1、 第 1 页（共 25 页） 2020 年浙江省宁波市中考数学模拟试卷含解析（年浙江省宁波市中考数学模拟试卷含解析（2） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）4 的相反数是（ ） A1 4 B4 C 1 4 D4 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （ab）2ab2 B3a+2a25a2 C2（a+b）2a+b Daaa2 3 （4 分）地球与月球之间的距离约为 38 万千米，则 38 万用科学记数法表示为（ ） A3.8108 B0.38106 C38104 D3.8105 4 （4 分）如图所示的几何体的主视图
2、是（ ） A B C D 5 （4 分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了 10 次数学测试，经过数据分析，3 人的平均成绩均为 92 分，甲的方差为 0.015，乙的方差为 0.08，丙的方差为 0.024，则这 10 次测试成绩比较稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D无法确定 6 （4 分）能说明命题“若 ab，则 3a2b“为假命题的反例为（ ） Aa3，b2 Ba2，b3 Ca2，b3 Da3，b2 7 （4 分）在一条道路上，甲从 A 地出发到 B 地，乙从 B 地出发到 A 地，乙的速度是 80 千 米/小时， 两人同时出发各自到达终点后停止， 设
3、行驶过程中甲、 乙之间的距离为 s 千米， 甲行驶的时间为 t 小时，s 与 t 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） 第 2 页（共 25 页） A乙出发 1 小时与甲在途中相遇 B甲从 A 地到达 B 地需行驶 3 小时 C甲在 1.5 小时后放慢速度行驶 D乙到达 A 地时甲离 B 地还有 60 干米 8 （4 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，把ABD 沿 AD 翻折，得 到ABD，连接 CB，若 BDCB2，AD3，则ABC 的面积为（ ） A33 2 B23 C3 D2 9 （4 分）如图所示，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线
4、 x1，与 y 轴的一个交 点坐标为（0，3） ，其部分图象如图所示，下列结论： abc0； 4a+c0； 方程 ax2+bx+c3 的两个根是 x10，x22； 方程 ax2+bx+c0 有一个实根大于 2； 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CECF，点 P、 Q 分别是 AF、EF 的中点，连接 PD、PQ、DQ，则PQD 的形状是（ ） 第 3 页（共 25 页） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰非直角三角形 D等腰直角三角形
5、 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）y= +1 2 中实数 x 的取值范围是 12 （5 分）用数字 1、2、3 随机组成一个三位数，那么组成的三位数是 2 的倍数的概率 是 13 （5 分）若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 14 （5 分）如图，已知点 C 处有一个高空探测气球，从点 C 处测得水平地面上 A，B 两点 的俯角分别为 30和 45若 AB2km，则 A，C 两点之间的距离为 km 15 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC3，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向
6、旋转得到矩形 GBEF，点 A 落在矩形 ABCD 的边 CD 上，连结 CE，CF，若CEF， 则 tan 16 （5 分）如图，分别过第二象限内的点 P 作 x，y 轴的平行线，与 y，x 轴分别交于点 A， B，与双曲线 = 6 分别交于点 C，D下面三个结论， 第 4 页（共 25 页） 存在无数个点 P 使 SAOCSBOD； 存在无数个点 P 使 SPOASPOB； 存在无数个点 P 使 S四边形OAPBSACD 所有正确结论的序号是 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算：12 4sin60+（3） 220200； （2）
7、解方程： 2 ;2 = 1 ;1 18 （8 分）如图，在 44 的方格中，点 A，B，C 为格点 （1）利用无刻度的直尺在图 1 中画ABC 的中线 BE 和重心 G； （2）在图 2 中标注ABC 的外心 O 并画出外接圆及切线 CP 19 （8 分）绿色出行是相对环保的出行方式，通过碳减排和碳中和实现环境资源的可持续 利用和交通可持续发展汽车工业的发展为人类带来了快捷和方便，但同时，汽车的发 展也引起了能源的消耗和空气的污染并且已成为全国各大城市的第一大污染源实验 中学为了解全校学生的交通方式，责成该校七年级（1 班）的 4 位同学对该校部分学生进 行了随机调查，按“骑自行车” 、 “乘
