1、2023年中考数学专题训练：旋转综合题一、综合题1已知：如图，在矩形 ABCD 中， AB=6cm ， BC=8cm ，对角线 AC ， BD 交于点 O 点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延点也长，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF/AC ，交 BD 于点 F 设运动时间为 t(s)(0t6 （不符题意，舍去），综上，当 t 为 258 或5时， AOP 是等腰三角形；（3）解：如图2，过点 O 作 OHBC 交 BC 于点
2、 H ，则 OH=12CD=12AB=3cm ， 由矩形的性质可知， AD/BC ， DO=BO ，PDO=EBO ，又 DOP=BOE ，DOPBOE(ASA) ，BE=PD=(8-t)cm ，则 SBOE=12BEOH=123(8-t)=12-32t ，FQ/AC ，DFQDOC ，相似比为 DQDC=t6 ，SDFQSDOC=(DQDC)2=t236 ，SDOC=14S矩形ABCD=1468=12(cm2) ，SDFQ=12t236=t23(cm2) ，S五边形OECQF=SDBC-SBOE-SDFQ=1268-(12-32t)-t23=-13t2+32t+12 ，故 S 与 t 的函数
3、关系式为 S=-13t2+32t+12 ；（4）解：当 t=11239 时， OD 平分 COP 如图，过 D 作 DMPE 于 M ， DNAC 于 N ，ORAD于R，SACD= 12ADCD=12ACDN ，DN=ADCDAC=8610=245 ，OD平分POC，POD=COD ， DM=DN=245 ，OD= 12BD=12AC=5 ，ON=OM=OD2-DN2=75 ，SPOD=12OPDM=12ORPD ，PD=8-t，OR= 12CD=3 ，OP=ORPDDM=5(8-t)24=5-58t ，PM=OP-OM=185-58t ，在RtPDM中，PD2=PM2+DM2 ，(8-t)
4、2=(185-58t)2+(245)2 ，解得： t=16 （不合题意，舍去）， t=11239 ， 当 t=11239 时， OD 平分 COP 2（1）；5；5 3 DF10（2）ADP 和 AMN 如图所示： AMN 是等边三角形，AMANMN，MAN60，边AM的长最大，点M在DC上，点N在BC上，四边形ABCD是正方形，ADABCDBC，BCADCDAB90，RtADMRtABN（HL），BN=DM，ADP 和 AMN 是等边三角形，AD=AP，AM=AN，DAP=MAN=60，DAM=PAN，ADMAPN（SAS），DM=PN，NP=DM=BN，即：与线段 NP 相等的线段有BN，
5、DM3（1）解：四边形ABCD是矩形，BC=AD=4，ABC=90，在RtABC中，ABC=90，AC= AB2+BC2 = 32+42 =5，AC的长为5（2）解：当点P在线段AC上，CP=52t，当点P在线段CB上，CP=t 52 （3）解：如图1中，当N在BC上时AP=2t，AQ=t，AQ=PQ，PMAD，AMP=90，QM= 12 AP=t，由APMACD，可得 APAC = PMCD ，2t5 = PM3 ，PM= 65 t，由CNQCBA，可得 QNAB = CQCA ，65t3 = 5-t5 ，解得t= 53 ，当0t 53 时，如图2中，重叠部分是四边形PMQN，d=2（t+
6、65t ）= 225 t，当 53 t 52 ，如图3中，重叠部分是五边形EFPMQd= 225 t（1+ 53 ）（ 95t 3）+ 43 （ 95 t3）=2t4（4）解：经过点N的直线将矩形ABCD的面积平分，这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O如图4中，当直线ON经过PM的中点时，直线ON将PMQN的面积分成1：3的两部分，此时：由OQ：OP=NQ：PE=2：1，可得（ 52 t）：（2t 52 ）=2：1，解得t= 32 如图5中，当直线ON经过QM的中点时，直线ON将PMQN的面积分成1：3的两部分，此时：由OQ：OP=NQ：PE=1：2，可得（ 52 t）：（2t 52 ）=
