1、题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问重叠部分面积问题题第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-2-一位同学拿了两块45三角尺MNK,ACB做了一个探究活动:将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.(1)如图1,两三角尺的重叠部分为ACM,则重叠部分的面积为.(2)将图1中的MNK绕顶点M逆时针旋转45,得到图(2),此时重叠部分的面积为.(3)如果将MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形,如图3,请求出此时重叠部分的面积.第三部分第三部
2、分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-3-第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-4-(3)猜想:重叠部分的面积为 a2.理由如下:过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G,设MN与AC的交点为E,MK与BC的交点为F,M是ABC斜边AB的中点,AC=BC=aMH=MG=a又HME=GMFRtMHE RtMGF阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积第三部分第三部分题型七题型七转换、分类
3、讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-5-【例1】将两块直角三角板如图1放置,等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A,AB=AC=3,直角板EDF的直角顶点D在BC上,且CD BD=1 2,F=30.三角板ABC固定不动,将三角板EDF绕点D逆时针旋转,旋转角为(090).(1)当=时,EFBC;(2)当=45时,三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置,设DF与AC交于点M,DE交AB于点N,求四边形ANDM的面积;(3)如图3,设CM=x,四边形ANDM的面积为y,求y关于x的表达式(不用写x的取值范围).第三部分第三部分
4、题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-6-答案:(1)30(2)当=45,即MDC=45C=45DMC=90同理DNA=90又A=90四边形ANDM为矩形.AB=3,DM=1,同理得DN=2S矩形ANDM=12=2 第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-7-(3)过D作DH1AC于点H1,作DH2AB于点H2,由(2)知四边形AH1DH2为矩形,DH1=1,DH2=2,C=B=45,CH1=DH1
5、=1,DH2=BH2=2,y=SABC-SCDM-SBDNNDH2=90-H2DM,MDH1=90-DH1M第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-8-【练习1】如图,抛物线y=-(x-1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(-1,0).(1)求点B,C的坐标;(2)判断CDB的形状并说明理由;(3)将COB沿x轴向右平移t个单位长度(0t3)得QPE.QPE与CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并
6、写出自变量t的取值范围.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-9-解:(1)点A(-1,0)在抛物线y=-(x-1)2+c上,0=-(-1-1)2+c,得c=4,抛物线解析式为y=-(x-1)2+4,令x=0,得y=3,C(0,3);令y=0,得x=-1或x=3,B(3,0).(2)CDB为直角三角形.理由如下:由抛物线解析式,得顶点D的坐标为(1,4).如图1所示,过点D作DMx轴于点M,则OM=1,DM=4,BM=OB-OM=2.过点C作CNDM于点N,则CN=1,DN=DM-MN=
7、DM-OC=1.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-10-解得k=-1,b=3,y=-x+3,直线QE是直线BC向右平移t个单位得到,直线QE的解析式为:y=-(x-t)+3=-x+3+t;在COB向右平移的过程中:第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-11-第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随
8、堂经典练习重点题型讲解-12-CQ=t,KQ=t,PK=PB=3-t.直线BD解析式为y=-2x+6,令x=t,得y=6-2t,J(t,6-2t).第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-13-【例2】有一副直角三角板,在三角板ABC中,BAC=90,AB=AC=6,在三角板DEF中,FDE=90,DF=4,DE=4 .将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.
9、(1)如图2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则EMC=度;(2)如图3,在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-14-解:(1)15;(2)在RtCFA中,AC=6,ACF=E=30,(3)如图4,设过点M作MNAB于点N,则MNDE,NMB=B=45,NB=NM,NF=NB-FB=MN-
10、x.MNDE,第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-15-当0 x2时,如图(4),设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-16-第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-17-【练习2】把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,
11、使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中ABC=DEF=90,C=F=45,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-18-(1)如图,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证APDCDQ.此时,APCQ=8.(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为.其中090,问APCQ的值是否改变?说明你的理由.(3)在(
12、2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.解:(1)A=C=45,APD=QDC=90,APDCDQ.AP CD=AD CQ.即APCQ=ADCD,AB=BC=4,斜边中点为O,AP=PD=2,APCQ=24=8;故答案为8.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-19-(2)APCQ的值不会改变.理由如下:在APD与CDQ中,A=C=45,APD=180-45-(45+)=90-,CDQ=90-,第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思
13、想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-20-(3)情形1:当045时,2CQ4,即2x4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DGAP于G,DNBC于N,DG=DN=2.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-21-A组1.有一根直尺的短边长2 cm,长边长10 cm,还有一块锐角为45的直角三角形纸板,它的斜边长12 cm.如图1,将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图2),设
14、平移的长度为x cm(0 x10),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm2.(1)当x=0时(如图1),S=2;(2)当0 x4时(如图2),求S关于x的函数关系式;(3)当0 x10时,求S关于x的函数关系式,并求出S的最大值(可在图3、图4中画草图).第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-22-解:(2)在RtADG中,A=45,DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,(3)当4x6时(如图1),GD=AD=x,EF=EB=12-(x+2)=10-x,则S S=