8、公交车” 、 “步行” 、 “乘私家车” 、 “其他方式”设置 选项要求被调查的所有学生从中选一项，并将调查结果绘制成了条形统计图 1 和扇形 第 5 页（共 25 页） 统计图 2 根据所提供的信息，解答下列问题 （1）本次调查的人数共有 人，扇形中步行的圆心角度度数为 （2）把条形统计图补充完整 （3）若该校共有学生 3000 人，则全校步行的学生大约有多少人？ （4）根据调查结果对学生的环保出行提一条合理化的建议 20 （10 分）如图，ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，BEDF，连结 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若四边形 AECF 为
9、菱形，AFC120，BECE4，求ABCD 的面积 21 （10 分）学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖 品已知 1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元，4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元 （1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价； （2）若学校准备购进这两种奖品共 90 份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 22 （10 分）问题小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式 x3+3x2x30 的解集 他经历了如下思考过程： 回顾 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1ax+b 与双曲线 y
10、2= 交于 A （1，3） 和 B（3，1） ，则不等式 ax+b 的解集是 第 6 页（共 25 页） 探究将不等式 x3+3x2x30 按条件进行转化： 当 x0 时，原不等式不成立； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 3 ； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 3 （2）构造函数，画出图象： 设 y3x2+3x1，y4= 3 ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象； 双曲线 y4= 3 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 yx 2+3x1 （不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标： 观察所画两个函数的图象，猜想并
11、通过代入函数解析式验证可知：满足 y3y4的所有 x 的值为 解决 （4）借助图象，写出解集： 结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+3x2x30 的解集 为 23 （12 分）如图 1，RtABC 中，点 D，E 分别为直角边 AC，BC 上的点，若满足 AD2+BE2 DE2，则称 DE 为 RtABC 的“完美分割线” 显然，当 DE 为ABC 的中位线时，DE 是ABC 的一条完美分割线 第 7 页（共 25 页） （1）如图 1，AB10，cosA= 4 5，AD3，若 DE 为完美分割线，则 BE 的长是 （2）如图 2，对 AC 边上的点 D，在 RtABC
12、 中的斜边 AB 上取点 P，使得 DPDA， 过点 P 画 PEPD 交 BC 于点 E，连结 DE，求证：DE 是直角ABC 的完美分割线 （3）如图 3，在 RtABC 中，AC10，BC5，DE 是其完美分割线，点 P 是斜边 AB 的中点，连结 PD、PE，求 cosPDE 的值 24 （14 分）如图 1，以 AB 为直径作O，点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点，连结 AC， BC，过点 C 作ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于 点 E （1）如图 1，连结 AD，求证：ADCDEC （2）若O 的半径为 5，求 CACE 的最大值
13、 （3）如图 2，连结 AE，设 tanABCx，tanAECy， 求 y 关于 x 的函数解析式； 若 = 4 5，求 y 的值 第 8 页（共 25 页） 2020 年浙江省宁波市中考数学模拟试卷含解析（年浙江省宁波市中考数学模拟试卷含解析（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）4 的相反数是（ ） A1 4 B4 C 1 4 D4 【解答】解：4 的相反数是：4 故选：B 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （ab）2ab2 B3a+2a25a2 C2（a+b）2a+