7、1：2，解得t= 158 如图6中，当点P在BC上，PM经过点O时，直线ON将PMQN的面积分成1：3的两部分，易知t= 92 s综上所述，满足条件的t的值为t= 32 s或 158 s或 92 s时4（1）45（2）20（3）解：当 OF 的反向延长线平分 DOC 时， OF 旋转的度数为： 45-30=15 ， 直角三角板 OEF 旋转的度数为： 45-30=15 ，则 t=155=3 秒，当 OF 平分 DOC 时，OF 平分 DOC ，COF=30 ， 直角三角板 OEF 旋转的度数为： 45+120+30=195 ，则 t=1955=39 秒，答：直角三角板 OEF 的斜边 OF 所
8、在的直线恰好平分 DOC 时，三角板 OEF 绕点 O 的运动时间的值为3或39秒5（1）解：如图中， A(5,0) ， B(0,3) ，OA=5 ， OB=3 ， 四边形 AOBC 是矩形，AC=OB=3 ， OA=BC=5 ， OBC=C=90 ， 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到，AD=AO=5 ，在 RtADC 中， CD=AD2-AC2=4 ，BD=BC-CD=1 ，D(1,3)（2）解：如图中， 由四边形 ADEF 是矩形，得到 ADE=90 ， 点 D 在线段 BE 上，ADB=90 ，由（1）可知， AD=AO ，又 AB=AB ， AOB=90 ，RtADBRtA
9、OB(HL) .BAD=BAO ，又在矩形 AOBC 中， OA/BC ，CBA=OAB ，BAD=CBA ，BH=AH ，设 AH=BH=m ，则 HC=BC-BH=5-m ，在 RtAHC 中， AH2=HC2+AC2 ，m2=32+(5-m)2 ，m=175 ，BH=175 ，H(175 ， 3)（3）解：如图中，当点 D 在线段 BK 上时， DEK 的面积最小，最小值 =12DEDK=123(5-342)=30-3344 ， 当点 D 在 BA 的延长线上时， DEK 的面积最大，最大面积 =12DEKD=123(5+342)=30+3344 .综上所述， 30-3344S30+33
10、446（1）解：EF/GH. 在BEG中，23180，90，2390.1=2，3=4，1234180.12FEG180，34EGH180，FEGEGH180，EF/GH； （2）解：在BEG中，23180， 23180.1=2，1=MEB，2MEB，MEG22.同理可得，MGE23.在MEG中，MEGMGE180，180(MEGMGE)180(2223)1802(23)1802(180)2180；（3）解：90+m或150.理由如下： 当n=3时，如下图所示，BEG=1=m，BGE=CGH=60-m，FEG=180-21=180-2m，EGH=180-2BGE=180-2(60-m)= 60+
11、2m，EF/HK，FEG+EGH+GHK=360，GHK=360-(180-2m)-( 60+2m)=120，GHC=1202=30，在GCH中，=180-(60-m) -30=90+m.当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，由（1）知=90，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示，EF/HK，HEF+EHK=180.1+BEH+HEF+DHK+EHK+CHE=360，1+BEH+DHK+CHE=180，BEH+CHE=90. +BEH+CHE =360， 120，=150.综上所述：的度数为：90+m或150.7（1）200（2）PCPE，PCPE；PC与PE的数量关系和
12、位置关系分别是PCPE，PCPE. 理由如下：如解图2，作BFDE，交EP延长线于点F，连接CE、CF， 同理，可知FBPEDP（SAS）， BFDE，PEPF 12EF ， DEAE， BFAE， 当90时，EAC90， EDAC，EABC FBAC，FBC90， CBFCAE， 在FBC和EAC中， BF=AECBE=CAEBC=AC ， FBCEAC（SAS）， CFCE，FCBECA， ACB90， FCE90， FCE是等腰直角三角形， EPFP， CPEP，CPEP 12EF .；如解图3，作BFDE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EHAC交CA延长线于H点， 当15
