1、2020 年高考数学督导试卷（年高考数学督导试卷（5 月份）月份） 一一.选择题（每小题选择题（每小题 5 分，共分，共 45 分）分） 1设集合设集合 U0，1，3，5，6，8，A1，5，8，B2，则（，则（UA）B（ ） A0，2，3，6 B0，3，6 C1，2，5，8 D 2对于实数对于实数 a，b，c，“，“ab”是“”是“ac2bc2”的（”的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 3函数函数的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 4已知三棱锥已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球
2、的四个顶点在球 O 的球的球面上，面上，PAPBPC，且两两垂直，且两两垂直，ABC 是边长为是边长为 2 的正三角形，则球的正三角形，则球 O 的体积为（的体积为（ ） A8 B4 C D 5已知圆已知圆 C：x2+y2+8xm+20 与直线与直线 xy+10 相交于相交于 A，B 两点若两点若ABC 为正为正 三角形，则实数三角形，则实数 m 的值为（的值为（ ） A10 B11 C12 D11 6如果函数如果函数 y3cos（2x+）的图象关于点（）的图象关于点（，0）中心对称，那么）中心对称，那么|的最小值为（的最小值为（ ） ） A B C D 7已知奇函数已知奇函数 f（x）在）在
3、 R 上是减函数，若上是减函数，若 af（1og3），），bf（），），cf（2 0.8）， ）， 则则 a，b，c 的大小关系为（的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 8已知双曲线已知双曲线与抛物线与抛物线 y22px（p0）的交点为：）的交点为：A、B，A、B 连线经过抛物线的焦点连线经过抛物线的焦点 F，且线段，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A1 B3 C D2 9已知函数已知函数 f（x），若方程，若方程 f（x）x+a 有有 2 个不同的实根，则实个不同的实根，则实 数数 a 的取值范
4、围是（的取值范围是（ ） Aa|1al 或或 al Ba|a1 或或 0al 或或 a1 Ca|al 或或 a0 Da|a1 或或 a0 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10已知复数已知复数 z03+i（i 为虚数单位），复数为虚数单位），复数 z 满足满足 z z02z+z0，则，则|z| 11如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 已知甲组数据的中位数为已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为，乙组数据的平
5、均数为 16.8，则，则 x，y 的值分别的值分别 为为 ， 12一个袋中装有一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少个球，至少 得到一个白球的概率是得到一个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为，则袋中的白球个数为 ，若从袋中任，若从袋中任意摸出意摸出 3 个球，记个球，记 得到白球的个数为得到白球的个数为 ，则随机变量，则随机变量 的数学期望的数学期望 E 13若若的展开式中所有项系数和为的展开式中所有项系数和为 81，则展开式的常数项为，则展开式的常数项为 14若若 x4，y1，且，且 xy12+x+4y
6、，则，则 x+y 的最小值是的最小值是 15 如图， 在 如图， 在ABC 中，中， D 是是 BC 的中点，的中点， E 在边在边 AB 上，上， BE2EA， AD 与与 CE 交于点交于点 O 若 若 6 ，则，则的值是的值是 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16在在ABC 中，中，a，b，C 为内角为内角 A，B，C 的对边，且满足（的对边，且满足（2ca）cosBbcosA0 （）求角（）求角 B 的大小；的大小； （）已知（）已知 c2，a3， （i）求）求
