1、高三数学试卷 第 1 页 共 4 页 上海市黄浦区 2019 学年度第二学期高三年级阶段性调研 数 学 试 卷 2020 年 5 月 （完卷时间：120 分钟 满分：150 分） 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一 律无效； 2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，题，满分满分 54 分分. 其中第其中第 16 题每题题每题满分满分 4 分，第分，第 712 题每题题每题满分满分 5
2、分分） 考生应在答题考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果纸相应编号的空格内直接填写结果. 1若集合1,2,3,4,5A， 2 |60Bx xx ，则AB . 2函数 2 2cos2yx的最小正周期为 3某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户. 4若直线 1: 350laxy与 2: 210lxy 互相垂直，则实数a的值为 . 5如果 2 2 sin 3 ，为第三象限角，则 3 sin() 2 . 6若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，则此圆锥的体积为 . 7已知双
3、曲线 22 22 1 xy ab -=(0,0)ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点 在直线l上，则双曲线的方程为 . 8已知函数( )(0,1) x f xab aa的定义域和值域都是 2,0，则( 1)f . 9当, x y满足 27 0 1 0 1 xy xy x ， ， 时，| 2|xya恒成立，则实数a的取值范围是 . 10某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志 愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 11已知Ra，函数 2 2 (0) ( ) 1(0) ax f xx xx
4、，若存在不相等的实数 123 ,x x x，使得 1 1 ( )f x x 2 2 ()f x x 3 3 () 2 f x x ，则a的取值范围是 高三数学试卷 第 2 页 共 4 页 y x O P A B C Q 12 点A是曲线 2 2yx(2)y 上的任意一点，(0, 2)P,(0,2)Q， 射线QA交曲线 2 1 8 yx于B点，BC垂直于直线3y ，垂足为 点C 则下列结论：（1）|APAQ为定值2 2；（2）|QB|BC 为定值5； （3）|PAABBC为定值52.其中正确结论的 序号是 二、选择题（本大题二、选择题（本大题共有共有 4 题，满分题，满分 20 分 ）每题有且只
5、有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 “函数( )()f x xR存在反函数”是“函数( )f x在R上为增函数”的 （ ）. A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14设 12 ,z z是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ）. A若 12 | 0zz , 则 12 zz B若 12 zz, 则 12 zz C若| 21 zz , 则 2112 zzzz D若 12 |zz,
6、 则 21 22 zz 15. 已知已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量 n a满足： n e an，21 n f an， n b是向量f与 n a夹 角的正切值，则数列 n b是 （ ）. A单调递增数列且 1 lim 2 n n b B单调递减数列且 1 lim 2 n n b C单调递增数列且lim2 n n b D单调递减数列且lim2 n n b 16如图，直线l 平面, 垂足为O，正四面体ABCD的棱长 为 2，, A D分别是直线l和平面上的动点，且BCl，则 下列判断：点O到棱BC中点E的距离的最大值为 21； 正四面体ABCD在平面上的射影面积的最大值 为3其中正确的说法
7、是 （ ）. A都正确 B都错误 C正确，错误 D错误，正确 高三数学试卷 第 3 页 共 4 页 图 图 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤必要的步骤 17（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，在三棱椎 P-ABC 中，PA平面 ABC，90 ,BACD、E、F 分别是 棱 AB、BC、CP 的中点，AB=AC=1，PA=2 （1）求异面直线PB与DF所成的角； （2）求
8、点 P 到平面 DEF 的距离 18（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy是 函 数 2 1 log 21 x y x 的 图 像 上 任 意 两 点 ， 点 00 (,)M xy满 足 OM 1 () 2 OAOB （1）若 0 1 2 x ，求证： 0 y为定值； （2）若 21 2xx，且 0 1y ，求 1 x的取值范围，并比较 1 y与 2 y的大小 19（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园
9、.如图所示，矩形ABCD的AB边与BC边的长分别 为 48 米与 40 米， 扇形的圆心O为AB中点， 扇形的圆弧端点,E F分别在AD与BC上， 圆弧的中点G 在CD上 （1）求扇形花园的面积（精确到 1 平方米） ； （2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 1 111 ABC D为花卉展览区如图所示，矩形 1 111 ABC D的 四条边与矩形ABCD的对应边平行，点 11 ,A B分别在,OE OF上，点 11 ,C D在扇形的弧上.某同学猜想： 当矩形 1111 ABC D面积最大时，两矩形 1 111 ABC D与ABCD的形状恰好相同（即长与宽之比相同） ，试求 花卉展览区 1 1
10、11 ABC D面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）. 高三数学试卷 第 4 页 共 4 页 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 已知点,A B分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点与上顶点， 坐标原点O到直线AB的距离 为 6 3 ，且点A是圆: 222 (2)(0)xyrr的圆心动直线: l ykx与椭圆交于,P Q两点 （1）求椭圆C的方程； （2）若点S在线段AB上，()ROSOP ，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值； （3）若直线l与圆分别交于,G
11、 H两点，点G在线段PQ上，且| |QGPH，求r的取值范围. 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 若数列 n a与函数( )f x满足： n a的任意两项均不相等， 且( )f x的定义域为R； 数列 n a 的前n的项的和() nn Sf a对任意的 * Nn都成立，则称 n a与( )f x具有“共生关系”. （1）若 * 2 ()N n n an,试写出一个与数列 n a具有“共生关系”的函数( )f x的解析式； （2）若( )f xaxb与数列 n a具有“共生关系” ，求实数对( , )a
12、 b所构成的集合,并写出 n a关于 , ,a b n的表达式； （3）若 2 ( )f xxcxh,求证： “存在每项都是正数的无穷等差数列 n a，使得 n a与( )f x具有 共生关系”的充要条件是“点( , )c h在射线 11 () 216 xy上”. 高三数学试卷 第 5 页 共 4 页 高三数学模拟考试参考答案与评分标准高三数学模拟考试参考答案与评分标准 一一、填空题：、填空题： （16 题每题题每题 4 分；分；712 题每题题每题 5 分）分） 1. 1,2； 2.； 3.56； 4.6； 5. 1 3 ； 6. 9 3； 7. 22 1 520 xy ； 8.33； 9.