14、b Daaa2 【解答】解：A、 （ab）2a2b2，故此选项错误； B、3a+2a2无法计算，故此选项错误； C、2（a+b）2a+2b，故此选项错误； D、aaa2，故此选项正确； 故选：D 3 （4 分）地球与月球之间的距离约为 38 万千米，则 38 万用科学记数法表示为（ ） A3.8108 B0.38106 C38104 D3.8105 【解答】解：38 万3800003.8105 故选：D 4 （4 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【解答】解：主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线 用虚线， 因此选项 B 的图形符合题意， 故选：B
15、 第 9 页（共 25 页） 5 （4 分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了 10 次数学测试，经过数据分析，3 人的平均成绩均为 92 分，甲的方差为 0.015，乙的方差为 0.08，丙的方差为 0.024，则这 10 次测试成绩比较稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D无法确定 【解答】解：3 人的平均成绩均为 92 分，甲的方差为 0.015丙的方差为 0.024乙的 方差为 0.08， 甲这 10 次测试成绩比较稳定， 故选：A 6 （4 分）能说明命题“若 ab，则 3a2b“为假命题的反例为（ ） Aa3，b2 Ba2，b3 Ca2，b3 Da3
16、，b2 【解答】解：当 a2，b3 时，23，而 3（2）2（3） ，即 ab 时，3a2b， 命题“若 ab，则 3a2b“为假命题， 故选：B 7 （4 分）在一条道路上，甲从 A 地出发到 B 地，乙从 B 地出发到 A 地，乙的速度是 80 千 米/小时， 两人同时出发各自到达终点后停止， 设行驶过程中甲、 乙之间的距离为 s 千米， 甲行驶的时间为 t 小时，s 与 t 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A乙出发 1 小时与甲在途中相遇 B甲从 A 地到达 B 地需行驶 3 小时 C甲在 1.5 小时后放慢速度行驶 D乙到达 A 地时甲离 B 地还有 60 干米 【解
17、答】解：由图可知， 乙出发 1 小时与甲在途中相遇，故选项 A 正确； 甲的速度为：12018040 千米/小时， 则甲从 A 地到达 B 地需行驶 120403（小时） ，故选项 B 正确； 第 10 页（共 25 页） 当乙达到 A 地时，甲离 B 地的距离是：120120804060（千米） ，故选项 D 正确； 由于 m 的值不知，故甲在 1.5 小时后速度是否改变不能确定，故选项 C 错误； 故选：C 8 （4 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，把ABD 沿 AD 翻折，得 到ABD，连接 CB，若 BDCB2，AD3，则ABC 的面积为（ ） A33 2
18、 B23 C3 D2 【解答】解：D 是 BC 的中点， BDDC， 由翻折的性质可知：ADBADB，DBDB， BDCB2， CDDBCB2， CDB是等边三角形， CDBDCB60，BDB120， DABADB120， ADCCDB60， ADCDCB， ADCB， SACBSCDB= 3 4 22= 3， 故选：C 9 （4 分）如图所示，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 y 轴的一个交 点坐标为（0，3） ，其部分图象如图所示，下列结论： abc0； 4a+c0； 方程 ax2+bx+c3 的两个根是 x10，x22； 方程 ax2+bx+c0 有一个实根大于
19、 2； 第 11 页（共 25 页） 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：抛物线开口向下，a0，对称轴为直线 x10，a、b 异号，因此 b0， 与 y 轴交点为（0，3） ，因此 c30，于是 abc0，故结论是正确的； 由对称轴为直线 x= 2 =1 得 2a+b0， 当 x1 时， yab+c0， 所以 a+2a+c0， 即 3a+c0，又 a0，4a+c0，故结论不正确； 当 y3 时，x10，即过（0，3） ，抛物线的对称轴为直线 x1，由对称性可得，抛物线 过（2，3） ，因此方程 ax2+bx+c3
