1、题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-2-1.如图所示,一正方形的纸片经三次折叠后,用剪子剪掉虚线部分,则展开后的图形是(C )2.如图,RtABC中,BC=12,AB=13,则内部五个小直角三角形的周长为30.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-3-3.阅读并解答问题.如图,已知:AD为ABC的中线,求证:AB+AC2AD.证明:延长AD至E使得DE=AD,连接EC,则AE=2ADAD为ABC的中线,BD
2、=CD.ABD CED,AB=EC,在ACE中,根据三角形的三边关系有AC+ECAE,而AB=EC,AE=2AD,AB+AC2AD.这种辅助线方法,我们称为“倍长中线法”.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-4-请利用这种方法解决以下问题:(1)如图,已知:CD为RtABC的中线,ACB=90,(2)把(1)中的结论用简洁的语言描述出来.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-5-解:(1)证明:延长CD至E使DE=CD,连接EB,AE.CD为RtAB
3、C的中线,AD=CD,CD=DE,ADC=EDB,ADC EDB,ACD=DEB,AC=BE,ACBE,四边形ACBE是平行四边形,又ACB=90,平行四边形ACBE是矩形,AB=CE,CD=DE=AD=BD,CD=AB;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-6-【例1】如图,点O为线段MN的中点,PQ与MN相交于点O,且PMNQ,可证PMO QNO.根据上述结论完成下列探究活动:探究一:如图,在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE=EAF,AF与DC的延长线相交
4、于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论;探究二:如图,DE、BC相交于点E,BA交DE于点A,且BEEC=12,BAE=EDF,CFAB.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-7-解:若AB=4,CF=2,求DF的长度.答案:(1)AB=AF+CF.如图(2),分别延长DC、AE,交于G点,根据图得ABE GCE,AB=CG,又ABDC,BAE=G而BAE=EAF,G=EAF,AF=GF,AB=CG=GF+CF=AF+CF;(2)如图(3),分别延长CF、AE,交于G点,根据CFAB得ABEGCE
5、,ABCG=BECE,而BEEC=12,AB=4,CG=8,又ABFC,BAE=G,而BAE=EDF,G=EDF,DF=GF,而CF=2,DF=CG-CF=8-2=6.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-8-【练习1】如图,正方形ABCD中,E,F分别是CD、DA的中点,BE与CF相交于点P,(1)求证:BECF;(2)判断PA与AB的数量关系,并说明理由.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-9-解:证明:(1)点E、F分别是正方形ABCD的边CD
6、和AD的中点,EC=DF.BCE CDF,CBE=DCF.DCF+BCP=90,CBE+BCEP=90.BEFC.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-10-(2)延长CF、BA交于点M.FCEB,BPM=90,在CDF和AMF中,CDF AMF,CD=AM.CD=AB,AB=AM,PA是直角BPM斜边BM上的中线,AP=MB,AP=AB.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-11-【例2】在RtABC中,AB=BC;在RtADE中,AD=DE;连接E
7、C,取EC的中点M,连接DM和BM.(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,求证:BM=DM且BMDM;(2)如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-12-解:(1)证明略(2)当ADE绕点A逆时针旋转小于45的角时,(1)中的结论成立.证明如下:证法1(利用中点构造平行四边形,证明全等):证明:连接BD,延长DM至点F,使得MF=DM,连接BF、FC,延长ED交AC于点H.D
