1、图形变换思想对初中数学教图形变换思想对初中数学教学的启示学的启示 活动活动 阅读与反思阅读与反思 目标：目标：仔细阅读所发材料片断仔细阅读所发材料片断,从中考的维度反从中考的维度反思变换内容的重要性思变换内容的重要性.梳理出初中几何中几种常梳理出初中几何中几种常见变换思想的核心是什么见变换思想的核心是什么.交流增加认识交流增加认识.材料：材料：16K纸纸时间：时间：60分钟分钟 过过 程程 每位参与者取一张每位参与者取一张16开白纸，在阅读、思考开白纸，在阅读、思考的基础上选择分析的维度自行完成对几何中常的基础上选择分析的维度自行完成对几何中常见变换思想梳理图。见变换思想梳理图。一、体验变换思
2、想一、体验变换思想-考试维度考试维度 小组内交流，特别是针对中考对此内容小组内交流，特别是针对中考对此内容的考核，组内分层次总结变换内容。的考核，组内分层次总结变换内容。全班交流，将小组内形成的共识在全全班交流，将小组内形成的共识在全班展示，丰富全班学员的认知。班展示，丰富全班学员的认知。总结与提升。总结与提升。几何学是研究变换群下图形不变性质与不变量的几何学是研究变换群下图形不变性质与不变量的学科。主要的变换群有正交变换群、仿射变换群、学科。主要的变换群有正交变换群、仿射变换群、射影变换群。射影变换群。点变换与函数的类比，点集与点集之间的对应关点变换与函数的类比，点集与点集之间的对应关系。系
3、。到上的对应；一一对应；两个点集相同就变成变到上的对应；一一对应；两个点集相同就变成变换。换。正交变换：平移变换；旋转变换；轴反射变换正交变换：平移变换；旋转变换；轴反射变换保距变换。同素性、结合性、平行性、对应的图形保距变换。同素性、结合性、平行性、对应的图形合同。合同。（反演变换）位似变换：同素性、平行性、结合性、（反演变换）位似变换：同素性、平行性、结合性、相似性，对应点连线共点（位似中心）相似性，对应点连线共点（位似中心）二、变换思想解析二、变换思想解析 相似变换（对应线段长度之比）；相似变换（对应线段长度之比）；不变不变性：同素性、结合性、平行性图形的相似性。性：同素性、结合性、平行
4、性图形的相似性。仿射变换（单比仿射变换（单比仿射对应）同素性、仿射对应）同素性、结合性、平行性。结合性、平行性。射影变换（交比），同素性、结合性。射影变换（交比），同素性、结合性。加入变换有以下几个根据：（加入变换有以下几个根据：（1）变换内容本身很重）变换内容本身很重要，旋转、轴对称，平移、位似等作为知识点必须让孩子要，旋转、轴对称，平移、位似等作为知识点必须让孩子知道。知道。（2）初中学习的主要图形是对称图形，我们从一般到）初中学习的主要图形是对称图形，我们从一般到特殊来认识图形特殊来认识图形:线段、角度、等边三角形、等腰三角形、线段、角度、等边三角形、等腰三角形、直角三角形、四边形、多边
5、形等，可以看出这些图形都有直角三角形、四边形、多边形等，可以看出这些图形都有共同的性质共同的性质对称，对称，等腰三角形比一般的好，是因为等腰三角形比一般的好，是因为它是轴对称图形，等边的又比等腰的好，因为它的对称轴它是轴对称图形，等边的又比等腰的好，因为它的对称轴多。那么，可以看出，这些好的图形都具有共同的性质，多。那么，可以看出，这些好的图形都具有共同的性质，它们都是轴对称图形。所以，我们初中研究的主要图形都它们都是轴对称图形。所以，我们初中研究的主要图形都是轴对称图形，轴对称图形都是对称变换的产物。是轴对称图形，轴对称图形都是对称变换的产物。（3）对称变换可以帮助我们研究对称图形。问：）对
6、称变换可以帮助我们研究对称图形。问：平行四边形如何刻画？有多少种描述方法？答：一平行四边形如何刻画？有多少种描述方法？答：一组对边平行且相等，两组对边平行，两组对边相等，组对边平行且相等，两组对边平行，两组对边相等，两条对角线相互平分，两组对角分别相等，一组对两条对角线相互平分，两组对角分别相等，一组对角相等一组对边相，还可以是两条对角线的交点是角相等一组对边相，还可以是两条对角线的交点是对称中心。平行四边形把平行说到极致，都是充分对称中心。平行四边形把平行说到极致，都是充分必要的，前两个都可以作出发点，所谓出发点就是必要的，前两个都可以作出发点，所谓出发点就是定义，是人为的是天经地义的。定义