20、 的有两个根是 x10，x22；故正确； 抛物线与 x 轴的一个交点（x1，0） ，且1x10，由对称轴为直线 x1，可得另一个 交点（x2，0） ，2x23，因此是正确的； 根据图象可得当 x0 时，y 随 x 增大而增大，因此是正确的； 正确的结论有 4 个， 故选：A 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CECF，点 P、 Q 分别是 AF、EF 的中点，连接 PD、PQ、DQ，则PQD 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 第 12 页（共 25 页） C等腰非直角三角形 D等腰直角三角形 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形
21、， ABBCCDAD，BADFBAD90， CECF， BEDF， ABEADF（SAS） ， AEAF，BAEDAF， APPF， PDPAPF= 1 2AF， PADPDA， DPFPAD+PDA2PAD， APPF，FQQE， PQAE，PQ= 1 2AE， PDPQ，QPFEAF， EAF+BAE+DAF90， DPF+FPQ2DAP+EAF90， DPQ90， DPQ 是等腰直角三角形， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）y= +1 2 中实数 x 的取值范围是 x1，且 x2 【解答】解：由题意得
22、：x+10，且 x20， 解得：x1，且 x2， 第 13 页（共 25 页） 故答案为：x1，且 x2 12 （5 分）用数字 1、2、3 随机组成一个三位数，那么组成的三位数是 2 的倍数的概率是 1 3 【解答】解：用 1，2，3 三个数字组成一个三位数的所有情况是：123，132，213，231， 312，321，其中组成的三位数是 2 的倍数的有 132，312，共 2 种，所以组成的三位数是 2 的倍数的概率是2 6 = 1 3 故答案为：1 3 13 （5 分）若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 15 【解答】解：圆锥的侧面积= 1 223515 故答案为 15
23、 14 （5 分）如图，已知点 C 处有一个高空探测气球，从点 C 处测得水平地面上 A，B 两点 的俯角分别为 30和 45 若 AB2km， 则 A， C 两点之间的距离为 （2+23） km 【解答】解：如图所示，延长 AB，过点 C 作 CD 垂直于 AB 延长线，垂足为 D， 由题意知CBD45，A30，AB2km， 设 BDCDx， 在 RtACD 中，由 tanA= 可得 :2 = 3 3 ， 解得 x1+3，即 CD1+3， 则 AC2CD2+23（km） ， 故答案为： （2+23） 15 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC3，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺
24、时针方向 旋转得到矩形 GBEF，点 A 落在矩形 ABCD 的边 CD 上，连结 CE，CF，若CEF， 第 14 页（共 25 页） 则 tan 1 3 【解答】解：过 C 点作 MNBG，交 BG 于 M，交 EF 于 N， 由旋转变换的性质可知，ABCGBE90，BABG5，BCBE3， 由勾股定理得，CG= 2 2 = 25 9 =4， sinGBC= = ， 4 5 = CM= 12 5 ， BM= 2 2 = 9 5 MNBG，GBEBEF90， 四边形 BENM 是矩形， MNBE3，BMEN= 9 5， CN3 12 5 = 3 5， tan= = 3 5 9 5 = 1 3
25、 第 15 页（共 25 页） 故答案为：1 3 16 （5 分）如图，分别过第二象限内的点 P 作 x，y 轴的平行线，与 y，x 轴分别交于点 A， B，与双曲线 = 6 分别交于点 C，D下面三个结论， 存在无数个点 P 使 SAOCSBOD； 存在无数个点 P 使 SPOASPOB； 存在无数个点 P 使 S四边形OAPBSACD 所有正确结论的序号是 【解答】解：如图，设 C（m， 6 ） ，D（n， 6 ） ，则 P（n， 6 ） ， SAOC3，SBOD3， SAOCSBOD；所以正确； SPOA= 1 2n 6 = 3 ，SPOB= 1 2n 6 = 3 ， SPOASPOB；
26、所以正确； S四边形OAPBn 6 = 6 ，SACD= 1 2 m（ 6 6 ）3 3 ， 当 6 =3 3 ，即 m2mn2n20，所以 m2n（舍去）或 mn，此时 P 点为 无数个，所以正确 故答案为 第 16 页（共 25 页） 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算：12 4sin60+（3） 220200； （2）解方程： 2 ;2 = 1 ;1 【解答】解： （1）原式23 4 3 2 + 1 9 1 23 23 + 1 9 1 = 8 9； （2）去分母得：2x2x2， 解得：x0， 经检验 x0 是分式方程的解 18