7、b 及及 cosC； （ii）求）求 sin（2C） 17如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，PA平面平面 ABCD，ABCBAD90，ADAP 4，ABBC2，M，N 分别为线段分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点）上的点（不在端点） （）当（）当 M 为为 PC 中点时，中点时，ANAD，求证：，求证：MN面面 PBA； （）当（）当 M 为中点且为中点且 N 为为 AD 中点时，求证：平面中点时，求证：平面 MBN平面平面 ABCD； （） 当（） 当 N 为为 AD 中点时， 是否存在中点时， 是否存在 M， 使得直线， 使得直线 MN 与平面与平面 PBC 所成角的
8、正弦值为所成角的正弦值为， 若若存在，求出存在，求出 MC 的长，若不存在，说明理由的长，若不存在，说明理由 18已知数列已知数列an前前 n 项和为项和为 Snn2n，数列，数列bn等差，且满足等差，且满足 b311，前，前 9 项和为项和为 153 （）求数列（）求数列an、bn的通项公式；的通项公式； （）设（）设 cn，数列，数列cn的前的前 n 项和为项和为 Tn 19已知椭圆已知椭圆 C：1（ab0）的离心率）的离心率 e，椭圆，椭圆 C 上的点到其左焦点的最上的点到其左焦点的最 大距离为大距离为 2 （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2）过点）过点 A（a，0）作直线
9、）作直线 l 与椭圆相交于点与椭圆相交于点 B，则，则 y 轴上是否存在点轴上是否存在点 P，使得线段，使得线段 |PA|PB|，且，且4？如果存在，求出点？如果存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由坐标；否则请说明理由 20（16 分）已知函数分）已知函数 f（x）msin（1x）+lnx （1）当）当 m1 时，求函数时，求函数 f（x）在（）在（0，1）的单调性；）的单调性； （2）当）当 m0 且且时，时，求函数，求函数 g（x）在（）在（0，e上的最小值；上的最小值； （3）当）当 m0 时，时，有两个零点有两个零点 x1，x2，且，且 x1x2，求证：，求证：x1+x21 参考答案
10、参考答案 一一.选择题（每小题选择题（每小题 5 分，共分，共 45 分）分） 1设集合设集合 U0，1，3，5，6，8，A1，5，8，B2，则（，则（UA）B（ ） A0，2，3，6 B0，3，6 C1，2，5，8 D 【分析】根据集合的基【分析】根据集合的基本运算即可得到结论本运算即可得到结论 解：解：U0，1，3，5，6，8，A1，5，8，B2， （UA）B0，3，621，0，2，3，6， 故选：故选：A 2对于实数对于实数 a，b，c，“，“ab”是“”是“ac2bc2”的（”的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必
11、要条件既不充分也不必要条件 【分析】不等式的基本性质，“【分析】不等式的基本性质，“ab”“ac2bc2”必须有”必须有 c20 这一条件这一条件 解：解：主要考查不等式的性质当主要考查不等式的性质当 C0 时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左 边边 故选：故选：B 3函数函数的图象的图象大致为（大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数是否存在零点，以及【分析】根据函数是否存在零点，以及 f（1）的符号，利用排除法进行判断即可）的符号，利用排除法进行判断即可 解：解：f（1）0，排除，排除 C，D， 由由0，则方程无解，即函数没有零点，排除
12、，则方程无解，即函数没有零点，排除 B， 故选：故选：A 4已知三棱锥已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球的四个顶点在球 O 的球面上，的球面上，PAPBPC，且两两垂直，且两两垂直，ABC 是边长为是边长为 2 的正三角形，则球的正三角形，则球 O 的体积为（的体积为（ ） A8 B4 C D 【分析】题意可知，把三棱锥【分析】题意可知，把三棱锥 PABC 放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥 P ABC 的外接球，从而即可求出球的外接球，从而即可求出球 O 的半径，的半径，进而得到球进而得到球 O 的体积的体积 解：解：把三棱锥把三棱锥 PABC 放