8、M=MF,EM=MC,四边形CDEF为平行四边形.DECF,ED=CF.ED=AD,AD=CF.DECF,AHE=ACF.BAD=45-DAH=45-(90-AHE)=AHE-45,BCF=ACF-45,BAD=BCF.又AB=BC,ABD CBF.BD=BF,ABD=CBF.ABD+DBC=CBF+DBC,DBF=ABC=90.在RtDBF中,由BD=BF,DM=MF,得BM=DM且BMDM.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-13-证法2(利用旋转变换构造全等三角形,证明平行四边形)证明:连接BD,将ABD绕点B逆时
9、针旋转90,点A旋转到点C,点D旋转到点D,得到CBD,则BD=BD,AD=CD,BAD=BCD,且DBD=90.连接MD.CED=CEA-DEA=(180-ECA-EAC)-45=180-ECA-(90-BAD)-45=45-ECA+BAD=ECB+BAD=ECB+BCD=ECD,DECD.又DE=AD=CD,四边形EDCD为平行四边形.D、M、D三点共线,且DM=MD.在RtDBD中,由BD=BD,DM=MD,得BM=DM且BMDM.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-14-证法3(利用旋转变换构造全等三角形,证明正
10、方形):证明:过D作DFDM且DM=DF,连接AF与ED交于G点,与EC交于H点,DFDM,FDM=90.ADE是直角三角形,且AD=DE,ADE=90.EDF是公共角,FDM=ADE=90,FDM+EDF=ADE+EDF,即ADF=EDM.在ADF与EDM中,AD=DE,ADF=EDM,DF=DM,即ADF EDM.FAD=MED,EM=AF,又点M为EC的中点,MC=ME=AF,AF=MC.又在EGH与AGD中,EGH与AGD为对顶角,第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-15-EGH=AGD,FAD=MED,EHG=
11、ADG=90点E、H、C在同一条直线上,AHC=EHG=90.RtABC与RtAHC中,BAC+HCA+2=90,1+BAC+HCA=90.1=2,在AFB与CMB中,AB=BC,1=2,AF=MC,AFB CMB.即FB=BM,FBA=MBC,FBA+ABM=MBC+ABM,FBM=ABC=90.又DF=DM,FDM=90,DFM=DMF=BFM=BMF=45.BFD=FDM=DMB=90,DF=DM=BM=FB=FM,四边形DMBF为正方形,即BM=DM,BMDM.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-16-证法4(边
12、长取半,构造等腰直角三角形,利用中位线,证明全等)证明:分别取AC、EA边中点G、F,连接BG、GM、FM、FD,在AEC中,M点为EC的中点,即MGC=EFM,又ABC与ADE为等腰直角三角形,DFAE,BGAC,DFM=MGB,BGFM.在DFM与MGB中,DF=MG,DFM=MGB,FM=BG,DFM MGB.DM=MB,DMF=MBG,BGFM,MBG+BMF=90,DMF+BMF=90,即DMMB.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-17-证法5(倍长边长,构造等腰直角三角形,利用中位线,证明全等)证明:延长线
13、段ED到F,使DF=DE,连接AF、FC,延长线段CB到G,使BG=BC,连接GA、GE.ABC与ADE为等腰直角三角形,ABG ABC,ADF ADE,ACG与AFE为等腰直角三角形.有AE=AF,AG=AC,GAC=EAF,GAC-EAC=EAF-EAC,即GAE=CAF.在GAE与CAF中,AE=AF,GAE=CAF,AG=AC,GAE CAF.GE=FC并且可以看成GAE是由CAF绕着A点逆时针旋转90得到的,有GEFC.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-18-在EFC中,D、M分别为边EF、EC的中点,第四部
14、分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-19-【练习2】如图,ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CFAE于F,AB=5,AC=2,则DF的长为多少?解:如图,延长CF交AB于点G,在AFG和AFC中,GAF=CAF,AF=AF,AFG=AFC,AFG AFC(ASA).AC=AG,GF=CF.又点D是BC中点,DF是CBG的中位线.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-20-A组1.将两块全等的含30角的三角尺如图(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3.
