1、1第五部分第五部分 定态问题的常用近似方法定态问题的常用近似方法一、学习要点一、学习要点定态非简并微扰论定态非简并微扰论令令 ，且能级，且能级 非简并，则非简并，则2其中其中关键是求关键是求 ，并知道，并知道 的精确解的精确解2、定态简并微扰论、定态简并微扰论令令 ，的本征能量为的本征能量为 ，本征函，本征函数为数为 ，设，设 时时 是是 重重简并的：简并的：那么与那么与 对应的对应的0级近似波函数选哪一个？级近似波函数选哪一个？选哪一个也不合适！选哪一个也不合适！最好的方法是选取其线性组合，即最好的方法是选取其线性组合，即3实际上在考虑微扰后实际上在考虑微扰后 要分裂，每一个分裂的要分裂，每
2、一个分裂的能级都应对一个新的能级都应对一个新的0级波函数，并由上式给出。级波函数，并由上式给出。将上式代入一级近似方程可得系数将上式代入一级近似方程可得系数 满足方程满足方程由久期方程可得由久期方程可得 ，并分别代入，并分别代入上式可得一组系数上式可得一组系数 从而给出从而给出 所对应的所对应的0级近似波函数：级近似波函数：4相应的一级近似能量为相应的一级近似能量为如果如果 有重根，则某个能态仍是简并的，相应有重根，则某个能态仍是简并的，相应的的0级近似波函数仍不能确定。级近似波函数仍不能确定。因而求解一级近似能量和因而求解一级近似能量和0级近似波函数的关键级近似波函数的关键仍是求仍是求 在简
3、并态在简并态 中的矩阵元中的矩阵元如果此时如果此时 中所有非对角元素均为中所有非对角元素均为0，即，即则则 就是就是0级近似波函数，此时每一个分级近似波函数，此时每一个分裂能级对应一个裂能级对应一个 。为什么？为什么？5因为我们已经证明：在利用上述程序给出的新的因为我们已经证明：在利用上述程序给出的新的0级波函数中级波函数中 是对角化的，故可以选是对角化的，故可以选 为为0近近似波函数。似波函数。注意：求解简并微扰问题的基本思想是：注意：求解简并微扰问题的基本思想是：一般一般 态中态中 是非对角化的。我们令是非对角化的。我们令 使使 在新的在新的 中是对角化的，这等于将中是对角化的，这等于将
4、作作个幺正变换，使之变成个幺正变换，使之变成 。在这个新的基矢下，在这个新的基矢下，（从而（从而 ）是对角化的。而）是对角化的。而幺正变换矩阵就由展开系数幺正变换矩阵就由展开系数 给出。给出。关键是求这个幺正变换矩阵。关键是求这个幺正变换矩阵。这个幺正矩阵可以将一组不能使这个幺正矩阵可以将一组不能使H对角化的基矢变对角化的基矢变成可以成可以让让其对角化的基矢。其对角化的基矢。6a.a.根据体系根据体系Hamilton量形式和对称性量形式和对称性b.b.满足问题的边界条件满足问题的边界条件3 3、变分法、变分法1)1)确定试探波函数确定试探波函数原则：原则：c.c.应包含一个或多个变分参数应包含
5、一个或多个变分参数2)2)求求Hamilton在试探波函数中的平均值在试探波函数中的平均值3)3)求此平均值对变分参数求此平均值对变分参数的极值的极值4)4)求出求出并由此得到基态能量和波函数并由此得到基态能量和波函数7二、例题二、例题5.2 已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为其中试用微扰方法求二级其中试用微扰方法求二级近似能量和一级近似态矢近似能量和一级近似态矢提示：需要思考两个问题提示：需要思考两个问题解：解：按照微扰论的思想，可将哈密顿写为按照微扰论的思想，可将哈密顿写为1.1.是否是否H0表象？表象？2.2.是否简并？是否简并？如不是如不是