13、入正方体中，如图所示：放入正方体中，如图所示： ABC 是边长为是边长为 2 的正三角形，的正三角形， 此正方体的棱长为此正方体的棱长为， 正方体的外接球即是三棱锥正方体的外接球即是三棱锥 PABC 的外接球，的外接球， 球球 O 的半径的半径 R， 球球 O 的体积为：的体积为：， 故选：故选：C 5已知圆已知圆 C：x2+y2+8xm+20 与直线与直线 xy+10 相交于相交于 A，B 两点若两点若ABC 为正为正 三角形，则实数三角形，则实数 m 的值为（的值为（ ） A10 B11 C12 D11 【分析】由题意求出圆心【分析】由题意求出圆心 C 的坐标，由直线与圆相交，用圆的半径和
14、圆心到直线的距离的坐标，由直线与圆相交，用圆的半径和圆心到直线的距离 和半个弦长构成直角三角形求出弦和半个弦长构成直角三角形求出弦长，再由若长，再由若ABC 为正三角形，求出为正三角形，求出 m 的值的值 解：解：圆圆 C：x2+y2+8xm+20 化为标准方程是（化为标准方程是（x+4）2+y214+m； 则圆心则圆心 C（4，0），半径为），半径为（其中（其中 m14）；）； 所以圆心所以圆心 C 到直线到直线的距离为的距离为， 在等边三角形中得， 在等边三角形中得， ， 解得解得 m10， 故选：故选：A 6如果函数如果函数 y3cos（2x+）的图象关于点（）的图象关于点（，0）中心对
15、称，那么）中心对称，那么|的最小值为（的最小值为（ ） ） A B C D 【分析】先根据函数【分析】先根据函数 y3cos（2x+）的图象关于点）的图象关于点中心对称，令中心对称，令 x代入函代入函 数使其等于数使其等于 0，求出，求出 的值，进而可得的值，进而可得|的最小值的最小值 解：解：函数函数 y3cos（2x+）的图象关于点）的图象关于点中心对称中心对称 由此易得由此易得 故选：故选：A 7已知奇函数已知奇函数 f（x）在）在 R 上是减函数，若上是减函数，若 af（1og3），），bf（），），cf（2 0.8）， ）， 则则 a，b，c 的大小关系为（的大小关系为（ ） Aab
16、c Bacb Cbca Dcab 【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小 解：解：奇函数奇函数 f（x）在）在 R 上是减函数，上是减函数， log34（1，2），），0，2 0.8（ （0，1），）， af（1og3）f（log34），），bf（），），cf（2 0.8） ）f（），）， 则则 acb， 故选：故选：B 8已知双曲线已知双曲线与抛物线与抛物线 y22px（p0）的交点为：）的交点为：A、B，A、B 连线经过抛物线的焦点连线经过抛物线的焦点 F，且线段，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为的长
17、等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 （ ） A1 B3 C D2 【分析】由已知条件推导出【分析】由已知条件推导出|AB|2p2b，从而得到，从而得到 A（），由此能求出双曲线的），由此能求出双曲线的 离心率离心率 解：解：双曲线双曲线与抛物线与抛物线 y22px（p0）的交点为：）的交点为：A、B， A、B 连线经过抛物线的焦点连线经过抛物线的焦点 F，且线段 ，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，的长等于双曲线的虚轴长， |AB|2p2b，即，即 pb， A（），把），把 A（）代入双曲线）代入双曲线， 得得，整理，得：，整理，得：b28a2， c2a2+b29a2， c3a， e3
18、 故选：故选：B 9已知函数已知函数 f（x），若方程，若方程 f（x）x+a 有有 2 个不同的实根，则实个不同的实根，则实 数数 a 的取值范围是（的取值范围是（ ） Aa|1al 或或 al Ba|a1 或或 0al 或或 a1 Ca|al 或或 a0 Da|a1 或或 a0 【分析】先利用导数的几何意义求出当直线【分析】先利用导数的几何意义求出当直线 yx+a 与曲线与曲线 ylnx 相切时相切时 a1，当，当 x0 时，时，f（x）x2ax，令，令 f（x）x+a， 得（得（x1）（）（x+a）0，再对，再对 a 的值分情况讨论，分段分析方程的值分情况讨论，分段分析方程 f（x）x+
