3 C4 D5 【解答】解：当 n1 时，S1P= 1 4，S1 1 2 = 1 2， 当 n2 时，S= 1 2 P= 1 4，S= 1 2 1 22 = 1 4，
16、当 n3 时，S= 1 4 =P= 1 4， 所以输出的 n3， 故选：B 7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A2 3 B4 3 C2 D4 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 第 9 页（共 19 页） 所以 = 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 故选：A 8 （5 分）已知 cos（ 4 ）= 3 5，（ 2，） ，则 sincos（ ） A 7 25 B 7 25 C42 5 D 42 5 【解答】解：（ 2，） ，（ 4 ） ( 3 4 ， 4)，又cos（ 4 ）= 3 50， 角（ 4 ）是第四象限角， sin（ 4 ）
17、= 4 5， sinsin 4 （ 4 ）sin 4cos（ 4 ）cos 4sin（ 4 ）= 72 10 ， coscos 4 （ 4 ）cos 4cos（ 4 ）+sin 4sin（ 4 ）= 2 10， sincos= 42 5 ， 故选：C 9（5 分） 已知an是等差数列， 若 a1+1， a3+3， a5+5 成等比数列， 且公比为 q， 则 q （ ） A3 B3 C1 D1 【解答】解：设an是公差为 d 的等差数列， 若 a1+1，a3+3，a5+5 成等比数列，可得（a3+3）2（a1+1） （a5+5） ， 即（a1+2d+3）2（a1+1） （a1+4d+5） ， 化
18、为 d2+2d+10，解得 d1，则 ana1（n1） ， 则公比为 q= 3+3 1+1 = 12+3 1+1 =1， 故选：C 第 10 页（共 19 页） 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2 = ，b4，则 ABC 的面积的最大值为（ ） A43 B23 C2 D3 【解答】解：在ABC 中2 = ， （2ac）cosBbcosC， （2sinAsinC）cosBsinBcosC， 2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA， 约掉 sinA 可得 cosB= 1 2，即 B= 3， 由余弦定理可得 16a2+c
19、22accosBa2+c2ac2acac， ac16，当且仅当 ac 时取等号， ABC 的面积 S= 1 2acsinB= 3 4 ac43 故选：A 11 （5 分）定义域为 R 的可导函数 yf（x）的导函数 f（x） ，满足 f（x）f（x） ，且 f（0） 2，则不等式 f（x）2ex的解集为（ ） A （，0） B （，2） C （0，+） D （2，+） 【解答】 解： 根据题意， 设 g （x） = () ， 其导数 g （x） = ()() 2 = ()() ， 又由 f（x）满足 f（x）f（x） ， 则 g（x）0，则函数 g（x）在 R 上为增函数， 若 f（0）2，则
20、 g（0）= (0) 0 =2， f（x）2ex() 2g（x）g（0） ， 又由函数 g（x）在 R 上为增函数， 则 x0， 则不等式 f（x）2ex的解集为（，0） ； 故选：A 12 （5 分） 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， F1PF260，若坐标原点 O 到 PF1的距离为 3 6 ，则椭圆离心率为（ ） 第 11 页（共 19 页） A 2 2 B 6 3 C 7 3 D 3 3 【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n， 作 ONPF1，F2MPF1， 由题意可得|ON|= 3 6 a，|F2M|= 3 3 a，
21、F1PF260， 即有|PM|= 1 3a，|PF2|= 2 3 ，由 m+n2a， 可得|MF1|a，a2+（ 3 3 ）24c2， 可得 e= = 3 3 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 45， =（1，1） ，| |1，则| +2 | 10 【解答】解： 与 的夹角为 45，且| | = 2，| | = 1； ( + 2 )2= 2 + 4 + 4 2 = 2 + 4 + 4 = 10； | + 2 | = 10 故答案为：10 14（5分） 已知点 F为抛物线 y28x的焦点
22、， 则点F坐标为 （2， 0） ； 若双曲线 2 2 2 2 = 1 （a0）的一个焦点与点 F 重合，则该双曲线的渐近线方程是 yx 【解答】解：点 F 为抛物线 y28x 的焦点，2p8，即 p4， 由焦点坐标（ 2，0） ，即有 F（2，0） ， 双曲线 2 2 2 2 = 1（a0）的一个焦点与点 F（2，0）重合， 可得 a2+24，可得 a= 2， 第 12 页（共 19 页） 即有双曲线的方程为 x2y22， 可得渐近线方程为 yx 故答案为： （2，0） ，yx 15 （5 分）东汉王充论衡宜汉篇 ： “且孔子所谓一世，三十年也 ” ，清代段玉裁说 文解字注 ： “三十年为一世
23、按父子相继曰世 ” “一世”又叫“一代” ，到了唐朝，为 了避李世民的讳， “一世”方改为“一代” ，当代中国学者测算“一代”平均为 25 年另 据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有 24 年，其中只有 约 30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的 13%，只 有 5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值根据上述材料，可以推断美国 学者认为“一代”应为 20 年 【解答】解：设美国学者认为一代为 x 年，由题意可知企业寿命的频率分布表为： 家庭企业寿命 频率 （0，x 52% （x，2x 30% （2x，3x 13% （3x，4x
