1、类型一二次函数与线段长有关的最值问题图Z8-1例1 如图Z8-1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,点P是第四象限抛物线上的动点.(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式;(2)如图,过点P作PQx轴于点Q,求PQ+QO取最大值时点P的坐标;(3)如图,过点P作PHBC于点H,求线段PH的最大值.图Z8-1例1 如图Z8-1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,点P是第四象限抛物线上的动点.(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式;图Z8-1(2)如图,过点P作PQx轴于点Q,
2、求PQ+QO取最大值时点P的坐标;图Z8-1(3)如图,过点P作PHBC于点H,求线段PH的最大值.【方法点析】求一条线段的最值,可以将动点横坐标或纵坐标设为变量m,用字母m表示线段的长度L,将L看成是m的函数,求函数最值即可,注意m的取值范围,用m表示线段长时注意正负符号.如果不能直接表示,往往需要构建辅助线,借助特殊锐角的三角函数或者相似三角形,对线段进行转换,再求最值.【配练】2019常德节选如图Z8-2,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点,且B点的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的解析式.(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N
3、在点M的左侧,过M,N作x轴的垂线分别交x轴于G,H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值图Z8-2解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,把B(-1,0)代入解析式得:4a+4=0,解得a=-1,y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.【配练】2019常德节选如图Z8-2,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点,且B点的坐标为(-1,0).(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N在点M的左侧,过M,N作x轴的垂线分别交x轴于G,H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值图Z8-2解:(2)易得C(3,0
4、).设点M的坐标为(x,-x2+2x+3)(1x3),根据四边形MNHG为矩形得M,N关于直线x=1对称,点N(2-x,-x2+2x+3),则MN=x-2+x=2x-2,GM=-x2+2x+3,矩形MNHG的周长=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8x+2=-2(x-2)2+10,-20),得c=0,4a+2b=0,b=-2a.图Z8-29图Z8-29综合提升训练图Z8-301.2019赤峰如图Z8-30,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式.(2)在x轴上找
5、一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APB=OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.图Z8-301.2019赤峰如图Z8-30,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式.图Z8-301.2019赤峰如图Z8-30,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值.图Z8-30(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APB=OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.图Z8-31图Z8-31图Z8-31图Z8-32图Z8-32图Z8-32图Z8-32图Z8-33图Z8-33图Z8-33图Z8-33