6、H0表象表象,如何给出如何给出 的矩阵元？的矩阵元？8其中其中显然不是显然不是H0表象。表象。但由但由H0的矩阵表示可以求出零级近似能量和相应的矩阵表示可以求出零级近似能量和相应态矢。态矢。二级近似能量和一级近似态矢为二级近似能量和一级近似态矢为显然这是显然这是属属于非简并微扰论的内容。于非简并微扰论的内容。9其中其中将上述矩阵元代入近似能量和态矢表达式，有将上述矩阵元代入近似能量和态矢表达式，有10类似计算得到类似计算得到115.3 在表象中的矩阵为在表象中的矩阵为其中为实数，且比小得其中为实数，且比小得多，试用微扰论求能量到二级近似多，试用微扰论求能量到二级近似分析：这显然是非简并微扰论处
7、理的问题。分析：这显然是非简并微扰论处理的问题。矩阵元都知道，矩阵元都知道，直接直接利用公式就可以。利用公式就可以。目目的：的：熟悉熟悉利用公式利用公式解：解：12代入公式代入公式则则13如果类氢原子核是半径为的均匀带电球面，如果类氢原子核是半径为的均匀带电球面，结果又如何？结果又如何？5.4 考虑到类氢原子核不是点电荷，而是半径为考虑到类氢原子核不是点电荷，而是半径为 的均匀带电的球体，用微扰方法计算这种效的均匀带电的球体，用微扰方法计算这种效 应对类氢原子基态能量的一级修正已知电子应对类氢原子基态能量的一级修正已知电子 在球形核电场中的势能为在球形核电场中的势能为提示提示：关键是写出微扰项
8、来关键是写出微扰项来（1）基态波函数）基态波函数为非简并为非简并（2）点电荷）点电荷Coulumb势势（3）均匀带电球面的势能）均匀带电球面的势能14解解：基态能量是非简并的，采用非简并微扰论基态能量是非简并的，采用非简并微扰论先写出微扰算符来，它完全是由势修正带来的。先写出微扰算符来，它完全是由势修正带来的。故能量的一级修正为故能量的一级修正为因因有有此时此时15当当把把原子核原子核看看作半径为作半径为R的均匀带电球面时，由的均匀带电球面时，由电磁学知电磁学知识识可知可知由此带来的微扰项为由此带来的微扰项为算出的能级修正为算出的能级修正为165.5 一维无限深势阱一维无限深势阱 中的粒子受到
9、微扰中的粒子受到微扰的作用，其中的作用，其中 为常数，求基态能量的二级近似为常数，求基态能量的二级近似和波函数的一级近似。和波函数的一级近似。解：解：根据公式根据公式分析：分析：题意非常明确，由所给条件套公式即可。题意非常明确，由所给条件套公式即可。17且且对对1D无限深势阱，基态无限深势阱，基态n=1，则，则18由此可以得出由此可以得出195.7 试求哈密顿量为试求哈密顿量为的体系的一级近似能量，式中的体系的一级近似能量，式中a 与与 b是小的常数是小的常数解解：显然，根据题意，有显然，根据题意，有分析：分析：题意非常明确，是一维谐振子体系的非简题意非常明确，是一维谐振子体系的非简并微扰论问
10、题并微扰论问题根据公式根据公式20利用利用递推递推公式公式21并利用正交归一关系并利用正交归一关系可以算出可以算出故一级近似能量为故一级近似能量为225.9 一质量为的粒子在一维势场中运动，势函数为一质量为的粒子在一维势场中运动，势函数为将部分视为在宽度为将部分视为在宽度为 的无限深方势阱的无限深方势阱中的微扰，用微扰方法求基态一级近似能量中的微扰，用微扰方法求基态一级近似能量这是个非简并微扰问题。这是个非简并微扰问题。关键是记住宽度为关键是记住宽度为a的对称势阱的波函数及本征能量！的对称势阱的波函数及本征能量！V0V(x)0 a 3a x23解：解：不考虑微扰时，基态能量与波函数为不考虑微扰
