1、1 2019-2020 学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 一、单项选择题：本题共 8 小題，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合題目要求的。 1. 己知集合 A=X|X2-X-20, B=x|y= ?,则 AB= A.x|-lx2 B. x|0 x2 C. x|x-l D. x|x0 2. “?xR,x2-x+l0”的否定是 A.?xR,X2-X+10B. ?xR, x2-x+10 C. ?xR, x2-x+l0,b0)的离心率为 ? ? ，则其渐近线方程为 A. 2x3y=0B. 3x2y=0C. x2y=0D. 2xy=0 4.设 a=log0.
2、53,b=0.53,c=? ? ? ?th?,则 a,b,c 的大小关系为 A.abcB. acbC. bacD. bca 5.为弘扬我国古代的“六艺文化”， 某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数” 六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周， 则所有可能的排法种数为 A. 216B. 480C. 504D. 624 6. 函数 y=|x|+sinx 的部分图象可能是 7.若 x=时，函数 f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则 sin= A. ? ? B. ? ? ? C. ? ? D. ? ? ? 2 8
3、.函数 ? ? ? ?th? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,若方程 f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根， 则实数 m 的取 值范围是 A. (-,4)B. (-,4C. (-2,4)D. (-2,4 二、多项选择题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 題目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分. 9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度， 随机调査了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图 所示的列联表.经计算 K2的观测值 k4.762，则可以推断出
4、A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为? ? B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C.有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D.有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10.已知函数 f(x)=sin(3x+?)(-? ? ? ?)的图象关于直线 x= ? ?对称，则 A.函数 f(x+? ?)为奇函数 B.函数 f(x)在 ? ?， ? ?上单调递増 C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2的最小值为? ? D.函数 f(x)的图象向右平移? ?个单位长度得到函数 y=-cos3x 的图象 11. 如图,在正方体ABCD-A1B
5、1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则 A.直线 BD1丄平面 A1C1D B.三棱锥 P-A1C1D 的体积为定值 C.异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是45,90 D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 ? ? 满意不满意 男3020 女4010 P(k2k) 0.1000.050 0.010 k2.706 3.841 6.635 3 12. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为F、准线为 l， 过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1,y1),G(x2,y2)， 点 P 在 l 上的射影为 P1，则 A. 若X1+X2=6.则|PQ|=8
6、B. 以 PQ为直径的圆与准线 l 相切 C. 设 M（O,1）,则|PM|+|PP1| ? D. 过点 M（0,1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条 三、 填空題：本題共 4 小題，每小题 5 分，共 20 分。 13. 己知向量 a,b 满足|a|=l,|b|= ?,a（a+b）,则 a 与 b 夹角为. 14. 已知随机变量 X?N（1,?2）,P（-1X1）=0.4,则 P（X3）=. 15. 设点 P 是曲线 y=ex+x2上任一点，则点 P 到直线 x-y-1=O 的最小距离为. 16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上， PA丄平面ABC， PA=
7、6,AB=2 ?,AC=2,BC=4， 则： （1）球 O 的表面积为； （2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面 面积的最小值是。 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。 17. （10 分）在条件(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,asinB=bcos(A+? ?),bsin ? ? =asinB 中任 选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c, b+c=6,a=? ?,_ , 求ABC 的面积. 注：如
8、选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. （12 分） 已知数列an的前 n 项和 Sn満足 2Sn=(n+1)an（nN）且 a1=2. （1）求数列an的通项公式; （2）设 bn=（an-1）2an.求数列bn的前 n 项和 Tn. 4 19.如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，ADBC,BCCD，平面SCD 丄平 面 ABCD.SCD 是 以 CD 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点，且 BE=2ES. (1)证明：直线 SD平面 ACE； (2)求二面角S-AC-E 的余弦值。 20. (12 分) 已