27、 （8 分）如图，在 44 的方格中，点 A，B，C 为格点 （1）利用无刻度的直尺在图 1 中画ABC 的中线 BE 和重心 G； （2）在图 2 中标注ABC 的外心 O 并画出外接圆及切线 CP 【解答】解： （1）如图所示，BE 和点 G 即为所求； （2）如图所示，O 和 PC 即为所求 第 17 页（共 25 页） 19 （8 分）绿色出行是相对环保的出行方式，通过碳减排和碳中和实现环境资源的可持续 利用和交通可持续发展汽车工业的发展为人类带来了快捷和方便，但同时，汽车的发 展也引起了能源的消耗和空气的污染并且已成为全国各大城市的第一大污染源实验 中学为了解全校学生的交通方式，责成
28、该校七年级（1 班）的 4 位同学对该校部分学生进 行了随机调查，按“骑自行车” 、 “乘公交车” 、 “步行” 、 “乘私家车” 、 “其他方式”设置 选项要求被调查的所有学生从中选一项，并将调查结果绘制成了条形统计图 1 和扇形 统计图 2 根据所提供的信息，解答下列问题 （1）本次调查的人数共有 200 人，扇形中步行的圆心角度度数为 81 （2）把条形统计图补充完整 （3）若该校共有学生 3000 人，则全校步行的学生大约有多少人？ （4）根据调查结果对学生的环保出行提一条合理化的建议 【解答】解： （1）本次调查的人数共有：5025%200（人） ， 扇形中步行的圆心角度度数为：36
29、0 45 200 =81， 故答案为：200，81； （2）乘私家车的有：2005%10（人） ， 补全的条形统计图如右图所示； 第 18 页（共 25 页） （3）3000 45 200 =675（人） ， 答：全校步行的学生大约有 675 人； （4）一条合理化的建议是：建议以后大家采用骑自行车出行，这样既环保又可以减少交 通事故，并且现在共享单车到处都有，采用骑自行车很方便 20 （10 分）如图，ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，BEDF，连结 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若四边形 AECF 为菱形，AFC120，BECE4，求ABC
30、D 的面积 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， BEDF， ECAF， 又ECAF， 四边形 AECF 是平行四边形； （2）四边形 AECF 为菱形， AEEC，AECAFC120， AEB60， BECE4， AEBE4， ABE 是等边三角形， 过点 A 作 AGBE 于点 G， 第 19 页（共 25 页） AGABsinB23， BCBE+EC8， ABCD 的面积BCAG823 =163 21 （10 分）学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖 品已知 1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元，4 本笔记本
31、和 6 支钢笔共需 190 元 （1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价； （2）若学校准备购进这两种奖品共 90 份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【解答】解： （1）设一本笔记本的售价为 x 元，一支钢笔的售价为 y 元， 依题意，得： + 4 = 100 4 + 6 = 190， 解得： = 16 = 21 答：一本笔记本的售价为 16 元，一支钢笔的售价为 21 元 （2）设购进 m 本笔记本，则购进（90m）支钢笔， 依题意，得：m3（90m） ， 解得：m671 2 设学校购进这两种奖品的总价为 w 元，则 w16m+21（90m）
32、5m+1890 50， w 值随 m 值的增大而减小， 又m671 2，且 m 为整数， 当 m67 时，w 取得最小值，最小值为 1555， 当购进 67 本笔记本、23 支钢笔时，购买的总价最少，最少费用为 1555 元 22 （10 分）问题小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式 x3+3x2x30 的解集 他经历了如下思考过程： 回顾 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1ax+b 与双曲线 y2= 交于 A （1，3） 第 20 页（共 25 页） 和 B（3，1） ，则不等式 ax+b 的解集是 x1 或3x0 探究将不等式 x3+3x2x30 按条件进行转化：
33、当 x0 时，原不等式不成立； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 3 ； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 3 （2）构造函数，画出图象： 设 y3x2+3x1，y4= 3 ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象； 双曲线 y4= 3 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 yx 2+3x1 （不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标： 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3y4的所有 x 的值为 3 或1 或 1 解决 （4）借助图象，写出解集： 结合 “探究” 中的讨论， 观察两个函数的图