11、时，基态能量与波函数为而微扰算符为而微扰算符为能量的一级修正为能量的一级修正为故一级近似能量为故一级近似能量为24其中是小球的半径，是球心的位置试利其中是小球的半径，是球心的位置试利用这一结果计算氢原子用这一结果计算氢原子1s态能级由于电子不是态能级由于电子不是点电荷而带来的修正已知点电荷而带来的修正已知a为为Bohr半径半径5.12 可以证明若点电荷在静电场中的势能为可以证明若点电荷在静电场中的势能为则均匀带电小球在静电场中的势能为则均匀带电小球在静电场中的势能为关键是利用泊松方程将微扰项写为关键是利用泊松方程将微扰项写为25利用泊松方程将微扰项写为利用泊松方程将微扰项写为解：解：则基态能量
12、的一级修正为则基态能量的一级修正为265.13 有一个质量为的粒子在一维谐振子势场有一个质量为的粒子在一维谐振子势场中运动在动能的非相中运动在动能的非相对论近似下，定态能量为，定对论近似下，定态能量为，定态波函数为态波函数为其中为归一化常数考虑其中为归一化常数考虑T与与p的相对论修正，计算能级的移动至的相对论修正，计算能级的移动至阶阶提示：提示：27注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为而总能量是静能与动能之和，所以而总能量是静能与动能之和，所以解：解：由前面分析可知由前面分析可知这是非简并微扰问题。能量的一级修正为这是非简并微扰问题。能量的一级修
13、正为考虑利用题考虑利用题目目所给出的条件所给出的条件递推递推公式公式28则则其精度符合题其精度符合题目目要求。要求。295.14 电子在类氢离子势场电子在类氢离子势场 中的定态中的定态 能量为能量为 ，定态波函数为，定态波函数为 。这是在动能这是在动能 的非相对论近似下得到的非相对论近似下得到 的结果。现在考虑的结果。现在考虑 的相对论修正至的相对论修正至 阶，阶，即修正项为即修正项为 计算能级计算能级 的移动至的移动至 阶。阶。提示：提示：分析：分析：这显然是简并的微扰论问题。其中这显然是简并的微扰论问题。其中30解：解：利用公式利用公式则则可知，可知，的所有非对角元均为的所有非对角元均为0
14、。利用利用 的本征值的本征值 是是 简并的简并的,相应的本征函数为相应的本征函数为 为求矩阵元方便为求矩阵元方便寻找同寻找同H0的关系的关系31也就是说，也就是说，我我们可以选们可以选 作为作为0级近似波函数级近似波函数使使 从而从而 对角化。对角化。（已经（已经介绍介绍：新新选的选的0级波函数是使级波函数是使 对角化的）。对角化的）。即即每每一个分裂能级对应一个一个分裂能级对应一个 ，可用非简并，可用非简并态微扰方法来处理态微扰方法来处理简并微扰问题简并微扰问题。此时。此时32代入上式代入上式将将及及得得以上用到以上用到Bohr半径半径335.15 一原子在一原子在 向磁场向磁场 中除了能级
15、的中除了能级的Zeeman分分裂外裂外,还受到还受到 的微扰的微扰其中其中 为为Bohr磁子磁子,为为Bohr半径半径,为电子电荷为电子电荷（）已知氢原子基态波函数，（）已知氢原子基态波函数，求一级微扰能求一级微扰能（）估计这项修正的能级（设（）估计这项修正的能级（设 高斯），高斯），同同ZeemanZeeman分裂分裂(量级量级)比较比较;（）分析这个修正的物理意义（）分析这个修正的物理意义。34分析：氢原子的基态能级是非简并的，应该使用分析：氢原子的基态能级是非简并的，应该使用 非简并微扰论非简并微扰论解解：（：（1）一级微扰能即能量的一级修正一级微扰能即能量的一级修正（2）Zeeman效
16、应中给出了分裂强度效应中给出了分裂强度故其比值为故其比值为35其中精其中精细细结结构构常数为常数为电子的静能为电子的静能为玻尔玻尔磁子是个已知量磁子是个已知量且且 B=104高斯高斯可以得到可以得到 =2.1210-6。（3）是是原子的磁四极矩同磁场的作用能！原子的磁四极矩同磁场的作用能！36（）给出此体系的（）给出此体系的Hamiltonian量及其本征函数量及其本征函数 与本征值与本征值。5.17 5.17 一根质量均匀分一根质量均匀分布长布长度为的度为的杆杆，以它的中，以它的中 心为心为固固定点，定点，被约被约束在一平束在一平面面上转动。此上转动。此杆杆具有具有 质量质量 和和固固定于两