19、a 的实根的的实根的 个数，从而得到个数，从而得到 a 的取值范围的取值范围 解：解：当直线当直线 yx+a 与曲线与曲线 ylnx 相切时，设切点为（相切时，设切点为（t，lnt），则切线斜率为），则切线斜率为 k1， 所以所以 t1，切点为（，切点为（1，0），代入），代入 yx+a 得，得，a1， 又又 x0 时，时，f（x）x2ax，令，令 f（x）x+a，得，得x2axx+a，即（，即（x1）（）（x+a） 0， 所以所以当当 a1 时，时，lnxx+a（x0）有）有 1 个实根，此时（个实根，此时（x1）（）（x+a）0（x0） 有有 1 个实根，满足条件；个实根，满足条件； 当当
20、 a1 时，时，lnxx+a（x0）有）有 2 个实根，此时（个实根，此时（x1）（）（x+a）0（x0）有）有 1 个实根，不满足条件；个实根，不满足条件； 当当 a1 时，时，lnxx+a（x0）无实根，此时要使（）无实根，此时要使（x1）（）（x+a）0（x0）有）有 2 个实根，应有个实根，应有a0 且且a1，即，即 a0 且且 a1， 综上所述，实数综上所述，实数 a 的取值范围是的取值范围是a|a1 或或 0a1 或或 a1， 故选：故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10已知复数已知复数 z03+i（i
21、 为虚数单位），复数为虚数单位），复数 z 满足满足 z z02z+z0，则，则|z| 【分析】把已知等式变形，再把【分析】把已知等式变形，再把 z03+i 代入，利代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后用复数代数形式的乘除运算化简，最后 由复数模的计算公式求解由复数模的计算公式求解 解：解：由由 z z02z+z0，得（，得（z02）zz0， z03+i，z， 则则|z| 故答案为：故答案为： 11如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 已知甲组数据的中位数为已知甲组数据的中位数为
22、15， 乙组数据的平均数为， 乙组数据的平均数为 16.8， 则， 则 x， y 的值分别为的值分别为 5 ， 8 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出 x、y 的值的值 解：解：根据茎叶图中的数据，得：根据茎叶图中的数据，得： 甲组数据的中位数为甲组数据的中位数为 15，x5； 又乙组数据的平均数为又乙组数据的平均数为 16.8， 16.8， 解得：解得：y8； 综上，综上，x、y 的值分别为的值分别为 5、8 故答案为：故答案为：5 8 12一个袋中装有一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中
23、任意摸出个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少个球，至少 得到一个白球的概率是得到一个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为，则袋中的白球个数为 5 ，若从袋中任意摸出，若从袋中任意摸出 3 个球，记得个球，记得 到白球的个数为到白球的个数为 ，则随机变量，则随机变量 的数学期望的数学期望 E 【分析】根据至少得到一个白球的概率是【分析】根据至少得到一个白球的概率是 ，可得全取到黑球的概率为，可得全取到黑球的概率为 ，结合超几何分，结合超几何分 布的相关知识可得白球个数，以及随机变量布的相关知识可得白球个数，以及随机变量 的期望的期望 解：解：依题意，设白球个数为依题意，设
24、白球个数为 x，至少得到一个白球的概率是，至少得到一个白球的概率是 ，则全是黑球的概率为，则全是黑球的概率为 ， 所以所以，即（，即（10x）（）（9x）20，解得，解得 x5， 依题意，随机变量依题意，随机变量 H（10，5，3），所以），所以 E， 故答案为：故答案为：5， 13若若的展开式中所有项系数和为的展开式中所有项系数和为 81，则展开式的常数项为，则展开式的常数项为 8 【分析】在二项展开式的通项公式中，令【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于令，求得的幂指数等于令，求得 r 的值，可得展开式的值，可得展开式 的常数项的常数项 解：解：若若的展开式中所有项系数和为
