1、（第6题） E P D C B A 淮阴区淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练五届高三第二学期期初模拟训练五 数学数学文文科科 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位 置上 1已知集合11 ,0AxxBx x ，则AB 2若复数 5 12i m （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 3双曲线 2 2 1 2 y x 的离心率为 4在一次满分为 160 分的数学考试中，某班 40 名学生的考试成绩分布如下： 成绩（分） 80 分以下 80，100） 100，120） 120，140） 140，160 人数 8 8 12 10 2 在该
2、班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在 120 分以上的概率 为 5函数 2 ln(2)yx的定义域为 6如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， 底面ABCD是矩形，2AB ，3AD ，4PA， 点 E 为棱 CD 上一点，则三棱锥 EPAB 的体积为 7右图是一个算法流程图，则输出的x的值为 8已知等比数列 n a的各项均为正数，若 2 42 aa， 开始 n1 ，x1 x x x+1 y 2y 1 输出 x N n 5 Y n n 1 24 5 16 aa，则 5 a 9若曲线 32 1: 612Cyaxxx与曲线 2: exCy 在1x 处的两条切线互相垂直，则实数a的值
3、为 10设函数 ( )sin()3cos()(0,) 2 f xxx 的最小正周期为，且满足()( )fxf x，则函数( )f x 的单调增区间为 11如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 的中点， AE 与 BD 交于点 M，2AB ,1AD ，且 1 6 MA MB ，则AB AD 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： 22 (3)2xy，点 A 是x轴上的一个动点，AP， AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 13已知直线1ykx与曲线 11 ( )f xxx xx 恰有四个不同的交点，则实数 k 的取值 范围为 14已知实数, x y
4、满足0xy，且2xy，则 21 3xyxy 的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15已知向量 sin(),3 6 a，(1,4cos )ab，(0,) （1）若ab，求tan的值； （2）若ab，求的值 16如图，四边形 11 AAC C为矩形，四边形 11 CC B B为菱形，且平面 11 CC B B平面 11 AAC C， D，E 分别为边 11 A B， 1 C C的中点 （1）求证： 1 BC平面 1 ABC； （2）求证：DE平面 1 ABC C1 B1 A1 （第16题） E C B A
5、 D 17如图，有一段河流，河的一侧是以 O 为圆心，半径为10 3米的扇形区域 OCD，河的另 一侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB（不计 B 离河岸的距离） ，且 OB 的连线恰好与 河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧CD的交点为 E经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点 C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为45，30和60 （1）求烟囱 AB 的高度； （2）如果要在 CE 间修一条直路，求 CE 的长 18在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (0)ab的离心率为 2 2 ，且过 点 6 (1,) 2 ，过椭圆的左顶点 A
6、作直线lx轴，点 M 为直线l上的动点，点 B 为椭圆右 顶点，直线 BM 交椭圆 C 于 P （1）求椭圆 C 的方程； （2）求证：APOM； （3）试问OP OM是否为定值？若是定值， 请求出该定值；若不是定值，请说明理由 （第 17 题） l 19已知函数 2 ( )e(0) x f xxa a （1）当1a 时，求( )f x的单调减区间； （2）若方程( )f xm恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值 20 已知数列 n a的前n 项和为 n S， 设数列 n b满足 11 2()()() nnnnnn bSS Sn SSn N （1）若数列 n a为等差数列，且0 n b
7、，求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1a ， 2 3a ，且数列 21n a ， 2n a都是以 2 为公比的等比数列，求满足不等 式 221nn bb 的所有正整数 n 的集合 淮阴区淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练届高三第二学期期初模拟训练五五 数学参考答案数学参考答案 一、填空题一、填空题 101xx 21 33 40.3 5 ,22, 64 7 1 6 8 1 32 9 1 3e 10 , ,() 2 kkkZ 11 3 4 12 2 14 ,2 2) 3 13 11 ,0, 88 14 32 2 4 二、解答题二、解答题 15解： （1）因为ab，所以 sin()
8、12cos0 6 ， 即 31 sincos12cos0 22 ，即 325 sincos0 22 ， 又cos0 ，所以 25 3 tan 3 （2）若ab，则 4cos sin()3 6 , 即 31 4cos (sincos )3 22 ， 所以3sin2cos22， 所以 sin(2)1 6 ， 因为(0,)，所以 13 2(,) 666 ， 所以 2 62 ，即 6 16证明： （1）四边形 11 AAC C为矩形，AC 1 C C 又平面 11 CC B B平面 11 AAC C，平面 11 CC B B平面 11 AAC C= 1 CC， AC 平面 11 CC B B， 1 C
9、 B 平面 11 CC B B，AC 1 C B， 又四边形 11 CC B B为菱形， 11 BCBC， 1 BCACC，AC 平面 1 ABC， 1 BC 平面 1 ABC， 1 BC平面 1 ABC （2）取 1 AA的中点 F，连 DF，EF， 四边形 11 AAC C为矩形，E，F 分别为 1 C C， 1 AA的中点， EFAC，又EF 平面 1 ABC，AC 平面 1 ABC, EF平面 1 ABC， 又D，F 分别为边 11 A B， 1 AA的中点， DF 1 AB，又DF 平面 1 ABC， 1 AB 平面 1 ABC, DF平面 1 ABC，EFDFF，EF 平面 DEF