17、定于两端端的电荷的电荷 与与 。（2）如有一个处于该转动平）如有一个处于该转动平面面的的恒恒定定弱弱电场作用电场作用 于这个体系，用微扰方法求基态于这个体系，用微扰方法求基态新新的本征函的本征函 数（一级近似）与本征能量（二级近似）数（一级近似）与本征能量（二级近似）（3）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。提示提示:1.这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写 出相应的哈密顿；出相应的哈密顿；2.外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会 分别处理。分别处理。3
18、7解：解：（1）设）设杆杆沿沿z轴转动，轴转动，xy为转动平为转动平面面。无外场。无外场的哈密顿可以比的哈密顿可以比照照平动方式写出平动方式写出其本征值与本征函数分别为其本征值与本征函数分别为（2）可以考虑所加）可以考虑所加弱弱电场的方向沿电场的方向沿x方向，方向，即即当所加外电场较当所加外电场较弱弱时，转子时，转子可以在可以在xy平平面面内转动，但受内转动，但受到外场的微扰，转动不是很到外场的微扰，转动不是很均匀。均匀。-Q+Qd/2z38基态零级近似能量基态零级近似能量 是非简并的，零级近似是非简并的，零级近似波函数为波函数为 ，由此求出微扰矩阵元，由此求出微扰矩阵元将相应的波函数代入，有
19、将相应的波函数代入，有利用能量的二级近似和波函数的一级近似公式利用能量的二级近似和波函数的一级近似公式取无限处为取无限处为0势点，则其微扰项是势点，则其微扰项是39由此得到基态的二级近似能量和一级近似波函数由此得到基态的二级近似能量和一级近似波函数以及以及得到得到40-Q+Qd/2z（3）当所加外电场较强时，）当所加外电场较强时，转子无法再沿转子无法再沿z轴转动，只能轴转动，只能相对相对x轴作微小角度轴作微小角度 的振动的振动此式全哈密顿为此式全哈密顿为对于微小振动，可以将对于微小振动，可以将 展开为展开为代入上式得代入上式得令令上式变为上式变为下面的解就应该很容易了。下面的解就应该很容易了。
20、415.19 一空间转子作受碍转动，一空间转子作受碍转动，其中其中 为正实数，且为正实数，且 。试计算。试计算 能级能级 的分裂及的分裂及0级近似波函数。级近似波函数。分析：分析：由条件由条件 知，第二项为微扰项，关键知，第二项为微扰项，关键是寻找可解的是寻找可解的 ，然后分析是否简并。然后分析是否简并。解：因为对自由转子来说，解：因为对自由转子来说，的本征函数是球谐的本征函数是球谐 函数，故可选函数，故可选相应的本征函数是相应的本征函数是其中其中42对于对于p 能级：能级：能级是三重简并的，其简并波函数可以写为能级是三重简并的，其简并波函数可以写为43选取选取0级近似波函数为级近似波函数为关
21、键是求系数关键是求系数它们满足方程它们满足方程其中其中44将各简并波函数将各简并波函数 代入上式得代入上式得其它为其它为0，则，则 ci 满足的方程变为满足的方程变为由久期方程由久期方程45解之得解之得将将代入久期方程，并利用归一化条件代入久期方程，并利用归一化条件求出同求出同相应的系数为相应的系数为46于是一级近似能量与于是一级近似能量与0级近似波函数为级近似波函数为475.20 设在表象设在表象 中，中，与与 的矩阵元为的矩阵元为4849505.21 质量为质量为 的粒子在的粒子在 平面上运动，其哈密顿为平面上运动，其哈密顿为 其中其中 是小的实数，是小的实数，可视为微扰。试计算可视为微扰