7、，是人为的是天经地义的。（4）对平行四边形的认识，希望学生动起来，对平行四边形的认识，希望学生动起来，不要把变换仅仅当作知识点来讲，还要把它用在认不要把变换仅仅当作知识点来讲，还要把它用在认识和研究图形上，让图形的性质容易理解，通俗地识和研究图形上，让图形的性质容易理解，通俗地讲，要让图形转起来。讲，要让图形转起来。（5）变换进入平面几何将可能会改变对传统平）变换进入平面几何将可能会改变对传统平面几何的。有可能学习的有用的东西将来学习中面几何的。有可能学习的有用的东西将来学习中都有用，而且尽量保持逻辑推理能力的培养和训都有用，而且尽量保持逻辑推理能力的培养和训练，同时加大几何直观的培养，这是一
8、个趋势。练，同时加大几何直观的培养，这是一个趋势。初中已加入变换，在我们前面展示的大学课程中，初中已加入变换，在我们前面展示的大学课程中，可以看出变换仍很重要。矩阵与变换可能会成为可以看出变换仍很重要。矩阵与变换可能会成为中学生都学习的内容中学生都学习的内容.我们要重视变换，让学生的图形在学生的眼前动起我们要重视变换，让学生的图形在学生的眼前动起来，可能在证明很多的时候才能实现希尔伯特所说来，可能在证明很多的时候才能实现希尔伯特所说的：的：“图形能帮助寻求解决问题的办法和途径。图形能帮助寻求解决问题的办法和途径。”而不是一堆形式化的推理。而不是一堆形式化的推理。演绎推理和归纳推理，为什么要重视
9、归纳推理、演绎推理和归纳推理，为什么要重视归纳推理、统计概率等。统计概率等。案例（给一线段，要围成一个面积最大的封闭图案例（给一线段，要围成一个面积最大的封闭图形）：形）：首先，这个图形一定是凸的，凸就是任意两点的连首先，这个图形一定是凸的，凸就是任意两点的连线都得在这个图形中。线都得在这个图形中。其次，若将线段分成两相等部分，那么两部分围成其次，若将线段分成两相等部分，那么两部分围成的面积一定是相等的。的面积一定是相等的。最后，到定点距离等于定长的点的轨迹。最后，到定点距离等于定长的点的轨迹。坐标系、数量化、发现、研究几何结坐标系、数量化、发现、研究几何结论的重要途径论的重要途径 直角坐标系
10、、仿射坐标系、射影坐直角坐标系、仿射坐标系、射影坐标系。标系。使得图形能够用代数表达式来刻划使得图形能够用代数表达式来刻划启示1：居高临下，准确把握 变换的观点思考几何内容。树立辩证唯物主义观点。特变换的观点思考几何内容。树立辩证唯物主义观点。特别是从群的观点来认知。别是从群的观点来认知。透视的了解几何学的全貌。了解几何学的实质。事实上，透视的了解几何学的全貌。了解几何学的实质。事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本
11、身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。感觉。对不变性与不变量的探求。个性与共性的理解。对不变性与不变量的探求。个性与共性的理解。中学几何主要是研究图形的位置关系和度量中学几何主要是研究图形的位置关系和度量关系。最基本的几何图形是点、线、面，由线可关系。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。围成平面图形，由面可围
12、成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平线与线、面与面重合等），由基本图形围成的
13、平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。启示启示2 变革模式，注重实质变革模式，注重实质 不同的几何学下：直观几何学、实验几何学、不同的几何学下：直观几何学、实验几何学、推理几何学。推理几何学。注重思想与方法的挖掘注重思想与方法的挖掘 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。法等。使几何问题直观化；代数化。并能从源上进行教学文使几何问题直观化；代