24、5% 故家庭企业的平均寿命为：0.520.5x+0.31.5x+0.132.5x+0.053.5x24， 解得 x20 故答案为：20 16 （5 分）已知函数 f（x）= 2 + 2 3， 1 2，1 ，则函数 yf（f（x） ）图象与直线 y4 的交点个数为 3 【解答】解：令 tf（x） ，由 f（t）4 可得， 当 t1 时，t2+2t34，解得 t22 1； 当 t1 时，2t4，解得 t2； 因为当 x1 时，2x2 由 f（x）22 12 可得， x1，x2+2x322 1，即 x2+2x2+22 =0 0，设 g（x）x2+2x222，对称轴为 x1 第 13 页（共 19 页
25、） g（1）1+220，所以 g（x）0 有两个小于 1 的根； 由 f（x）2 可得，x1，x2+2x32，即 x2+2x50 解得 x16 综上，函数 yf（f（x） ）图象与直线 y4 的交点个数为 3 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an是等差数列，满足 a25，a49，数列bn+an是公比为 3 的等比 数列，且 b13 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）数列an是公差为 d 的等差数列，满足 a25，a49， 可得 a1
26、+d5，a1+3d9，解得 a13，d2，即有 an3+2（n1）2n+1； 数列bn+an是公比为 3 的等比数列，且 b13， 可得 bn+an63n 123n， 则 bn23n（2n+1） ； （2）前 n 项和 Sn（6+18+23n）（3+5+2n+1） = 6(13) 13 1 2n（3+2n+1）3 n+13n（n+2） 18 （12 分）2020 年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时 艰，为疫区助力福建省漳州市东山县共 101 个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力， 募捐价值百万的海鲜输送武汉东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省 漳州市东山
27、县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东 南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的 优势根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环 境下服从正态分布 N（280，25） （1） 随机购买 10 只该商家的海产品， 求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率； （2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量 现用以往的先进养殖技术投入 xi（千元） 与年收益增量 yi（千元） （i 1，2，3，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以
28、认为样本点集中 在曲线 ya+b的附近，且 =46.6， =563， =6.8， 8 =1 ( )2=289.8， 第 14 页（共 19 页） 8 =1 ( )2=1.6， 8 =1 ( )( ) = 1469， 8 =1 ( )( ) = 108.8，其 中 ti= ， = 1 8 8 =1 根据所给的统计量，求 y 关于 x 的回归方程，并预测先进养 殖技术投入为 49 千元时的年收益增量 附：若随机变量 ZN（1，4） ，则 P（5Z7）0.9974，0.9987100.9871； 对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归线 v+u 的斜率和截距的
29、最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 【解答】解： （1）由已知，单只海产品质量 N（280，25） ，则 280，5， 由正态分布的对称性可知，P（265）= 1 2 1 (265295) = 1 21P（3 +3）= 1 2（10.9974）0.0013， 设购买 10 只该商家海产品，其中质量小于 265g 的为 X 只，故 XB（10，0.0013） ， 故 P（X1）1P（X0）1（10.0013）1010.98710.0129， 随机购买 10 只该商家的海产品，至少买到一只质量小于 265 克的概率为 0.0129； （2）由 = 6.8， =563， 8
30、 =1 ( )( ) = 108.8， 8 =1 ( )2=1.6， 有 = 108.8 1.6 = 68，且 = =563686.8100.6， y 关于 x 的回归方程为 = 100.6 + 68， 当 x49 时，年销售量 y 的预报值 = 100.6 + 6849 =576.6 千元 故预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为 576.6 千元 19 （12 分）如图所示的几何体 ABCDFE 中，ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平 面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC （）求几何体 ABCDFE 的体积； （）证明：平面 AD
31、E平面 BCF 第 15 页（共 19 页） 【解答】解： （）取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，连接 AO，OF，FG，AG 因为ABC，DFE 都是等边三角形，故有 AOBC，且平面 BCED平面 ABC， 所以 AO平面 BCED，同理 FG平面 BCED， 因为 = = 3，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形， 所以，= 2 = 1 3 4 3 2 = 83 3 （6 分） （）由（）知 AOFG，AOFG， 所以四边形 AOFG 为平行四边形，故 AGOF， 又 DEBC，所以，平面 ADE平面 BCF（12 分） 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦
32、点为 F，抛物线 C 上的点到准线的最小距 离为 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若过点 F 作互相垂直的两条直线 11，l2，l1与抛物线 C 交于 A，B 两点，l2与抛物 线 C 交于 C，D 两点，M，N 分别为弦 AB，CD 的中点，求|MF|NF|的最小值 【解答】解： （1）因为抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 2，所以 2 = 2， 解得 p4， 故抛物线 C 的方程为：y28x； 第 16 页（共 19 页） （2）由（1）可知焦点为 F（2，0） ， 由已知可得 ABCD，所以两直线 AB，CD 的斜率都存在且均不为 0， 设直线 AB 的斜率为 k，则直线 C
33、D 的斜率为 1 ， 故直线 AB 的方程为 yk（x2） ， 联立方程 2 = 8 = ( 2)，消去 x 得：ky 28y16k0， 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则1+ 2= 8 ， 因为 M（xM，yM）为弦 AB 的中点，所以= 1 2 (1+ 2) = 4 ， 由 yMk（xM2） ，得= + 2 = 4 2 + 2， 故点 M（ 4 2 + 2，4 ） ， 同理可得：N（4k2+2，4k） ， 故|NF|= (42+ 2 2)2+ (4)2=42(1 + 2)，|MF|= 16 4 + 16 2 = 41+2 2 ， 所以|MF|NF|= 41+2 2 42(1
34、+ 2) =16 1+2 | =16 （|k|+ 1 |） 16 2| 1 | =32， 当且仅当|k|= 1 |，即 k1 时，等号成立， 所以|MF|NF|的最小值为 32 21 （12 分） 如图是一块地皮 OAB， 其中 OA， AB 是直线段， 曲线段 OB 是抛物线的一部分， 且点 O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴经测量，OA2km， = 2km， = 4现要从这块地皮中划一个矩形 CDEF 来建造草坪，其中点 C 在曲线段 OB 上，点 D，E 在直线段 OA 上，点 F 在直线段 AB 上，设 CDakm，矩形草 坪 CDEF 的面积为 f（a）km2
35、（1）求 f（a） ，并写出定义域； （2）当 a 为多少时，矩形草坪 CDEF 的面积最大？ 第 17 页（共 19 页） 【解答】 解：（1） 以 O 为原点， OA 边所在直线为 x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 过点 B 作 BGOA 于点 G， 在直角ABC 中， = 2， = 4， 所以 AGBG1，又因为 OA2， 所以 OG1，则 B（1，1） ， 设抛物线 OCB 的标准方程为 y22px，p0， 代入点 B 的坐标，得 = 1 2， 所以抛物线的方程为 y2x 因为 CDa，所以 AEEFa，则 DE2aa2， 所以 f（a）a（2aa2）a3a2+2a，定义域为（
36、0，1） （2）f（a）3a22a+2，令 f（a）0，得 = 71 3 当0 71 3 时，f（a）0，f（a）在(0， 71 3 )上单调增； 当71 3 1时，f（a）0，f（a）在( 71 3 ，1)上单调减 所以当 = 71 3 时，f（a）取得极大值，也是最大值 答： （1）f（a）a3a2+2a，定义域为（0，1） ； （2）当 = 71 3 时，矩形草坪 CDEF 的面积最大 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 18 页（共 19 页） 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系
37、的原点，极 轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是： = + 2 2 = 2 2 （t 是参 数） （1）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|= 14，试求实数 m 值 （2）设 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程是 4cos， 即 24cos， 化为直角坐标方程是：x2+y24x， 即（x2）2+y24； 直线 l 的直角坐标方程为：yxm， 圆心（2，0）到直线 l 的距离（弦心距）为 d=22( 14 2 )2= 2 2 ， 圆心（2，0）到直线 yxm 的距离为： 即|20
38、| 2 = 2 2 ， |m2|1， 解得 m1 或 m3； （5 分） （2）曲线 C 的方程可化为（x2）2+y24， 其参数方程为 = 2 + 2 = 2 （ 为参数） ； 又 M（x，y）为曲线 C 上任意一点， x+y2+2cos+2sin2+22sin（+ 4） ， x+y 的取值范围是2 22，2 + 22（10 分） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 【解答】解： （1）f（x）|x3|2|x|
39、，f（x）2， 当 x0 时，f（x）|x3|2|x|（3x）+2xx+3， 第 19 页（共 19 页） 由 f（x）2，得 x+32，解得 x1，此时1x0 当 0x3 时，f（x）|x3|2|x|（3x）2x33x， 由 f（x）2，得 33x2，解得 1 3，此时0 1 3； 当 x3 时，f（x）|x3|2|x|（x3）2xx36， 此时不等式 f（x）2 无解， 综上，不等式 f（x）2 的解集为1， 1 3 （2）由（1）可知，() = + 3， 0 3 3，03 3， 3 当 x0 时，f（x）x+33； 当 0x3 时，f（x）33x（6，3） ； 当 x3 时，f（x）x36 函数 yf（x）的最大值为 m3，则 a+b+c3 由柯西不等式可得（1+1+1） （a2+b2+c2）（a+b+c）2， 即 3（a2+b2+c2）32，即 a2+b2+c23， 当且仅当 abc1 时，等号成立 因此 a2+b2+c23