22、。试计算 能量为能量为 的能级分裂。的能级分裂。提示：由零级近似能量表达式提示：由零级近似能量表达式来确定来确定能级是几重简并的。能级是几重简并的。然后利用简并微扰进行相应处理。然后利用简并微扰进行相应处理。51解：解：对于二维谐振子对于二维谐振子未未微扰哈密顿算符的本征值和本征函数为微扰哈密顿算符的本征值和本征函数为由上述能级表达式可以由上述能级表达式可以看看出出是二重简并的，对应于是二重简并的，对应于故对应于两个波函数故对应于两个波函数52按照简并微扰的思想，令新的零级近似波函数为按照简并微扰的思想，令新的零级近似波函数为关键是求组合系数关键是求组合系数它们二它们二者者满足方程满足方程其中
23、的微扰矩阵元是其中的微扰矩阵元是53所满足的方程，得所满足的方程，得将上述矩阵元代入将上述矩阵元代入由久期方程由久期方程54解得解得故能级故能级 分裂为分裂为本题给出求解简并微扰问题比较本题给出求解简并微扰问题比较典型典型的步的步骤骤。555.26（1）设氢原子处于沿）设氢原子处于沿 方向的均匀静磁场方向的均匀静磁场 中，不考虑自旋，在弱磁场中，不考虑自旋，在弱磁场 下，求下，求 能级的分裂情况。能级的分裂情况。（2）如果沿）如果沿 方向不仅有静磁场方向不仅有静磁场 ，还有均匀静电场还有均匀静电场 ，再用微，再用微 扰方法求扰方法求 能级的分裂情况能级的分裂情况(一一 级近似级近似)。（提示：
24、（提示：。）。）对于氢原子，一般来说加入磁场可以精确求解，对于氢原子，一般来说加入磁场可以精确求解，而加入弱磁场时也可以而加入弱磁场时也可以看看作微扰。显然是简并作微扰。显然是简并微扰。注意分析一下微扰项与简并态的关系。微扰。注意分析一下微扰项与简并态的关系。加入电场则出现近似情况加入电场则出现近似情况56解：解：（1）写出加入磁场时的哈密顿）写出加入磁场时的哈密顿法法1 考虑到考虑到B是弱场，用微扰论处理是弱场，用微扰论处理未未微扰哈密顿的能量本征值为微扰哈密顿的能量本征值为n2重简并态重简并态为为57试分析一下在此简并态下微扰矩阵元的试分析一下在此简并态下微扰矩阵元的特特点。点。可以发现，
25、可以发现，在此简并态下，微扰算符是对角化的。在此简并态下，微扰算符是对角化的。故可以用非简并微扰处理简并问题。从而给出能故可以用非简并微扰处理简并问题。从而给出能级的一级修正级的一级修正故精确到一级近似下的能量为故精确到一级近似下的能量为58法法2 直接直接进行精确求解进行精确求解由于显然由于显然二二者者具有具有共共同的本征函数同的本征函数在此在此共共同本征态下，哈密顿算符的本征值为同本征态下，哈密顿算符的本征值为59两种方法两种方法都能得到都能得到对于对于 能级，能级，当当 时，时，当当 时，时，对于对于 能级，在加上外磁场后分裂成了三条能级，在加上外磁场后分裂成了三条而对于而对于 ，能级实
26、际上并，能级实际上并没没有分裂，故有分裂，故（非简并）（非简并）波函数波函数（非简并）（非简并）波函数波函数（2度简并）度简并）波函数波函数60（2）在磁场基）在磁场基础础上再加上电场，其哈密顿为上再加上电场，其哈密顿为由于前三项之和可以精确求解，故可令由于前三项之和可以精确求解，故可令这其中这其中既既有非简并微扰，又有简并微扰。有非简并微扰，又有简并微扰。对于非简并的能级对于非简并的能级 ，其一级修正为，其一级修正为能级能级没没有进一步分裂。有进一步分裂。61对于二重简并能级对于二重简并能级 ，需要求零级近似波函数，需要求零级近似波函数在此在此过过程中也就求得了能量的一级近似修正。程中也就求