25、的展开式中所有项系数和为 3n81，n4 则展开式的通项公式为则展开式的通项公式为 Tr+1 24 r ，令，令 40，求得，求得 r3， 可得常数项为可得常数项为 28， 故答案为：故答案为：8 14若若 x4，y1，且，且 xy12+x+4y，则，则 x+y 的最小值是的最小值是 13 【 分 析 】 由 条 件 可 知【 分 析 】 由 条 件 可 知 x 4 0 ， y 1 0 ， 所 以 （， 所 以 （ x 4 ） （） （ y 1 ） ） 16，解之得最小值，解之得最小值 解：解：因为因为 x4，y1 且且 xy12+x+4y， 所 以所 以 x 4 0 ， y 1 0 ， 则
26、（， 则 （ x 4 ） （） （ y 1 ） ） xy x 4y+4 12+4 16， 当且仅当当且仅当 x4y14 时取等号，时取等号， 所以（所以（x+y5）264，解得，解得 x+y58， 故故 x+y13 所以最小值为所以最小值为 13 故答案为：故答案为：13 15 如图， 在 如图， 在ABC 中，中， D 是是 BC 的中点，的中点， E 在边在边 AB 上，上， BE2EA， AD 与与 CE 交于点交于点 O 若 若 6 ，则，则的值是的值是 【分析】首先算出【分析】首先算出，然后用，然后用、表示出表示出、，结合，结合 6 得得，进一步可得结果，进一步可得结果 解：解：设设
27、（），）， （） （1） ， （），）， ， 6 6（） （） （） ， ， ，3， 故答案为：故答案为： 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16在在ABC 中，中，a，b，C 为内角为内角 A，B，C 的对边，且满足（的对边，且满足（2ca）cosBbcosA0 （）求角（）求角 B 的大小；的大小； （）已知（）已知 c2，a3， （i）求）求 b 及及 cosC； （ii）求）求 sin（2C） 【分析】（） 由已知及正弦定理， 三角函数恒等变换的应用， 结合【分析】
28、（） 由已知及正弦定理， 三角函数恒等变换的应用， 结合 sinC0， 可得， 可得 cosB， 根据范围根据范围 B（0，）可求）可求 B 的值的值 （）（）（i）由已知利用余弦定理可求）由已知利用余弦定理可求 b 及及 cosC 的值；（的值；（ii）利用同角三角函数基本关系）利用同角三角函数基本关系 式可求式可求 sinC 的值，进而利用二倍角公式可求的值，进而利用二倍角公式可求 sin2C，cos2C 的值，根据两角差的正弦函的值，根据两角差的正弦函 数公式即可解得数公式即可解得 sin（2C）的值）的值 解：解：（）（）（2ca）cosBbcosA0， 由正弦定理得（由正弦定理得（2
29、sinCsinA）cosBsinBcosA0， （2sinCsinA）cosBsinBcosA， 2sinCcosBsin（A+B），）， A+BC，且，且 sinC0， cosB， B（0，），）， B （）（）（i）B，c2，a3， b， cosC （ii）sinC， sin2C2sinCcosC，cos2C2cos2C1， sin（2C）sin2Ccoscos2Csin 17如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，PA平面平面 ABCD，ABCBAD90，ADAP 4，ABBC2，M，N 分别为线段分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点）上的点（不在端点） （）当（）当 M
30、为为 PC 中点时，中点时，ANAD，求证：，求证：MN面面 PBA； （）当（）当 M 为中点且为中点且 N 为为 AD 中点时，求证：平面中点时，求证：平面 MBN平面平面 ABCD； （） 当（） 当 N 为为 AD 中点时， 是否存在中点时， 是否存在 M， 使得直线， 使得直线 MN 与平面与平面 PBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为， 若存在，求出若存在，求出 MC 的长，若不存在，说明理由的长，若不存在，说明理由 【分析】（）取【分析】（）取 BC 中点中点 E，连结，连结 ME，NE，推导出，推导出 MEPB，NEAB，从而平面，从而平面 PAB平面平面 MNE，由此能证明
