1、猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广义务教育北师大版数学九年级上册九年级备课组九年级备课组猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广情境情境 一年一度的中秋如期而至，整个宜昌洋溢在浓浓的节日气氛里，一盏盏彩灯形成了城市一道美丽的夜景.ABCDABCDABCD 2013年的中秋如期而至，整个宜昌洋溢在浓浓的节日气氛里，一盏盏闪动的彩灯形成了城市一道美丽的夜景
2、.情景情景创设情景创设 导入新知导入新知 思考1：正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为a a，你能从画面，你能从画面中找到一个正方形，它的中找到一个正方形，它的周长和面积分别是正方周长和面积分别是正方形形ABCDABCD周长和面积的周长和面积的2 2倍吗倍吗?请说明理由请说明理由.ABCDABCDABCD几何代数情景创设情景创设 导入新知导入新知 思考1：正方形正方形ABCDABCD的边长的边长为为a a，你能从画面中找到一个正方，你能从画面中找到一个正方形，它的周长和面积分别是正方形形，它的周长和面积分别是正方形ABCDABCD周长和面积的周长和面积的2 2倍吗倍吗?请说明请说明理由
3、理由.ABCDABCDABCD给定的矩形给定的矩形 所求的正方所求的正方形形 边长边长 a a 周长周长 4a 4a 8a8a 面积面积 a a2 2 2a2a 4a4a2 2a2a24代数代数计算计算满足条满足条件的正件的正方形不方形不存在存在！举例举例思思122a思考一：正方形ABCD的边长为a，你能从画面中找到一个正方形，其周长和面积分别是正方形ABCD周长和面积的2倍吗?请说明理由.ABCDABCDABCD情景创设情景创设 导入新知导入新知几何图形几何图形?因为所有的正方形都是相似的，根据相似因为所有的正方形都是相似的，根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于周长比的图形的性质，相似图
4、形的面积比等于周长比的平方，所以满足条件的正方形不存在平方，所以满足条件的正方形不存在.思思1 任给一个几何图形（非线段），一定不存在另一个与任给一个几何图形（非线段），一定不存在另一个与它它 的图形，其周长和面积分别是已知图形周长和面积的图形，其周长和面积分别是已知图形周长和面积的的2 2倍倍.结论：给定一个正方形，一定不存在另一个正方结论：给定一个正方形，一定不存在另一个正方形的周长和面积分别是已知正方形的周长和面积的形的周长和面积分别是已知正方形的周长和面积的2 2倍倍.相似情景创设情景创设 导入新知导入新知代数计算代数计算几何图形几何图形数数形形 给定一个正方形给定一个正方形 ，是否存
5、在，是否存在另一个正方形的周长和面积分另一个正方形的周长和面积分别是已知正方形的周长和面积别是已知正方形的周长和面积的的2 2倍？倍？你还能举出其他你还能举出其他的图形能得到类的图形能得到类似的结论吗似的结论吗？情景创设情景创设 导入新知导入新知 新问题：新问题：任意给定一个矩形，是否存在一个矩形任意给定一个矩形，是否存在一个矩形的周长和面积分别是给定矩形的周长和面的周长和面积分别是给定矩形的周长和面积的积的2 2倍吗？倍吗？思考1：给定一个正方形是否存在一个正方形，其周长和面积分别是给定正方形的周长和面积的2倍吗?你能对矩形提你能对矩形提出类似问题吗？出类似问题吗？活动1：小组合作 类比探究
6、 探究：给定如下矩形，是否存在一个矩形的周长和面积是已知矩形的周长和面积的2倍呢？2 2 1长为2，宽为1活动探究活动探究 探索新知探索新知 活动1：小组合作 类比探究给定的矩形给定的矩形 所求的矩形所求的矩形 长长 2 2 宽宽 1 1 周长周长 6 6 1212 1212 1212 1212 面积面积 2 2给定的矩形给定的矩形 所求的矩形所求的矩形 长长 2 2 宽宽 1 1 周长周长 6 6 面积面积 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4表二表一填写表格你能在表格中找到符合条件的矩形吗？活动1：小组合作 类比探究给定的矩形给定的矩形 所求的矩形所求的矩形 长长 2 2 宽宽 1 1
7、周长周长 6 6 1212 1212 1212 1212 面积面积 2 2表一 活动1：小组合作 类比探究给定的矩形给定的矩形 所求的矩形所求的矩形 长长 2 2 宽宽 1 1 周长周长 6 6 面积面积 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 表二 活动1：小组合作 类比探究给定的矩形给定的矩形 所求的矩形所求的矩形 长长 2 2 宽宽 1 1 周长周长 6 6 1212 1212 1212 1212 面积面积 2 2给定的矩形给定的矩形 所求的矩形所求的矩形 长长 2 2 宽宽 1 1 周长周长 6 6 面积面积 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4表二表一填写表格你能在表格中找到符合条