13、0时，由旋转旋转可知，CAE150，DE与BC所成夹角的锐角为30， FBCEAC150 同可得FBPEDP（SAS）， 同FCE是等腰直角三角形，CPEP，CPEP 22CE ， 在RtAHE中，EAH30，AEDE1， HE 12 ，AH 32 ， 又ACAB3， CH3+ 32 ， EC2CH2+HE2 10+33PC2 12EC2=10+3328（1）证明：四边形ABCD是正方形.ABE=BCF=90，AB=BC.在RtABE和RtBCF中.AB=BC，AE=BFABEBCF(HL)，BAE=CBF.BAE+AEB=90，CBF+AEB=90，BOE=90，AEBF（2）解：设OA=x
14、，则OB=x-1.在RtAOB中，AB2=OA2+OB2.(x1)2+x2=52 .x1=4 ， x2=3 （舍去）.OB=41=3 ，OA=4 .ABEBCF.S四边形OECF=SAOB=1234=6.（3）解：作DHAE于点H.在ABO和DAH中.AOB=AHD， DAH=ABO，AD=AB.ABODAH（AAS）.AH=OB.ADO是以AD为腰的等腰三角形，OA AB=AD.只有AD=OD.AH=OH=OB.设AH=OH=OB=x，则OA=2x.(2x)2+x2=52 .x=5. OA=25 .ABOAEB.AOAB=ABAE.255=5AE.AE=552.9（1）解：由已知：y=a(x
15、3)(x+1)， 将(0，3)代入上式得：3=a(03)(0+1)，a=1，抛物线的解析式为y= x2 2x3（2）解：作点O关于直线BC的对称点D，连接DC 、DB， B(3，0)，C(0，3)，BOC=90，OB=OC=3，O、D关于直线BC对称，四边形OBDC为正方形，D(3，3)，连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，AD= AB2+BD2=42+32=5 ，|QO|+|QA|有最小值为5（3）解：由已知点A(1，0)， B(3，0)，C(0，3)， 设直线BC的表达式为y=kx3，把B(3，0)代入得：0=3k3，解得： k=1 ，
16、直线BC的表达式为y=x3，同理：直线AC的表达式为y=3x3.PQAC，直线PQ的表达式可设为y=3x+b，由（1）可设P(m，m22m3)代入直线PQ的表达式可得b= m2+m3，直线PQ的表达式可设为y=3x+ m2+m3，由 y=x-3y=-3x+m2+m-3 ，解得 x=m2+m4y=m2+m-124 ，即 Q(m2+m4，m2+m-124) ，由题意： S=SPAQ+SPBQ=SPAB-SQAB ，P，Q都在四象限，P，Q的纵坐标均为负数，S=12|AB|(-m2+2m+3)-12|AB|(-m2-m+124) ，即 S=-32m2+92m=-32(m2-3)=-32(m-32)2
17、+278 ，根据已知条件P的位置可知 0m3 .m=32 时，S最大，即 P(32，-154) 时，S有最大值 27810（1）125（2）解：在ODE旋转过程中，AOD与COE的差不发生变化，有两种情况：如图1，AOD+COD=90，COD+COE=60，AODCOE=9060=30，如图2，AOD=AOC+COD=90+COD，COE=DOE+DOC=60+DOC，AODCOE=（90+COD）（60+COD）=30，即ODE在旋转过程中，AOD与COE的差不发生变化，为30；（3）解：如图1，AOE=7COD，AOC=90，DOE=60，90+60COD=7COD，解得：COD=18.7
18、5，AOE=718.75=131.25；如图2，AOE=7COD，AOC=90，DOE=60，90+60+COD=7COD，COD=25，AOE=725=175；即AOE=131.25或175.11（1）解：根据题意可知 AEF=ABF+BAE ， ABD=ABF+DBF ，ABD=AEF ，DBF=BAE ；（2）证明：如图，在BF上截取BP，使AE=BP， 由（1）得 DBF=BAE ，即 DBP=BAE ，在 ABE 和 ADP 中，AB=BDBAE=DBPAE=BP ，ABEADP ，BE=DP，AEB=BPD ，BP=AE，AE=EF ，BP=EF ，BP-EP=EF-EP ，即 B