15、(1)将ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置,使E点落在AB上,则CC=;(2)将ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置,使点E落在AB上,则ECD绕点C旋转的度数=;(3)将ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置,ED与AB相交于点F,求证:AF=FD.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-21-(2)ECD绕点C旋转的度数即ECE的度数;ABC=60,BC=CE=3,AB=6,EBC是等边三角形,BC=EC=EB=3,AE=EC=3,EAC=ECA,ECE=BAC=30;(3)证明:在AEF和DBF中,AE=AC-EC
16、,DB=DC-BC,又AC=DC,EC=BC,AE=DB,又AEF=DBF=180-60=120,A=CDE=30,AEF DBF,AF=FD.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-22-B组2.如图,点O是等边ABC内一点,AOB=110,BOC=.将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC,连接OD.(1)求证:COD是等边三角形;(2)当=150时,试判断OA,AD,OD三边的关系,并说明理由;(3)探究:当为多少度时,AOD是等腰三角形?直角三角形第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识
17、过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-23-解:(1)证明:CO=CD,OCD=60,COD是等边三角形;(2)当=150,即BOC=150时,AOD是直角三角形.BOC ADC,ADC=BOC=150,又COD是等边三角形,ODC=60,ADO=90,即AOD是直角三角形;(3)解:要使AO=AD,需AOD=ADO.AOD=360-AOB-COD-=360-110-60-=190-,ADO=-60,190-=-60,=125;要使OA=OD,需OAD=ADO.AOD=190-,ADO=-60,OAD=180-(AOD+ADO)=50,-60=50=110;第四部分第四部分题型四题型四转换
18、思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-24-要使OD=AD,需OAD=AOD.190-=50=140.综上所述,当的度数为125,或110,或140时,AOD是等腰三角形.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-25-3.如图,点B1是边长为1的等边OBA的两条中线的交点,以OB1为一边,构造等边OB1A1(点O,B1,A1按逆时针方向排列),称为第一次构造;点B2是OB1A1的两条中线的交点,再以OB2为一边,构造等边OB2A2(点O,B2,A2按逆时针方向排列),称为第二次构造;以
19、此类推.(1)求OB1的长;第一次重合时,构造停止,则构造出的最后一个三角形的面积是.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-26-(3)点B1是面积为1的等边OBA的两条中线的交点,点B1是OBA的重心,也是内心.BOB1=30.OB1A1是等边三角形,A1OB=60+30=90.每构造一次三角形,OB1边与OB边的夹角增加30,还需要(360-90)30=9,即一共1+9=10次构造后等边OBnAn的边OAn与等边OBA的边OB第一次重合.构造出的最后一个三角形为等边OB10A10.如图,过点B1作B1MOB于点M,第四
20、部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-27-第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-28-4.如图,在矩形ABCD(ABAD)中,将ABE沿AE对折,使AB边落在对角线AC上,点B的对应点为F,同时将CEG沿EG对折,使CE边落在EF所在直线上,点C的对应点为H.(1)证明:AFHG(图(1);(2)如果点C的对应点H恰好落在边AD上(图(2).判断四边形AECH的形状,并说明理由.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点
21、题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-29-证明:(1)由对折(轴对称)性质,可得AFE=B=90,H=BCD=90,AFH=AFE=H,AFHG;(2)四边形AECH是菱形.理由如下:如图(2),连接CH.ADBC,AEB=DAE.AEB=AEH,DAE=AEH,AH=EH.EC=EH,AH=EC,AHEC,四边形AECH是平行四边形.又ACEH,四边形AECH是菱形.第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-30-C组5.练习:阅读下列材料:问题:如图(1),已知正方形ABCD中,E、F是BC、CD边上的点,且EAF=45.判
22、断线段BE、EF、FD之间数量关系,并说明理由.小明同学想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散已知条件集一起,于是他将DA绕点A顺时针旋转90,得到BAH,然后通过证明三角形全等可得出结论.请你参考小明同学思路,解决下列问题:第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-31-(1)图(1)线段BE、EF、FD之间数量关系是;(2)如图(2),已知正方形ABCD边长为5,E、F是BC、CD边上的点,且EAF=45,AGEF于点G,则AG长为,EFC的周长为;(3)如图(3),已知AEF中,EAF=45,AGEF于点G,且
23、EG=2,GF=3,求AEF的面积.解:(1)EF=BE+DF.理由如下:将DAF绕点A顺时针旋转90,得到BAH,ADF ABH,DAF=BAH,AF=AH,FAH=90,EAF=EAH=45,FAE HAE(SAS),EF=HE=BE+HB,EF=BE+DF;第四部分第四部分题型四题型四转换思想转换思想变换总结变换总结基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-32-(2)FAE HAE,AG、AB分别是FAE与HAE的高,AG=AB=5,在AEG与ABE中,AGE=ABE=90,EG=BE,同理GF=DF,EFC的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=10;(3)将AEF置于图(2)中,EG=2,GF=3,BE=2,DF=3,EF=5,设AB=x,则CE=x-2,CF=x-3,在CEF中,C=90,FC2+EC2=EF2,故(x-3)2+(x-2)2=52,解得x1=-1(舍去),x2=6,