27、得了能量的一级近似修正。令新的零级近似波函数为令新的零级近似波函数为这两个简并态分别为这两个简并态分别为关键是求组合系数关键是求组合系数它们满足方程它们满足方程其中微扰矩阵元其中微扰矩阵元62将其代入组合系数满足的方程，有将其代入组合系数满足的方程，有解之得解之得63显然，加入电场后，除了加外磁场分裂的三个能级显然，加入电场后，除了加外磁场分裂的三个能级外，那个两重简并能级也分裂成两个，现在总外，那个两重简并能级也分裂成两个，现在总共共分分裂成了四个能级，它们分别是裂成了四个能级，它们分别是补充例题：补充例题：645.28 用变分法计算一维谐振子用变分法计算一维谐振子 其中其中 为待定参数，为
28、待定参数，N为归一常数为归一常数基态能量与波函数，试探波函数取基态能量与波函数，试探波函数取 提示：提示：变分法的基本思想变分法的基本思想 （1）定义试探波函数，并将其归一化）定义试探波函数，并将其归一化 （2）求体系哈密顿在此试探波函数中）求体系哈密顿在此试探波函数中 的平均值的平均值（3）将上式平均值对待定参数求极值，同时）将上式平均值对待定参数求极值，同时 求出参数值求出参数值（4）将得到的待定参数代入平均值的基态能）将得到的待定参数代入平均值的基态能 量，代入试探波函数的基态波函数。量，代入试探波函数的基态波函数。65（2）求能量在此试探波函数中的平均值）求能量在此试探波函数中的平均值
29、解：（解：（1）将试探波函数）将试探波函数 归一化归一化 得得 故试探波函数为故试探波函数为 利用积分公式利用积分公式 66上式上式 （3）将能量对试探参数求极值，即令）将能量对试探参数求极值，即令有有（4）将所得试探参数代入能量及试探波函数，）将所得试探参数代入能量及试探波函数，得基态近似能量及波函数得基态近似能量及波函数67（2）算出基态能量。）算出基态能量。5.29 质子为的质子为的 粒子在一维势场粒子在一维势场 中运动，式中中运动，式中 。（1）用变分法计算基态能量，在）用变分法计算基态能量，在 区的试区的试 探波函数应取下列波函数中的哪一个？为探波函数应取下列波函数中的哪一个？为 什
30、么？什么？V(z)z068 1.1.粒子在一维束缚势场粒子在一维束缚势场 中运动中运动,能级为能级为 如果受到微扰如果受到微扰 的作用，求能级的修正（二的作用，求能级的修正（二级近似）。级近似）。解：解：微扰前能量算符为微扰前能量算符为 的本征函数记为的本征函数记为 或或 ，利用对易关系，利用对易关系得得在在 表象中（以表象中（以 为基矢）微扰矩阵元为基矢）微扰矩阵元其中其中补充例题：补充例题：69一维束缚态是非简并的，故能量一级修正为一维束缚态是非简并的，故能量一级修正为能量二级修正能量二级修正利用求和规则利用求和规则可以得出可以得出70系统哈密顿量系统哈密顿量 本征态本征态 无耦合无耦合
31、基态基态 二重简并二重简并 2 2、将一基态氢原子置于将一基态氢原子置于 方向均匀磁场方向均匀磁场B B中。中。（1 1）计算其能级分裂；）计算其能级分裂；（2 2）若再加一）若再加一 方向交变磁场方向交变磁场 ，问能否使它，问能否使它 从其中一个能级跃迁到另一个能级？试以计算说明；从其中一个能级跃迁到另一个能级？试以计算说明；解解：（1 1）附加能）附加能微扰矩阵元微扰矩阵元要同时考虑要同时考虑轨轨道和自旋磁矩对能量的道和自旋磁矩对能量的贡献贡献分析分析：（：（1 1）求能级分裂实际上就是求能级修正，考虑自旋。）求能级分裂实际上就是求能级修正，考虑自旋。（2 2）判断判断能否发能否发生生跃迁，就跃迁，就看看跃迁矩阵元是否为跃迁矩阵元是否为0 071 能量一级修正能量一级修正可见不能引起跃迁可见不能引起跃迁微扰（跃迁）矩阵元微扰（跃迁）矩阵元（2 2）能级分裂一分为二能级分裂一分为二 简并消除简并消除