9、知椭圆的 ? ? ? ? ? ? ? 的离心率为 ? ? ，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点， |AF|+|BF|=8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设 Q(3,0),若AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围. 5 21. (12 分) 某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故 障相互独立，且出现故障的概率为? ?. (1)求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； (2)为提高生产效益，该企业决定招聘 n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行 修.已 知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定
10、工资为 1 万元.此外，统 计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及 时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利 润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据， 在 n=1 与 n=2 之中选其一， 应选用哪个？(实 际获利=生产线创造利润一维修工人工资) 22. (12 分) 已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ?企? ? ? ? ?,其中 Oae. (1)求函数 f(x)的单调区冋； (2)讨论函数 f(x)零点的个数； (3)若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2 或 35 10
11、 k .12 分 21解： （1）设 3 条生产线中出现故障的条数为X， 则 1 (3, ) 3 XB.2 分 因此 112 3 12124 (1)( ) ( )= 33279 P XC.4 分 （2）当1n 时，设该企业每月的实际获利为 1 Y万元. 若0X ，则 1 12 3 135Y ； 若1X ，则 1 12 2+8 1 131Y ； 若2X ，则 1 12 1+8 1+0 1 119Y ； 若3X ，则 1 12 0+8 1+0 2 17Y ；6 分 又 003 3 128 (0)( ) ( ) 3327 P XC， 221 3 126 (2)( ) ( ) 3327 P XC， 3
12、30 3 121 (3)( ) ( ) 3327 P XC，8 分 此时，实际获利 1 Y的均值 10 1 81261773 3531197= 2727272727 EY 9 分 当2n 时，设该企业每月的实际获利为 2 Y万元. 若0X ，则 2 12 3234Y ； 若1X ，则 2 12 2+8 1 230Y ； 若2X ，则 2 12 1+8 2226Y ； 若3X ，则 2 12 0+8 2+0 1 214Y ；11 分 2 81261802 34302614= 2727272727 EY 因为 12 EYEY. 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n 与2n 之中选其一
13、， 应选用2n .12 分 22. 解： （1）函数( )f x的定义域为 | 0 x x . 2 113 ()ln()2 22 fxxaxxaxax x ，1 分 ()(ln1)xax 令( )0fx，得xa或ex . 2 分 因为0ea， 当0 xa或ex 时， 0fx ，( )f x单调递增；当eax时， 0fx ，( )f x单调递减.所以 f x的增区间为0,a，e,，减区间为 e, a.4 分 （2）取=min1,2 a，则当(0, )x时， 1 0 2 xa，ln0 x ， 3 20 4 ax， 13 ( )()ln(2)0 24 f xxxaxxax； 又因为0ea， 由 （1
14、） 可知 f x在(0, )a上单增， 因此,当(0, xa， 恒( )0f x ， 即( )f x在(0, a上无零点.5 分 下面讨论xa的情况： 当 e 0 4 a时，因为( )f x在( ,e)a单减，(e,)单增，且( )0f a ， e (e)e()0 4 fa， 24 1 (e )=e0 4 f， 根据零点存在定理，( )f x有两个不同的零点.6 分 当 e = 4 a时，由( )f x在( ,e)a单减，(e,)单增，且(e)0f， 此时( )f x有唯一零点e.7 分 11 若 e e 4 a，由( )f x在( ,e)a单减，(e,)单增， e ( )(e)e()0 4
15、f xfa， 此时( )f x无零点.8 分 综上，若 e 0 4 a，( )f x有两个不同的零点；若 e = 4 a，( )f x有唯一零点e；若 e e 4 a，( )f x无零点. （3）证明：由（2）知， e 0 4 a，且 12 eaxx. 构造函数 2 e ( )( )()F xf xf x ，( ,e)xa.9 分 则( )F x 42 32 ee ()(ln1)()(ln1)xaxax xx 4324 3 ee (ln1) xaxax x x .10 分 令 4324 ( )eeg xxaxax ，( ,e)xa. 因为当( ,e)xa时， 22 e0 xax, 22 e0
16、x ， 所以 43242222 ( )ee =(e)(e )0g xxaxaxxax x 又ln1lne 10 x ，所以( )0F x恒成立，即( )F x在( , )a e单增. 于是当eax时，( )(e)0F xF，即 2 e ( )()f xf x .11 分 因为 1 ( ,e)xa，所 2 1 1 e ()()f xf x ， 又 12 ()()f xf x，所以 2 2 1 e ()()f xf x ， 因为 2 ex ， 22 1 ee e ex ，且( )f x在(e,)单增， 所以由 2 2 1 e ()()f xf x ，可得 2 2 1 e x x ，即 2 12 ex x .12 分