19、E=PF ，PE=PD ，PF=PD ，AEF 和 FPD 均为等腰三角形，又 AEB=BPD ，AEF=FPD ，AEF 和 FPD 为顶角相等的等腰三角形，EAF=EFA=PFD=PDF ，BFD=AFB ；（3）解：又（1）可知 AEFFPD ， AF=kDF ，AFDF=EFPF=k ，设 PF=PD=a ，则 AE=EF=ka ，EDF+MDF=180 ，MDF=MDP+PDF ，EDF=180-FED-PFD ，则 180=MDP+PDF+180-FED-PFD ，PDF=PFD ，MDP=FED ，EPD=DPM ，PMDPDE ，PDPE=PMPD ，即 PD2=PMPE ，由
20、此得 a2=PM(k-1)a ，则 PM=ak-1 ，AEMF=kaa+ak-1=k-1 12（1）解：CBDCBD，CBD=CBD=15，CB=CB=2，CBC=30，如图1，作CHBC于H，则CH=1，HB= 3 ，CH=2 3 ，点C的坐标为：（2 3 ，1）（2）解：如图2，A（2，0），k= 33 ，代入直线AF的解析式为：y= 33 x+b，b= 233 ，则直线AF的解析式为：y= 33 x+ 233 ，OAF=30，BAF=60，在点D由C到O的运动过程中，BC扫过的图形是扇形，当D与O重合时，点C与A重合，且BC扫过的图形与OAF重合部分是弓形，当C在直线y= 33 x+ 2
21、33 上时，BC=BC=AB，ABC是等边三角形，这时ABC=60，重叠部分的面积是： 6022360 34 22= 23 3（3）解：如图3，设OO与DE交于点M，则OM=OM，OODE，若DOE与COO相似，则COO必是Rt，在点D由C到O的运动过程中，COO中显然只能COO=90，CODE，CD=OD=1，b=1，连接BE，由轴对称性可知CD=CD，BC=BC=BA，BCE=BCD=BAE=90，在RtBAE和RtBCE中BE=BEAB=BC ，RtBAERtBCE（HL），AE=CE，DE=DC+CE=DC+AE，设OE=x，则AE=2x，DE=DC+AE=3x，由勾股定理得：x2+1
22、=（3x）2，解得：x=，D（0，1），E（ 43 ，0），43 k+1=0，解得：k= 34 ，存在点D，使DOE与COO相似，这时k= 34 ，b=113（1）解：直线l：y =34 x与直线l：y=kx+b相交于点A（a，3），A（4，3） 直线交l交y轴于点B（0，5），y=kx5，把A（4，3）代入得：3=4k5，k=2，直线l的解析式为y=2x5（2）解：OA =32+42= 5， OA=OB，OAB=OBA将OAB沿直线l翻折得到CAB，OAB=CAB，OBA=CAB，ACOB（3）P1（0，9），P2（7，6），P3（ 72 ， -112 ） 14（1）解：直线 y=mx+n
23、分别交 x 轴， y 轴于 A(4,0) 、 B(0,3) 两点. 把 A(4,0) 、 B(0,3) 两点代入直线 y=mx+n 可得：0=4m+n3=n 解得： m=-34n=3直线解析式为： y=-34x+3（2）解：由题意设 C(t,-34t+3) 过线段 AB 上的点 C 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 P ， 以 C 为顶点的抛物线解析式是 y=(x-t)2-34t+3 ，由 (x-t)2-34t+3=-34x+3解得 x1=t ， x2=t-34 .过点 D 作 DECO 于点 E ，则 DEC=AOB=90DE/OAEDC=OABDECAOBDEAO=CDBAAO=4 ， AB
24、=5 ， DE=t-(t-34)=34CD=DEBAOA=3454=1516CD 边上的高 =345=125SCOD=121516125=98 ，SCOD 为定值.（3）解：由题意得：抛物线解析式为 y=x2-4 ，可解得 G(2,0) . 设 N(x1,y1) 、 M(x2,y2) ，MGN=90 ，过点 M 作 MFx 轴于 F ，过点 N 作 NHx 轴于 H ，MFGGHNy1x2-2=2-x1y2 ， y1y2=(x2-2)(2-x1) ，又 y1=x12-4 ， y2=x22-4代入上式简化得 (x2+2)(x1+2)=-1 ，即 x1x2+2(x1+x2)+4=-1设直线 MN 的解析式为 y=kx+b联立 y=kx+by=x2-4 得： x2-kx-4-b=0 ，x1+x2=k ， x1x2=-4-b-4-b+2k+4=-1 ， 2k-b=-1 ， -2k+b=1 ，即当 x=-2 时，