15、-x2+10 x-14=-(x-5)2+11,当x=5,(4x6)时,S最大值=11.当6x10时(如图2),BD=DG=12-x,BE=EF=10-x,S=(12-x+10-x)2=22-2x.S随x的增大而减小,所以S10.由可得,当4x10时,S最大值=11.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-23-2.把两个直角边长均为4的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起且使三角形EFG的直角顶点G与三角形ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕点O顺时针旋转,旋转角为(090),四边
16、形CHGK是旋转过程中两个三角板的重叠部分.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-24-(1)在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?四边形CHGK的面积有何变化?请说明理由;(2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH=x,GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并求出函数y的最大(或最小)值;(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使GKH的面积恰好等于ABC面积的?若存在,求出此时x的值;若不存在,说明理由.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重
17、叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-25-解:(1)在上述旋转过程中,BH=CK,四边形CHGK的面积不变.证明:连接CG,ABC为等腰直角三角形,O(G)为其外边中点,CG=BG,CGAB,ACG=B=45,BGH与CGK均为旋转角,BGH=CGK,BGH CGK,BH=CK,SBGH=SCGK,即S四边形CHGK的面积为4,是一个定值,在旋转过程中没有变化;第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-26-(2)AC=BC=4,BK=x,CH=4
18、-x,CK=x.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-27-B组3.如图1,在边长为3的等边ABC上再叠加一个RtDEF,在RtDEF中,DEF=90,F=30,等边ABC的边BC与EF重合,顶点E与B重合,定点A在DF上.若等边ABC沿着EF方向以每秒2个单位的速度运动,直到C与F重合为止.设运动时间x秒,(1)求线段EF的长;(2)请你用含有x的代数式表示线段AM的长;(3)假设RtDEF和等边ABC重合部分的面积为y,请你写出y与x之间的函数关系式;(4)重合部分的面积与RtDEF
19、的面积的比有可能是724吗?如果有可能,请求出此时x的值;如果没有可能,请说明理由.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-28-解:(1)如图1,ABC是等边三角形,ACB=60,ACB是ACF的外角,F=30,CAF=ACB-F=60-30=30,AC=CF=3,EF=BC+CF=3+3=6;(2)如图2,速度为1 m/s,时间为x秒,BE=x,BF=6-x,ABC是等边三角形,A=60,F=30,ANM=90,第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面
20、积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-29-当x=2时,存在重合部分的面积与RtDEF的面积的比是724.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-30-4.如图,矩形EFGH的边EF=6 cm,EH=3 cm,在 ABCD中,BC=10 cm,AB=5 cm,sinABC=,点E、F、B、C在同一直线上,且FB=1 cm,矩形从F点开始以1 cm/s的速度沿直线FC向右运动,当边GF所在直线到达D点时即停止.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转
21、换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-31-(1)在矩形运动过程中,何时矩形的一边恰好通过 ABCD的边AB或CD的中点?(2)若矩形运动的同时,点Q从点C出发沿C-D-A-B的路线,以 cm/s的速度运动,矩形停止时点Q也即停止运动,则点Q在矩形一边上运动的时间为多少s?(3)在矩形运动过程中,当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时,求出重叠部分面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系式,并写出时间t的范围.是否存在某一时刻,使得重叠部分的面积S=16.5 cm2?若存在,求出时间t,若不存在,说明理由.第三部分第三部分题型七
22、题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-32-BF=2+6=8,t2=8+1=9(s).当GF边通过CD边的中点K时,有CF=2,t3=1+10+2=13(s).综上,当t等于3 s或9 s或13 s时,矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-33-第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重
23、点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-34-(3)设当矩形运动到t(s)(7t11)时与平行四边形的重叠部分为五边形,则BE=t-7,AH=4-(t-7)=11-t,在矩形EFGH中,有AHBF,第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-35-C组5.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=12,BC=6,ADBD.以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作RtAED,EAD=30,AED=90.(1)求AED的周长;(2)若AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动,得到A0E0D0,
24、当A0D0与BC重合时停止移动,设运动时间为t秒,A0E0D0与BDC重叠的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)如图,在(2)中,当AED停止移动后得到BEC,将BEC绕点C按顺时针方向旋转(0180),在旋转过程中,B的对应点为B1,E的对应点为E1,设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q.是否存在这样的,使BPQ为等腰三角形?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-36-解:(1)四边形ABCD是
25、平行四边形,AD=BC=6.在RtADE中,AD=6,EAD=30,(2)在AED向右平移的过程中:()当0t1.5时,如图1所示,此时重叠部分为D0NK.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-37-()当1.5t4.5时,如图2所示,此时重叠部分为四边形D0E0KN.第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-38-()当4.5t6时,如图3所示,此时重叠部分为五边形D0IJKN.AA
26、0=2t,A0B=AB-AA0=12-2t=D0C,第三部分第三部分题型七题型七转换、分类讨论思想转换、分类讨论思想重叠部分面积问题重叠部分面积问题基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-39-(3)存在,使BPQ为等腰三角形.理由如下:经探究,得BPQB1QC,故当BPQ为等腰三角形时,B1QC也为等腰三角形.()当QB=QP时(如图4),则QB1=QC,B1CQ=B1=30,即BCB1=30,=30;()当BQ=BP时,则B1Q=B1C,若点Q在线段B1E1的延长线上时(如图5),B1=30,B1CQ=B1QC=75,即BCB1=75,=75;若点Q在线段E1B1的延长线上时(如图6),B1=30,B1CQ=B1QC=15,即BCB1=180-B1CQ=180-15=165,=165.综上所述,存在=30,75或165,使BPQ为等腰三角形.