13、 4 + )， ；10. 27 35 ； 11.(, 4) ； 12. . 二、二、选择题：选择题： （每题（每题 5 分）分） 13.B； 14. D； 15. A； 16.C. 三、解答题：三、解答题： （共（共 76 分）分） 17 （1）如图，分别以,AB AC AP为, ,x y z轴建立空间 直角坐标系，则(0,0,0), (1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)ABCP ,， 11 ( ,0,0),(0,1) 22 DF,故 1 1 ( 1,0,2),(,1), 2 2 BPDF 2 分 所以 5 30 2 cos, 63 5 2 BP DF ， 4 分 可得 30 ,arcc
14、os 6 BP DF， 故异面直线PB与DF所成的角为 30 arccos 6 . 6 分 （另法:先证明,DF EF的夹角就是所求异面直线所成的角并证明DEEF，然后在直角 DEF中，可求得所成角为 5 arctan 5 ）. （2）同（1）建立空间直角坐标系，则 11 1 (0,0),(,1), 22 2 DEDF 7 分 设( , ,1)nx y是平面 DEF 的一个法向量，则 0 0 n DE n DF ， ， 可得 1 0 2 11 10 22 y xy ， ， 解得 2 0 x y ， ， 所以(2,0,1)n ， 11 分 又 1 (0, 1) 2 PF ，P 到平面 DEF 的
15、距离 15 | 5|5 PF n d n 故所求距离为 5 5 . 14 分 18 （1）由 1 () 2 OMOAOB，可知 012 11 () 22 xxx，即 12 1xx ， 2 分 121 2 012222 1212 11 111 ()(loglog)(1 log) 22 21212(1)(1) + xxx x yyy xxxx ， 故 1 2 02 2 1 11 (1 log) 22 + x x y x x 为定值. 6 分 高三数学试卷 第 6 页 共 4 页 （2）由 12 2xx， 0 1y ，可得 11 22 11 2 loglog1 11 2 xx xx ， 7 分 它等
16、价于 1 11 1 1 1 1 12 11 11 11 0, 101, 1 0, 212 0,0, 1 223535 310222 2 11 2 x xx x x x x x xxxx xx . 解得 1 x的取值范围是 35 1 (, ) 22 . 11 分 此时由 111 1111 2 0 11 2(1)(1 2 ) xxx xxxx ，可知 11 11 2 0 11 2 xx xx ， 故 11 22 11 112 loglog 2121 2 + xx xx ，即 12 yy. 14 分 19 （1）设2 EOF，则BFO，在直角OBF中， ， 1 24,40 2 BOABOFBC， 3
17、 sin 5 OB OF ， 3 arcsin 5 ， 3 分 可得扇形的面积 2 1 133 402arcsin1600arcsin1030 255 S 平方米， 所以扇形花园的面积约为1030平方米. 6 分 （2）在图 2 中，连 1 OC，设 11 (0)FOCOCr,， 则在 11 OBC中，由 111 sinsin BCOC ，可得 11 sin sin r BC ， 又 11 2 sin()C Dr， 34 sincos 55 ， 所以矩形 1111 ABC D的面积 21111 sin 2 sin() sin r SBC C Dr 9 分 22 2 10sin (sincosc
18、os sin)(6sincos8sin) 33 rr 2 16004 (3sin24cos24)5sin(2arcsin)4 335 r ， 当且仅当 4 2arcsin 52 ，即 1 4 (arcsin ) 2 252 时， 2 S取最大值， 2 S的最大值为 1600 3 ，所以花卉展览区 1 111 ABC D面积的最大值为1600 3 平方米.12 分 当 1111 ABC D的面积最大时， 2 ， 此时 11 11 2 sin()6486 2sin, sin 5405 sin C DrCD r BCBC ，从而两矩形长和宽之比相等， 所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.
