1、第二章 一元二次方程 综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1下列方程是关于x的一元二次方程的是()A3x25y40 B2x10 C2x33x270 D5x(x3)92【2022青海】已知关于x的方程x2mx30的一个根为x1，则实数m的值为()A4 B4 C3 D33用配方法解方程x24x10，配方后的方程是()A(x2)23 B(x2)23 C(x2)25 D(x2)254【母题：教材P43习题T1】【2022河南】一元二次方程x2x10的根的情况是()A有两个不相等的实数根 B没有实数根C有两个相等的实数根 D只有一个实数根5解下列方程：3x2270；2x23x10；x25x20；
2、2(3x1)23x1.较简便的方法是()A依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法B依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法C用直接开平方法，用公式法，用因式分解法D用直接开平方法，用公式法，用因式分解法6【2023石家庄桥西区月考】若x1x23，x12x225，则以x1，x2为根的一元二次方程是()Ax23x20 Bx23x20Cx23x20 Dx23x207【2023清华附中模拟】若菱形两条对角线的长度是x26x80的两根，则该菱形的边长为()A B4 C25 D58若关于x的一元二次方程x22xkb10有两个不相等的实数根，则一次函数ykxb的大致图象是()9某社区服务中心学
3、习“二十大”精神，坚持以人民为中心的发展思想，社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场(如图)已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道设通道的宽是x米，若停车位的面积为1 104平方米，依题意可列出的方程为()A236x52x52361 104B36x252xx252361 104 C(52x)(362x)1 104D(522x)(36x)1 10410若整数a使得关于x的一元二次方程(a2)x22axa10有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为()A3 B4 C5 D6二、填空题
4、(每题3分，共24分)11【母题：教材P32随堂练习T2】方程(x3)256x化成一般形式是_，其中一次项系数是_12关于x的一元二次方程(x3)(x2)0的根是_13【2022辽宁】若关于x的一元二次方程x22xk30有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_14已知t23t10，则t_15已知关于x的方程x2(k4)x4k0(k0)的两实数根为x1，x2，若3，则k_16某校决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地，若矩形场地的一边靠墙(墙的长度足够)，另外三边由总长为 60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上分别设置了一个开口宽为1米的入口和出口(如图)
5、，请根据方案计算出矩形场地平行于墙的边长为_米17已知a，b，c是ABC的三边长，若方程(ac)x22bxac0有两个相等的实数根，则ABC是_三角形18【2022衢州】将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：_(不必化简)三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19【母题：教材P56复习题T2】用适当的方法解下列方程：(1)x(x4)5(x4)0；(2)(2x1)24(2x1)40；(3)x22x20； (4)(y1)(y1)2y1.20已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm20.(1)求证：无论
6、m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1x23x1x21，求m的值21已知关于x的方程(a1)x24x12a0，x3是方程的一个根(1)求a的值及方程的另一个根；(2)一个三角形的三边长都是此方程的根，求这个三角形的周长22【2023重庆一中模拟】直播带货作为一种线上新型销售模式，绕过了经销商等传统中间渠道，实现产品和消费者的直接对接，小刚线上通过直播带货销售家乡的某种特产水果已知这种水果的成本价为10元/千克，通过前几周的销售他发现这种水果每周的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的关系近似满足一次函数关系：y2x80.(1)如果小刚本周将这种水
7、果的售价定为16元/千克，那么本周他销售这种水果可获利多少？(2)如果小刚下周继续销售这种水果，是否能获得500元的利润？23如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB16 cm，AD6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动(1)P，Q两点出发多长时间后，四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P，Q两点出发多长时间后，点P与点Q之间的距离是10 cm?24【2023周口四中模拟】图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里得