8、件的矩形吗？活动2：小组闯关 思维比拼验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.第一关：可设所求矩形的长为x，可列方程：x(6-x)=4x(6-x)=4或或64xx也可设所求矩形长、宽分别为也可设所求矩形长、宽分别为x x、y y，可列方程组，可列方程组64yxxy解得矩形的长、宽分别为解得矩形的长、宽分别为，53代数角度，53活动2：小组闯关 思维比拼第一关长、宽分别长、宽分别 为为2 2，1 1，53长、宽分别为长、宽分别为不不相相似似！53活动2：小组闯关 思维比拼验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩
9、形的周长和面积的2倍.第一关：代数角度 列出方程（组）方程（组）方程（组）有解有解 满足条件 的矩形存在方程根为正数方程根为正数活动2：小组闯关 思维比拼 第一关：验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.图形角度图形活动2：小组闯关 思维比拼 第一关：验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.图形角度6xyxy46yx4xy 方程 函数 函数函数图形一次函一次函数图像数图像反比例函反比例函数图像数图像图形活动2：小组闯关 思维比拼 第一关：验证：长、宽分别是2、1的矩形，一定存在一个矩形的
10、周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍.“代数”“图形”结论：给定长是结论：给定长是2 2、宽是、宽是1 1的矩形，的矩形，一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的长和面积的2 2倍。倍。一定存在一定存在活动2：小组闯关 思维比拼 第二关：请各个小组分别列举一个矩形长、宽请各个小组分别列举一个矩形长、宽值，你能否找到一个矩形的周长和面积值，你能否找到一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的分别是已知矩形周长和面积的2 2倍呢？倍呢？看看哪个小组完成的又快又准？看看哪个小组完成的又快又准？活动2：小组闯关 思维比拼第三关：设所求矩形的长为设
11、所求矩形的长为x x，则宽为，则宽为2 2（m+n)-xm+n)-x 根据题意得根据题意得 x2 x2（m+n)-xm+n)-x=4mn=4mn 整理得整理得 x x2 2-2-2（m+n)x+4mn=0m+n)x+4mn=0 =-2(m+n)=-2(m+n)2 2-8mn=4m-8mn=4m2 2+4n+4n2 200 方程组有两个不相等的正实数根方程组有两个不相等的正实数根 这样的矩形存在这样的矩形存在 给定长、宽分别是m、n(m0,n0)的矩形，是否存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍呢？你是这你是这样做的样做的吗？吗？且且x1+x2=2（m+n)0,x1x2=4mn
12、0第三关：第三关：活动活动2 2：小组闯关：小组闯关 思维比拼思维比拼 结论：结论：任意给定一个矩形，任意给定一个矩形，一个矩形的周长和面积分别是给一个矩形的周长和面积分别是给定矩形周长和面积的定矩形周长和面积的2 2倍倍.一定存在一定存在 给定长、宽分别是m、n（m0m0,n0)n0)的矩形，是否存在一个矩形的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍吗？新知应用新知应用 尝试训练尝试训练 验证验证“存在性存在性”的问题，可的问题，可以转化成如下问题来探究：以转化成如下问题来探究：方法总结方法总结：1.1.方程（组）是否有解；（方程（组）是否有解；（“数数”）2.2.两函数图像有无交点；（两
13、函数图像有无交点；（“形形”）收获收获 已知矩形的长和宽分别是已知矩形的长和宽分别是3 3和和2 2，另一个矩形的周长和面积分别是已另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的n n倍（倍（n n为正数为正数),),满足条件的矩形一定存满足条件的矩形一定存在吗？请说明理由在吗？请说明理由.知识拓展知识拓展 发展思维发展思维 拓展：结束结束回顾反思 课外延伸通过本节课的学习，你收获了什么？数学思想方法：数学思想方法：“数数”、“形形”结合；结合；建立方程（组）、函数的数学建立方程（组）、函数的数学模型模型;从特殊到一般的探索策略（即从特殊到一般的探索策略（即猜想猜想-验证验证-结论结论.）练习课本习题第170页，习题2(1)，3(1)布置作业谢 谢猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广
