1、数学试题第 1页（共 5页）2023 年高三二模参考答案数学数学本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1选 D2选 C3选 B4选 B5选 A6选 D7选 B8选 C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9【答案】选 BCD10【答案】选 ABC11【答案】选 BD12【答案】选 ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
2、20 分。13【答案】21214【答案】2 315【答案】2016【答案】313四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知等差数列na的前n项和为nS，若11a，且123,a a S成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）设141nnbS，求数列 nb的前n项和nT【解析】（1）设数列na的公差为d，由123,a a S成等比数列，得2132=a Sa即23 3(1)dd，解得2d 或-1，当1d 时20a 不合题意，所以2d，即21nan；（5 分）（2）由（1）得2nSn所以21111412 2121nbnnn所以11111
3、11111=21335212+122+121nnTnnnn（10 分）18（12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且23AB ACBA BCCA CB +=（1）求bc；（2）已知4B=，2a=，求ABC的面积【解析】（1）由题设得2cos3coscosbcAacBabC+=，由余弦定理，22222222223222bcaacbabcbcacabbcacab+-+-+-+=，数学试题第 2页（共 5页）整理得223bc=，所以3bc=（6 分）（2）由（1）知3bc=，由余弦定理得22(3)422cos4ccc=+-创，解得1022c-=，故ABC的面积为12512
4、sin2422cc-=（12 分）19（12 分）大气污染物2.5PM（大气中直径小于或等于 2.5m的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康 为了研究2.5PM的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了 24 个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点 24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中2.5PM的平均浓度（单位：3g/m），得到的数据如下表：城市编号汽车流量2.5PM浓度城市编号汽车流量2.5PM浓度11.3066111.8213521.4476121.439930.7821130.92354
5、1.65170141.445851.75156151.102961.75120161.8414071.2072171.114381.51120181.656991.20100191.5387101.47129200.9145（1）根据上表，若 24h内过往的汽车流量大于等于 1500 辆属于车流量大，2.5PM大于等于753g/m属于空气污染请结合表中的数据，依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？（2）设2.5PM浓度为y，汽车流量为x根据这些数据建立2.5PM浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到 0.01）附：22()()()(
6、)()n adbcab cd ac bd，20127.8iix，2011770iiy，202140.537iix，2021193694iiy，2012680.48iiix y在经验回归方程ybxa中，121()()()niiiniixxyybxxaybx【解析】（1）由题知，列二联表，如下图0.1000.0500.010 x2.7063.8416.635汽车流量大于等于 1500 辆汽车流量小于 1500 辆合计数学试题第 3页（共 5页）222()20(784 1)5.693.841()()()()11 9 8 12n adbcab cd ac bd ，依据小概率值0.05的独立性检验，可以
7、认为车流量大小与空气污染有关联（5 分）（2）由题知，20112022221127.81770()()202680.48202020116.1927.840.53720()()20niiiiiiniiiixxyyx yxybxxxnx，177027.8116.1973.002020ayb x，故2.5PM浓度关于汽车流量的经验回归方程为116.1973.00yx（12 分）2.5PM大于等于 7574112.5PM小于 75189合计81220数学试题第 4页（共 5页）20（12 分）如图，已知四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADBC，90DAB，4AB
8、BC，5PAPC（1）求证：PBAC；（2）若平面PBD 平面PBC，且PAD中，AD边上的高为 3，求AD的长【解析】（1）设线段AC中点为E，连接BE，PE，由ABBC及PAPC得BEAC且PEAC，又BEPEE，所以AC 平面PBE，又PB 平面PBE，所以PBAC（5 分）（2）过点P作PO垂直直线AD于点O，则3PO，因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD及PO 平面PAD，所以PO 平面ABCD，连接OC，由5PAPC，3PO，易知4OAOC，所以四边形ABCO是菱形，因为90DAB，所以四边形ABCO是正方形，且,OA OC OP两两互相垂直，以O为空
9、间直角坐标系原点，分别以OC，OA，OP方向为x轴正半轴，y轴正半轴，z轴正半轴，建立如图空间直角坐标系设ODa，则(0,0,3)P，(0,0)Da，(4,4,0)B，(4,0,0)C，即0,3PDa，4,4,3PB ，0,4,0BC ，4,0,3PC ，设平面PBD的法向量为111,mx y z，则0m PD ，0m PB ，得1144axy，113azy；不妨取11y，则4,1,43aam，同理可得平面PBC的一个法向量41,0,3n，由平面PBD 平面PBC得0m n，所以3625a，即366442525AD（12 分）21（12 分）已知双曲线2222:1(00)xyCabab，-=的
10、焦距为2 3，离心率62e=（1）求双曲线C的方程；（2）设,P Q为双曲线C上异于点M(2,)a b的两动点，记直线,MP MQ的斜率分别为12,kk，若数学试题第 5页（共 5页）12122kkk k+=，求证：直线PQ过定点【解析】（1）由题意知22 3c=，62ca=，222cab=+，解得2,1ab=，所以双曲线C的方程为2212xy-=（4 分）（2）由题意可知直线PQ斜率存在，设其方程为ykxm=+，与2212xy-=联立，得222(12)4220kxkmxm-=，设11(,)P x y，22(,)Q xy，则2121222422,1212kmmxxx xkk-+=-，（6 分）
11、由12122kkk k+=得12121212111122222yyyyxxxx-+=-，即1212121212(1)(2)(2)(1)2(1)(1)(2)(2)(2)(2)yxxyyyxxxx-+-=-，即121212(1)(2)(2)(1)2(1)(1)kxmxxkxmkxmkxm+-+-+-=+-+-，即2212121212122(1)()2()4(1)22(1)()2(1)kx xmxxk xxmk x xk mxxm+-+-+-=+-+-，将2121222422,1212kmmxxx xkk-+=-代入上式并整理得22210mkkm+-=，（9 分）即(1)(1 2)0mmk+-+=，
12、故1m=-或12mk=-当1m=-时，直线PQ方程为1ykx=-过定点(0,1)-；当12mk=-时，直线PQ方程为(2)1yk x=-+过点M与题意矛盾综上，直线PQ过定点(0,1)-（12 分）22（12 分）已知函数1()2lnf xxx（1）求函数()()g xf xx的零点；（2）证明：对于任意的正实数k，存在00 x，当0(,)xx时，恒有()kxf x【解析】（1）由题，1()2lng xxxx，定义域为(0,)，因为22121()1(1)0g xxxx ，所以函数()g x在区间(0,)上单调递减（3 分）又(1)0g，故函数()g x的零点为1（5 分）（2）由（1）可知1x 时，()0g x，即12ln(1)xxxx，因此1ln2ln(1)xxxx xx，进而4ln2ln22(1)xxxx x注意到，当0k 时，12kxx等价于232()xk，442kxx等价于48()xk，于是，对于任意的正实数k，取243024max(),(),1xkk，则当0(,)xx时，有41142ln()22kkkxxxxxf xxx，即证（12 分）