8、解法、花拉子米解法、卡莱尔解法、斯陶特解法、赵爽解法等等小华针对古代数学家赵爽的构图解法进行了探究，请你进行归纳概括提出问题：怎样图解一元二次方程x22x350(x0)? 几何建模：(1)变形：x(x2)35；(2)构图：如图所示，画出四个长为x2，宽为x的矩形；(3)解答：大正方形面积的两种表达方式为(xx2)2，4x(x2)22.由面积相等得(xx2)24x(x2)22.x(x2)35，(xx2)24354.(2x2)2144.x0，2x212，解得x5.归纳概括：请参照上述方法求一元二次方程x2bxc(x0，b0，c0)的解，并画出示意图，标记出相应线段的长答案一、1D【点拨】紧扣一元二
9、次方程的三要素：是整式方程；只含一个未知数；整理后未知数的最高次数是2.2B【点拨】将x1代入方程即可求出m的值3A【点拨】x24x10，移项得x24x1，配方得x24x414，即(x2)23.4A【点拨】求出b24ac的值进行判断5C【点拨】选择一元二次方程的解法：先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法6A【点拨】二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系是两根之和是一次项系数的相反数，两根之积等于常数项7A【点拨】解方程可求出菱形的两条对角线长，然后利用菱形的性质和勾股定理求出边长8B【点拨】由一元二次方程x22xkb10有两个不相等的实数根得0，解得kb0，然后
10、根据k，b异号判断一次函数的图象9C【点拨】根据题意得(52x)(362x)1 104，故选C.10C【点拨】由一元二次方程(a2)x22axa10有实数根可知0且a2，解得a2且a2，由不等式组有解且最多有6个整数解可知3a3，故3a2且a2，又因为a为整数，所以a可取3，1，0，1或2.本题易忽略a2而错选D.二、11x212x140；12【点拨】原方程可变形为x26x956x，整理得x212x140，所以一次项系数是12.12x13，x22【点拨】由(x3)(x2)0得x30或x20，x13，x22.13k2【点拨】由题意知b24ac0，即可求出k的取值范围143【点拨】由t23t10可
11、知t0，t30，t3.15【点拨】由根与系数的关系求解即可1630或32【点拨】设矩形场地平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为(60x12)米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解17直角【点拨】由题意可知(2b)24(ac)(ac)0，a2b2c2，ABC是直角三角形1815x(10x)360【点拨】由题意可得长方体的高为15 cm，长为(202x)210x(cm)，则根据题意，列出关于x的方程为15x(10x)360.三、19【解】(1)原方程可化为(x4)(x5)0，x40或x50.解得x14，x25.(2)原方程可化为(2x12)20，即(2x3)20，解得x1x2.(3)a1，
12、b2，c2，441(2)120.x1.x11，x21.(4)原方程化为一般形式为y22y0.因式分解，得y(y2)0.y12，y20.20(1)【证明】(2m1)241(m2)4m24m14m84m290，无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根(2)【解】由根与系数的关系，得x1x2(2m1)，x1x2m2.由x1x23x1x21，得(2m1)3(m2)1.解得m8.21【解】(1)将x3代入方程(a1)x24x12a0，得9(a1)1212a0.解得a2.将a2代入原方程，得x24x30，因式分解得(x1)(x3)0，x11，x23.方程的另一个根是x1.(2)三角形的三边长都是这个方程
13、的根，当三边长都为1时，周长为3；当三边长都为3时，周长为9；当两边长为3，一边长为1时，周长为7；当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形综上，这个三角形的周长为3或9或7.【点拨】先把x3代入已知方程求得a的值，然后通过解方程求得该方程的两根，最后根据三角形的三边长都是这个方程的根分类讨论，利用三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可22【解】(1)(1610)(21680)(1610)(3280)648288(元)答：本周他销售这种水果可获利288元(2)不能获得500元的利润，理由如下：依题意得(x10)(2x80)500，整理得x250x6500，(50)
14、2416501000，该方程无实数根，不能获得500元的利润23【解】(1)设P，Q两点出发x s后，四边形PBCQ的面积是33 cm2，由题意得 (163x2x)633，解得x5.即P，Q两点出发5 s后，四边形PBCQ的面积是33 cm2.(2)设P，Q两点出发t s后，点P与点Q之间的距离是10 cm，过点Q作QHAB于点H.在RtPQH中，有|165t|262102，解得t11.6，t24.8.即P，Q两点出发1.6 s或4.8 s后，点P与点Q之间的距离是10 cm.24【解】变形：x(xb)c.构图：如图所示，画出四个长为xb，宽为x的矩形解答：由图知，大正方形面积的两种表达方式为(xxb)2，4x(xb)b2.由面积相等得(xxb)24x(xb)b2.x(xb)c，(2xb)24cb2. x0，b0，c0，x.