10、，DF 平面 DEF， 平面 DEF平面 1 ABC DE 平面 DEF，DE平面 1 ABC 17解： （1）设 AB 的高度为h， 在CAB 中，因为45ACB，所以CBh， 在OAB 中，因为30AOB，60AEB， 所以3OBh， 3 3 EBh 由题意得 3 310 3 3 h h，解得15h 答：烟囱的高度为 15 米 （2）在OBC 中， 222 cos 2 OCOBBC COB OC OB 300225 32255 62 10 3 15 3 ， 所以在OCE 中， 222 2cosCEOCOEOC OECOE 5 300300600100 6 答：CE 的长为 10 米 18解
11、： （1）椭圆 C： 22 22 1 xy ab (0)ab的离心率为 2 2 ， 22 2ac，则 22 2ab，又椭圆 C 过点 6 (1,) 2 ， 22 13 1 2ab 2 4a ， 2 2b ， 则椭圆 C 的方程 22 1 42 xy （2）设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的方程为(2)yk x，设 11 (,)P x y， 将(2)yk x代入椭圆 C 的方程 22 1 42 xy 中并化简得： 2222 (21)4840kxk xk，解之得 2 1 2 42 21 k x k ， 2 2x ， 11 2 4 (2) 21 k yk x k ，从而 2 22 424
12、(,) 21 21 kk P kk 令2x ，得4yk ，( 2, 4 )Mk，( 2, 4 )OMk 又 2 22 424 (2,) 2121 kk AP kk 2 22 84 (,) 21 21 kk kk ， 22 22 1616 0 2121 kk AP OM kk ， APOM （3） 2 22 424 (,) ( 2, 4 ) 21 21 kk OP OMk kk = 222 22 84 1684 4 2121 kkk kk OP OM为定值 4 19解： （1）当1a 时， 2 2 1,e (1), ( ) 1,e (1), x x xx f x xx 当1x 时， 2 ( )e
13、 (21) x fxxx， 由( )0fx，解得121+ 2x 剟， 所以( )f x的单调减区间为 12, 1 ， 当1x 时， 2 ( )e (21) x fxxx， 由( )0fx，解得12x 或1+ 2x， 所以( )f x的单调减区间为 1+ 2,1， 综上：( )f x的单调减区间为 1+ 2,1， 12, 1 （2） 当0a 时， 2 ( )exf xx，则 2 ( )e2ee(2) xxx fxxxx x， 令( )0fx，得0x 或2x ， x (, 2) 2 ( 2,0) 0 (0,) ( )fx + 0 0 + ( )f x 极大值 极小值 所以( )f x有极大值 2
14、4 ( 2) e f ，极小值(0)0f， 当0a 时， 2 2 , e (), ( ) e (), , x x xa xa f x ax xa 同（1）的讨论可得，( )f x在(,11)a 上增，在(11,)aa 上减， 在(,11)aa 上增，在(11,)aa 上减，在(,)a 上增， 且函数( )yf x有两个极大值点， 1 1 1 2e(11) (11)2e(11) e a a a faa ， 1 1 1 2e(11) (11)2e(11) e a a a faa ， 且当1xa时， 1 121 2e(11) (1)e(1)e(11) e a aa a f aaaa ， 所以若方程(
15、 )f xm恰好有正根， 则(11)mfa （否则至少有二个正根） 又方程( )f xm恰好有一个负根，则(11)mfa 令( )e (1),1 x g xxx ，则( )e0 x g xx ， 所以( )e (1) x g xx 在1x时单调减，即 2 ( )(1) e g xg， 等号当且仅当1x 时取到 所以 2 2 (11)( ) e fa ，等号当且仅当0a 时取到 且此时 1 1 (1 1)2e(1 1)0 a faa ， 即(1 1)fa (1 1)fa ， 所以要使方程( )f xm恰好有一个正根和一个负根，m的最大值为 2 4 e 20解： （1）设等差数列 n a的公差为d
16、， 所以 11n aand ， 1 (1) 2 n n n Snad ， 由 11 2()()() nnnnnn bSS Sn SSn N，得 11 2(2) nnnnn baSnSa ，及由0 n b ， 又由0 n b ，得 1111 (1) 2()2(1)0 2 n n andnadnnan ndand 对一切n N都成立, 即 2222 11111 (32 )20dd nadda naada对一切n N都成立 令1n ，2n ，解之得 1 0, 0, d a 或 1 1, 1, d a 经检验，符合题意， 所以 n a的通项公式为0 n a 或 n an （2）由题意得 1 21 2n
17、 n a ， 1 2 3 2n n a ， 2 21 3(21)4 24 nnn n S ， 11 2122 4 243 25 24 nnn nnn SSa 2212221 22 (2) nnnnn baSnSa 2 2(4 24)2 (8 282 ) nnnn n 12 2(294) 16 nn nn 21221212 2(21)(2) nnnnn ba SnSa 1111 6 2(5 24)(21)(10 283 2) nnnn n 11 2(30 22611) 168 nn nn 1211 221 2(294) 162(30 22611) 168 nnnn nn bbnnnn 121 5
18、5 2 (25)8282 (5) 22 nnnn nn 记 21 5 282)() 2 (5 nn nf n ，即 15 ( )2 2(5) 22 8 nn f nn， 记 15 ( )2(5) 22 n g nn， 则 1 11515 (1)( )2(5)25 2222 nn g ng nnn 1 25 2 n ， 当1n ，2，3 时，(1)( )0g ng n， 当*nN时，4n，(1)( )g ng n 1 250 2 n ， 因为1n 时， 13 (1)0 2 g ，所以(4)0g；且 1 (6)0 2 g ； 53 (7)0 2 g 所以 15 ( )2 2(5) 22 8 nn f nn在7(*)nnN时也是单调递增， 1n 时，(1)50f ； 2n 时，(2)340f ； 3n 时，(3)1000f ； 4n 时，(4)2240f ； 5n 时，(5)3600f ； 6n 时，(6)240f ； 7n 时，(7)34000f， 所以满足条件的正整数 n 的集合为1，2，3，4，5，6