14、数化。并能从源上进行教学文化的建设化的建设文化化文化化起源起源:生产、生活需要。生产、生活需要。几何原本简介几何原本简介 几何原本用公理法对当时的数学知识作了系统化、几何原本用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结，构成历史上第一个数学公理体系理论化的总结，构成历史上第一个数学公理体系 全书共全书共1313卷，卷，5 5条公理，条公理，5 5条公设，条公设，119119个定义，个定义，456456条命题条命题 第五公设：若一直线落在两直线构成的同旁内角和第五公设：若一直线落在两直线构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们在同旁内小于两直角，那么把两直线无限延长，它们在同旁
15、内角和小于两直角的一侧相交角和小于两直角的一侧相交 以相当完善的公理体系及演绎方法归纳总以相当完善的公理体系及演绎方法归纳总结了前人的几何知识，构成历史上第一个数学结了前人的几何知识，构成历史上第一个数学公理体系公理体系 在当时乃至今天，在培养人的逻辑思维方面在当时乃至今天，在培养人的逻辑思维方面有着特殊的教育意义，是其它学科所不能替代有着特殊的教育意义，是其它学科所不能替代的的l证明第五公设屡遭证明第五公设屡遭失败，数学家开始失败，数学家开始承认承认第五公设的独立性，更第五公设的独立性，更重要的是开始重要的是开始怀疑怀疑欧氏几何不是唯一欧氏几何不是唯一 的几何的几何l大胆尝试，保持前四条公设
16、不变，将第五公设替换成：大胆尝试，保持前四条公设不变，将第五公设替换成：通过直线通过直线外一点，可以引不止一条至少两条直线与已知直线平行外一点，可以引不止一条至少两条直线与已知直线平行 ，由此，由此出发进行逻辑推导，得出一连串新几何学的定理，这些定理并不出发进行逻辑推导，得出一连串新几何学的定理，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学理论，这个理论就是一种新的几何学-非欧几里得几何学非欧几里得几何学l代表性人物：罗巴切夫斯基；高斯；波约代表性人物：罗巴切夫斯基；高斯；波约 传统
17、的几何教学具有双刃剑功能，几何内容传统的几何教学具有双刃剑功能，几何内容的过分抽象和形式化，缺乏与现实生活的紧密的过分抽象和形式化，缺乏与现实生活的紧密联系，使几何直观的优势没有得到充分的发挥；联系，使几何直观的优势没有得到充分的发挥；过分强调演绎推理使好多学生都怕学几何、甚过分强调演绎推理使好多学生都怕学几何、甚至厌恶几何、远离几何，从而丧失学习的兴趣至厌恶几何、远离几何，从而丧失学习的兴趣和信心。和信心。现代的教学如何回归到教学的真谛上去现代的教学如何回归到教学的真谛上去 观察、实验、分析、推理、证明观察、实验、分析、推理、证明 在教学中，要重视培养学生归纳推理的能力，要帮在教学中，要重视
18、培养学生归纳推理的能力，要帮助学生理解归纳推理在学习和研究数学中的作用，演助学生理解归纳推理在学习和研究数学中的作用，演绎推理可以帮助我们验证问题，归纳推理可以帮助我绎推理可以帮助我们验证问题，归纳推理可以帮助我们发现、猜想一些新的结果，在创新意识培养中归纳们发现、猜想一些新的结果，在创新意识培养中归纳推理是非常重要的思维方式。推理是非常重要的思维方式。在教授综合法、分析法、反证法、归纳、类比等数在教授综合法、分析法、反证法、归纳、类比等数学思想方法时，应反复强调这些方法仅仅是一种思维学思想方法时，应反复强调这些方法仅仅是一种思维的模式，我们应该了解这种思维的模式、掌握这种思的模式，我们应该了解这种思维的模式、掌握这种思维的模式，但是，在证明数学问题中，必须认真的分维的模式，但是，在证明数学问题中，必须认真的分析问题本身，才能获得这个问题的证明，机械的套用析问题本身，才能获得这个问题的证明，机械的套用这种方法作用不大。这种方法作用不大。启示启示3 关注核心，强化推理关注核心，强化推理 思维能力提升，数学素养发展。思维能力提升，数学素养发展。证明思想的提升证明思想的提升几何思维方式两种基本思维方式两种基本思维方式演绎的思维方式演绎的思维方式归纳的思维方式归纳的思维方式几种基本演绎证明思路几种基本演绎证明思路几种个归纳证明思路分析反证数学归纳归纳类比