31、，由此能证明 MN面面 PBA （）以（）以 A 为原点，为原点，AB 为为 x 轴，轴，AD 为为 y 轴，轴，AP 为为 z 轴，建立空轴，建立空间直角坐标系，利用间直角坐标系，利用 向量法能证明平面向量法能证明平面 MBN平面平面 ABCD （）假设存在存在（）假设存在存在 M（a，b，c），使得直线），使得直线 MN 与平面与平面 PBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为， 推导出推导出 M（22，22，4），求出平面），求出平面 PBC 的法向量，利用向量法能的法向量，利用向量法能 推导出不存在推导出不存在 M，使得直线，使得直线 MN 与平面与平面 PBC 所成角的正弦值为所成角的
32、正弦值为 解：解：（）证明：取（）证明：取 BC 中点中点 E，连结，连结 ME，NE， 在四棱锥在四棱锥 PABCD 中，中，PA平面平面 ABCD，ABCBAD90， ADAP4，ABBC2，M 为 为 PC 中点，中点，ANAD， MEPB，NEAB， PBABB，MENEE，平面，平面 PAB平面平面 MNE， MN平面平面 MNE，MN面面 PBA （）证明：以（）证明：以 A 为原点，为原点，AB 为为 x 轴，轴，AD 为为 y 轴，轴，AP 为为 z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系， 则则 B（2，0，0），），C（2，2，0），），P（0，0，4），），M（1
33、，1，2），），N（0，2，0），）， （1，1，2），），（1，1，2），）， 设平面设平面 MBN 的法向量的法向量（x，y，z），）， 则则，取，取 x1，得，得（1，1，0），）， 平面平面 ABCD 的法向量的法向量（0，0，1），）， 0，平面，平面 MBN平面平面 ABCD （）解：假设存在存在（）解：假设存在存在 M（a，b，c），使得直线），使得直线 MN 与与平面平面 PBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 ， 则（则（a2，b2，c）（2，2，4），解得），解得 a22，b22，c4，M（2 2，22，4），）， 则则（22，2，4），），（0，2，0），），（2，0，
34、4），）， 设平面设平面 PBC 的法向量的法向量（a，b，c），）， 则则，取，取 a2，得，得（2，0，1），）， 直线直线 MN 与平面与平面 PBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为， ， 整理，得整理，得 2428+30，无解，无解， 不存在不存在 M，使得直线，使得直线 MN 与平面与平面 PBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 18已知数列已知数列an前前 n 项和为项和为 Snn2n，数列，数列bn等差，且满足等差，且满足 b311，前，前 9 项和为项和为 153 （）求数列（）求数列an、bn的通项公式；的通项公式； （）设（）设 cn，数列，数列cn的前的前 n 项和为
35、项和为 Tn 【分析】（）运用数列的递推式：【分析】（）运用数列的递推式：n1 时，时，a1S1，n2 时，时，anSnSn1，可得，可得 an； 再设再设bn的公差为的公差为 d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而 得到得到 bn； （）求得（）求得 cn（），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和 解：解：（）由（）由 Snn2n，可得，可得 a1S16， n2 时，时，anSnSn1 n2n（n1）2（n1）n+5，对，对 n1 也成立，也成立， 则则 ann+5
36、，n一、选择题一、选择题*， 由数列由数列bn等差，公差设为等差，公差设为 d，满足，满足 b311，前，前 9 项和为项和为 153， 可得可得 b1+2d11，9b1+36d153，即，即 b1+4d17，解得，解得 b15，d3， 则则 bn5+3（n1）3n+2，nN*； （）（）cn （），）， 则前则前 n 项和为项和为 Tn（1）（1） 19已知椭圆已知椭圆 C：1（ab0）的离心率）的离心率 e，椭圆，椭圆 C 上的点到其左焦点的最上的点到其左焦点的最 大距离为大距离为 2 （1）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （2）过点）过点 A（a，0）作直线）作直线 l 与椭圆相交