34、象可知： 不等式 x3+3x2x30 的解集为 x 1 或 x3 或1x0 【解答】解： （1）如图 1 中，观察图形可知：不等式 ax+b 的解集为 x1 或3x 0 故答案为：x1 或3x0 （2）函数 y3x2+3x1 的图形如图所示： 第 21 页（共 25 页） （3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为3，1，1 经过检验可知：点（3，1） ，点（1，3） ，点（1，3）是两个函数的交点坐标， 满足 y3y4的所有 x 的值为3 或1 或 1 故答案为3 或1 或 1 （4）观察图象，当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 3 的解集为 x 1， 当
35、 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 3 的解集为 x3 或1x 0， 不等式 x3+3x2x30 的解集为 x1 或 x3 或1x0 故答案为 x1 或 x3 或1x0 23 （12 分）如图 1，RtABC 中，点 D，E 分别为直角边 AC，BC 上的点，若满足 AD2+BE2 DE2，则称 DE 为 RtABC 的“完美分割线” 显然，当 DE 为ABC 的中位线时，DE 是ABC 的一条完美分割线 第 22 页（共 25 页） （1）如图 1，AB10，cosA= 4 5，AD3，若 DE 为完美分割线，则 BE 的长是 13 3 （2）如图 2，对 AC 边
36、上的点 D，在 RtABC 中的斜边 AB 上取点 P，使得 DPDA， 过点 P 画 PEPD 交 BC 于点 E，连结 DE，求证：DE 是直角ABC 的完美分割线 （3）如图 3，在 RtABC 中，AC10，BC5，DE 是其完美分割线，点 P 是斜边 AB 的中点，连结 PD、PE，求 cosPDE 的值 【解答】解： （1）AB10，cosA= 4 5， cosA= = 10 = 4 5， AC8，CD5， = 2 2= 102 82=6， 设 BEx，则 CE6x， 在 RtCDE 中，DE2CD2+CE252+（6x）2， DE 为完美分割线， AD2+BE2DE2， 32+x
37、252+（6x）2， 解得：x= 13 3 BE= 13 3 故答案为：13 3 （2）证明：如图 2， DADP， DAPDPA， 第 23 页（共 25 页） PEPD， DPA+EPB90， 又AB， EPBB， EPEB， AD2+BE2DP2+EP2DE2， DE 是直角ABC 的完美分割线 （3）解：延长 DP 至 F，使 PFPD，连接 BF，EF， APBP，APDBPF， APDBPF（SAS） ， ADBF，AFBP， EBFCBA+FBPCBA+A90， DE 是完美分割线， DE2AD2+BE2BF2+BE2EF2，即 EDEF 又 PDPF， EPD90， 过点 P
38、作 PMAC，PNBC， 则MPDNPE90MPE， MPDNPE， = = 1 2， 设 PDa，则 PE2a，则 DE= 2+ 2= 5a， cosPDE= = 1 5 = 5 5 24 （14 分）如图 1，以 AB 为直径作O，点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点，连结 AC， BC，过点 C 作ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于 第 24 页（共 25 页） 点 E （1）如图 1，连结 AD，求证：ADCDEC （2）若O 的半径为 5，求 CACE 的最大值 （3）如图 2，连结 AE，设 tanABCx，tanAECy， 求 y
39、关于 x 的函数解析式； 若 = 4 5，求 y 的值 【解答】 （1）证明：ABDE， ABCE， ADCABC， ADCE； （2）解：CD 平分ACB， ACDDCE， 又ADCE， ADCDEC， = ， 即 CD2CACE， 又O 的半径为 5， CACECD2102100 即 CACE 的最大值为 100 （3）解：连接 AD， 第 25 页（共 25 页） ADCDEC， = ， ytanAEC= = = ( ) 2， 过点 D 作 DFCE，不妨设 EFa， CEDCBA，DCE45， CFDFax， CD= 2ax， y= ( ) 2 = ( 2 +) 2 = 22 2+2+1 = 4 5， = 4 9， ： =9：4， 即 x：y9：4， 将 y= 4 9x 代入 y= 22 2+2+1得， 4 9 = 22 2:2:1， 解得，x12，x2= 1 2， 当 x2 时，y= 24 22+4+1 = 8 9， 当 x= 1 2时，y= 21 4 1 4+1+1 = 2 9， y= 2 9或 8 9
