1、 上海市杨浦区上海市杨浦区 2023 届高三二模数学试卷届高三二模数学试卷 2023.04 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分）1.集合2230Ax xx=，24,Bxxx=R，则AB=_ 2.复数34i34i+的虚部是_ 3.已知等差数列 na中，37a=，73a=，则通项公式为na=_ 4.设()55435431021xa xa xa xa xa+=+，则3a=_ 5.函数()ln 23yx=的导数是y=_ 6.若圆锥的侧面积为15，高为 4，则圆锥的体积为_ 7.由函数的观点，不等式3lg
2、3xx+的解集是_ 8.某中学举办思维竞赛，现随机抽取 50 名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图）估计：学生的平均成绩为_分 9.ABC内角A、B、C的对边是a、b、c，若3a=，6b=，3A=，则B=_ 10.1F、2F分别是双曲线22221xyab=的左右焦点，过1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为_ 11.若存在实数，使函数()()()1cos02f xx=+在,3x上有且仅有 2 个零点，则的取值范围为_ 12.已知非零平面向量a、b、c满足5a=，2 bc=，且()()0baca=，则b的最小值是_ 二二.选择题（本大
3、题共选择题（本大题共 4 题，第题，第 13、14 题各题各 4 分，第分，第 15、16 题各题各 5 分，共分，共 18 分）分）13.已知a、bR，则“ab”是“33ab”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 14.对成对数据()11,x y、()22,xy、(),nnxy用最小二乘法求回归方程是为了使（）A.()10niiyy=B.()10niiiyy=C.()1niiiyy=最小 D.()21niiiyy=最小 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0上严格递减的是（）A.2xy=B.()lnyx=C.23yx=D.2yx=16.如图，一个
4、由四根细铁杆PA、PB、PC、PD组成的支架（PA、PB、PC、PD按照逆时针排布），若3APBBPCCPDDPA=，一个半径为 1 的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O到点P的距离是（）A.3 B.2 C.2 D.32 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+18+18=78 分）分）17.（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分 已知一个随机变量X的分布为：6789100.10.20.3ab.（1）已知()435E X=，求a、b的值；（2）记事件A
5、：X为偶数；事件B：8X.已知()12P A=，求()P B，()P AB，并判断A、B是否相互独立？18.（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分 四边形ABCD是边长为 1 的正方形，AC与BD交于O点，PA 平面ABCD，且二面角PBCA的大小为 45.（1）求点A到平面PBD的距离；（2）求直线AC与平面PCD所成的角.19.（本题满分（本题满分 16 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 6 分分 如
6、图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界.已知OAOB，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线AB的轨迹方程为：()24 02yxx=+.计划修一条与湖边AB相切于点P的直路l（宽度不计），直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区OCD.（1）若P点坐标为()1,3，计算直路CD的长度；（精确到 0.1 千米）（2）若P为曲线AB（不含端点）上的任意一点，求景区OCD面积的最小值.（精确到0.1 平方千米）20.（本题满分（本题满分 16 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题 4 分，
7、第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 6 分分 已知椭圆()2222:1043xyCaaa+=的右焦点为F，直线:40l xy+=.（1）若F到直线l的距离为2 2，求a；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，且ABO的面积为487，求a；（3）若椭圆C上存在点P，过P作直线l的垂线1l，垂足为H，满足直线1l和直线FH的夹角为4，求a的取值范围.21.（本题满分（本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分分 已知数列 na是由正实数组成的无穷数列，满足13a=，27a=，12nnnaaa+=，*nN.（1）写出数列 na前 4 项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数k，满足1ka=，并说明理由；（3）nc为数列 na的前n项中不同取值的个数，求100c的最小值.