19、14 分 20.解： （1）由题意知，2,a且 2 26 , 3 2+ b b 可得1b ， 3 分 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y. 4 分 高三数学试卷 第 7 页 共 4 页 （2）设 ( 2cos ,sin )(0, ) 2 P ，则( 2 cos , sin )S ， 6 分 代入直线AB的方程1 2 x y，可得(cossin )1， 故 11 cossin 2sin() 4 ，故当且仅当取 4 时，取最小值. 8 分 此时点P的坐标为 2 (1,) 2 ，直线l的方程为20xy，故 26 33 r . 10 分 （3）由| |QGPH，可得| |PQGH，将ykx代入椭圆C
20、的方程， 可得 22 (1 2)2kx，即 2 2 1 2 x k ，故 2 2 2 |1+2 1 2 PQk k ， 又A到直线l的距离为 2 |2 | 1 k k ，故 2 2 2 2 | 2 1 k GHr k ， 所以 2 2 2 1+2 1 2 k k 2 2 2 2 2 1 k r k ， 13 分 可得 2222 2 2222 22(1)422(1) +2 11 211 2 kkkk r kkkk ， 令 2 22 211 21,2) 11 k z kk ，则 2 1 2()223)rz z ,， 故r的取值范围是 23)，. 16 分 21.解： （1）由2n n a ，可知
21、1 2(1 2 ) 2222 1 2 n n nn Sa ， 所以与数列 n a 具有“共生关系”函数( )f x的解析式可以是( )22f xx. 4 分 （2）由题意得 nn Saab，令1n ，可得 11 aaab，即 1 (1)a ab， 若10ab,， 此式不成立， 不合题意； 若10ab,， 由 22 Sa， 可得 1 0a ， 又 33 Sa， 可得 2 0a ， 与 n a任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意. 5 分 若1a ，可得 1 1 b a a ， 若0b ，则由 111 aSaa与 1222 aaSaa，可得 12 0aa，不合题意. 若0b ，0a ，则 n
22、 Sb，当2n 时，0 n a ，不合题意. 6 分 若0b ，0,1a，则 n Sb，由 nn Saab， +1+1nn Saab， 可得 1+1+1nnnnn aSSaaaa ，即 1 1 nn a aa a ，此时数列 n a是首项为 1 b a ，公比为 1 a a 的等比数列，又 n a的任意两项均不相等，故1 1 a a ，可知 1 2 a ， 8 分 高三数学试卷 第 8 页 共 4 页 所以实数对( , )a b所构成的集合为 1 ( , )|0,1, 2 a ba 且0,Rba b其中 ,， 且 1 1 () 11(1) n n n n baba a aaa . 10 分 （
23、3）(必要性)法一:若 n a是公差为(0)d d 的等差数列,且它与( )f x具有 “共生关系”, 则由 2 nnn Sacah， 2 +1+1+1nnn Sacah， 可知 22 1+1+1+1+11 ()()() nnnnnnnnnnn aSSaac aaaaaac ， 11 分 故 11 2(21)anddandc，即 2 11 2(2)andd ndadcd恒成立， 故 2 11 2, 2 dd adadcd ， 解得 1 2 cd， 13 分 又由 2 111 1 2 n aSaah，可得 2 1 1 0 2 n aah，由 1 40 4 h ，可知 1 16 h . 所以点(
24、, )c h在射线 11 () 216 xy上. 14 分 法二：若 n a是等差数列，且它与( )f x具有 “共生关系”, 设(0) n adnm d， 则由 2 nnn Sacah,可知 2 (1) ()() 2 n nd mndnmc dnmh ， 11 分 所以 2222 ()(2)() 22 dd nmnd nmdcd nmcmh恒成立， 故 2 2 1 2 2 2 0 dd d mmdcd mcmh ， ， ， 可得 2 11 ,0 22 cdmmh且有实根， 13 分 即 1 40 4 h ，可知 1 16 h .所以点( , )c h在射线 11 () 216 xy上. 14
25、 分 (充分性)若点( , )c h在射线 11 () 216 xy上，则 11 , 216 ch， 又方程 2 111 1 2 aaah等价于 2 11 1 0 2 aah， 1 40 4 h ，且 1 11 16 4 h a ，取 1 1+ 1 16 4 h a ，它显然是正数且满足 1 (1)Sf， 16 分 令 +1 1 2 nn aa, 则 22 +1+1 11 (1)( )()() 22 nnnn f nf naaaa +1+1+1+1 11 ()(+)(2) 22 nnnnnn aaaaaa，故当2n 时， 12 (1) (2)(1) (3)(2) ( )(1) nn Saaaffffff nf n ( )f n，这里的无穷数列 n a是首项为1+ 1 16 4 h ，公差为 1 2 的无穷等差数列， 其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列 n a，使得 n a与( )f x 具有“共生关系”. . 18 分 另法：直接证明首项为1+ 1 16 4 h 、公差为 1 2 的等差数列满足条件，即可。