37、于点与椭圆相交于点 B，则，则 y 轴上是否存在点轴上是否存在点 P，使得线段，使得线段 |PA|PB|，且，且4？如果存在，求出点？如果存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由坐标；否则请说明理由 【分析】（【分析】（1）由题意可得：）由题意可得：，a+c2，b2a2c2联立解得：联立解得：a，c，b可可 得椭圆得椭圆 C 的方程的方程 （2）由（）由（1）可得：）可得：A（2，0），设），设 B（x1，y1），由题意直线），由题意直线 l 的斜率存在，设为的斜率存在，设为 k则则 直线直线 l 的方程为：的方程为：yk（x+2），联立方程），联立方程，化为：（，化为：（1+4k2）x2+16
38、k2x+16k2 40， 利用根与系数的关系可得， 利用根与系数的关系可得 B 坐标 假设在坐标 假设在 y 轴上存在点轴上存在点 P， 使得线段， 使得线段|PA|PB|， 且且4，由，由|PA|PB|，得点，得点 P 为为线段线段 AB 的中垂线与的中垂线与 y 轴的交点，设轴的交点，设 P（0，y0） 设线段设线段 AB 中点为中点为 M，则，则 M（，）以下分两种情况，利用中垂线方程及）以下分两种情况，利用中垂线方程及 其数量积运算性质即可得出其数量积运算性质即可得出 解：解：（1）由题意可得：）由题意可得：，a+c2，b2a2c2 联立解得：联立解得：a2，c，b1 椭圆椭圆 C 的
39、方程为：的方程为：y21 （2）由（）由（1）可得：）可得：A（2，0），设），设 B（x1，y1），由题意直线），由题意直线 l 的斜率存在，设为的斜率存在，设为 k 则直线则直线 l 的方程为：的方程为： yk （x+2） ， 联立方程） ， 联立方程， 化为： （， 化为： （1+4k2）x2+16k2x+16k2 40， 由由2x1，得：，得：x1，则，则 y1 假设在假设在 y 轴上存在点轴上存在点 P，使得线段，使得线段|PA|PB|，且，且4， 由由|PA|PB|，得点，得点 P 为线段为线段 AB 的中垂线与的中垂线与 y 轴的交点，设轴的交点，设 P（0，y0） 设线段设线段
40、 AB 中点为中点为 M，则，则 M（，） 以下分两种情况：当以下分两种情况：当 k0 时，点时，点 B（2，0），此时），此时 AB 的中垂线为的中垂线为 y 轴，轴， 于是于是（2， ， y0） ，） ，（2， ， y0） ， 由） ， 由4， 可得：， 可得：8 解得 解得 y0 当当 k0 时，线段时，线段 AB 的中垂线方程为：的中垂线方程为：y（x），令），令 x0，解，解 得得 y0 2x1y0（y1y0） （）4，化为：，化为： 16k4+15k210， 解得：解得：k，y0 综上可得：综上可得：y 轴上存在点轴上存在点 P，使得线段，使得线段|PA|PB|，且，且4，点，点
41、P 的坐标为：（的坐标为：（0， ），或（），或（0，） 20（16 分）已知函数分）已知函数 f（x）msin（1x）+lnx （1）当）当 m1 时，求函数时，求函数 f（x）在（）在（0，1）的单调性；）的单调性； （2）当）当 m0 且且时，时，求函数，求函数 g（x）在（）在（0，e上的最小值；上的最小值； （3）当）当 m0 时，时，有两个零点有两个零点 x1，x2，且，且 x1x2，求证：，求证：x1+x21 【分析】（【分析】（1）将）将 m1 代入代入 f（x）中，然后求导判断）中，然后求导判断 f（x）在（）在（0，1）上的单调性；）上的单调性； （2）由条件求出）由条件求出 g（x）的解析式，然后求导判断）的解析式，然后求导判断 g（x）在（）在（0，e上的单调性，再求出上的单调性，再求出 其最小值；其最小值； （3）求出个零点）求出个零点 x1，x2，得到，得到，构造函数，构造函数， 根据函数的单调性证明即可根据函数的单调性证明即可 解：解：（1）当）当 m1 时，时，f（x）sin（1x）+lnx，则，则 f（x）cos（1x）， 当当 x（0，1），），f（x）在（）在（0，1）上单调递减，）上单调递减，f（x）f（1）0， 当当 x（
