1、数学试题第 1 页（共 5 页）高三数学适应性能力测试高三数学适应性能力测试注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设1iz ，则2iz Ai Bi C1 D1 2设集合22,3,23Aaa，0,3B，2,Ca若BA，2AC，则a A3 B1 C
2、1 D3 3甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为 A16 B14 C13 D12 4 平面向量a与b相互垂直，已知(6,8)a，|5b，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b A(3,4)B(4,3)C(4,3)D(4,3)5已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若ABC是正三角形，则D的离心率是 A12 B23 C63 D32 6三棱锥ABCD中，AC 平面BCD，BDCD若3AB，1BD，则该三棱锥体积的最大值为 A2 B43 C1 D23 7设函数()f x，()g x在R的导函数存在，且()()fxg x，则当(,)xa
3、 b时 A()()f xg x B()()f xg x C()()()()f xg ag xf a D()()()()f xg bg xf b 8已知a，b，c满足5log(23)bba，3log(52)bbc，则 A|acbc，|abbc B|acbc，|abbc C|acbc，|abbc D|acbc，|abbc 数学试题第 2 页（共 5 页）二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知()f x是定义在R上的偶函数，()g x是定义在R上的奇函数，且()f x
4、，()g x在(,0单调递减，则 A(1)(2)f ff f B(1)(2)f gf g C(1)(2)g fg f D(1)(2)g gg g 10已知平面平面l，B，D是l上两点，直线AB且ABlB，直线CD且CDlD下列结论中，错误的有 A若ABl，CDl，且ABCD，则ABCD是平行四边形 B若M是AB中点，N是CD中点，则MN/AC C若，ABl，ACl，则CD在上的射影是BD D直线AB，CD所成角的大小与二面角l 的大小相等 11质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发P的角速度大小为2rad/s，起点为O与 x 轴正半轴的交点；Q的角速度大小
5、为5rad/s，起点为射线3(0)yx x 与O的交点则当Q与P重合时，Q的坐标可以为 A22(cos,sin)99 B55(cos,sin)99 C(cos,sin)99 D(cos,sin)99 12下图改编自李约瑟所著的中国科学技术史，用于说明元代数学家郭守敬在编制授时历时所做的天文计算图中的AB，AC，BD，CD都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MNOB，KNOB 记AOB，AOC，BOD，COD，则 Asinsincos Bcoscos cos Csinsincos Dcoscoscoscos 数学试题第 3 页（共 5 页
6、）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得至多为 （若2(,)XN，则|2 0.9545PX）14若 P，Q 分别是抛物线2xy与圆22(3)1xy上的点，则|PQ的最小值为 15数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”227与“密率”355113它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率由3411，取3为弱率，4为强率，得13471 12a，故1a为强
7、率，与上一次的弱率3计算得23710123a，故2a为强率，继续计算，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推已知227ma，则m ；8a 16右图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态 例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)改变状态如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）如
8、图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，ABAD，60BAD（1）记圆柱的体积为1V，四棱锥PABCD的体积为2V，求12VV；（2）设点F在线段AP上，4PAPF，4PCCE，求二面角FCDP的余弦值(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)数学试题第 4 页（共 5 页）18（12 分）已知函数()sin()f xx在区间(,)6 2单调，其中为正整数，|2，且2()()23ff（1）求()yf x图像的一条对称轴；（2）若3()62f，求 19（12 分）记数列na的前n项和为
9、nT，且11a，1nnaT（2n）（1）求数列na的通项公式；（2）设m为整数，且对任意nN，1212nnmaaa，求m的最小值 20（12 分）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目（1）若5 000N，求X的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得(15)P X 最大的N的值作为N的估计值）21（12 分）已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab过点(4 2,3)A，且焦距为10（1）求C的方程；（2）已知点(4 2,3
10、)B，(2 2,0)D，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点证明：|GDHDGEHE 数学试题第 5 页（共 5 页）22（12 分）椭圆曲线加密算法运用于区块链 椭圆曲线2332(,),4270Cx yyxaxbab|PC关于x轴的对称点记为PC在点(,)(0)P x yy处的切线是指曲线3yxaxb+在点P处的切线定义“”运算满足：若PC，QC，且直线PQ与C有第三个交点R，则PQR；若PC，QC，且PQ为C的切线，切点为P，则PQP；若PC，规定*0PP，且*00PPP.（1）当324270ab时，讨论函数3()h xxaxb零点的个数；（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若
11、PC，QC，且PQ为C的切线，切点为P，证明：PPQ；（3）已知11(,)P x yC，22(,)Q xyC，且直线PQ与C有第三个交点，求PQ的坐标 参考公式：3322()()mnmn mmnn 数学试题评分参考第 1 页（共 5 页）数学试题评分参考 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1A 2B 3A 4D 5C 6D 7C 8B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的给 5 分，部分选对的给 2 分，有选错的给 0 分。9BD 10ABD 11ABD 12ACD 三、填空题：本题共 4 小
12、题，每小题 5 分，共 20 分。130.51451 156，4715（第一空 2 分，第二空 3 分）165四、解答题：共 70 分。17解：（1）由题设得ACBD，2 3BDEC，332AEBDEC，4ACEC于是 2211()42VACCPECCP，22114 3323VAC BD CPECCP 所以123VV 4 分（2）以C为坐标原点，CA 的方向为x轴正方向，|CE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 由（1）和题设得13CEPFEAFA，所以(1,0,3)CF ，(1,3,0)CD ，(0,0,4)CP 设平面FCD的法向量(,)x y zn，则 数学试题评分参考第
13、2 页（共 5 页）0,0,CFCD nn 即30,30,xzxy 可取(3,3,1)n 设平面PCD的法向量(,)p q rm，则 0,0,CPCD mm 即40,30,rpq 可取(3,3,0)m 8 分 所以2 39cos,|13n mn mnm 因此二面角FCDP的余弦值为2 3913 10 分 18解：（1）由题设，()f x的最小正周期22()263T又因为2()()23ff，所以127()22312x 为()yf x图像的一条对称轴 5 分（2）由（1）知23T，故23T由*N，得1，2或3 由712x 为()sin()f xx的对称轴，所以17122k，1k Z 因为3()62
14、f，所以2263k或32263k，23,k k Z 8 分 若2263k，则125(2)126kk，即12212(2)55kk不存在整数1k，2k，使得1，2或3 若32263k，则135(2)126kk，即13212(2)55kk 不存在整数1k，3k，使得1或3当1321kk时，2 此时32 3k，由|2，得3 12 分 数学试题评分参考第 3 页（共 5 页）19解：（1）由题设可得211aa当2n时，112nnnnaTaa，故22nna故数列na的通项公式为21,1,2,2.nnnan 5 分（2）设1212nnnSaaa，则11S，当2n时，0212 22nnSn 故11112 22
15、22nnSn于是，1221121115(222)22252(12)=2.212nnnnnSnn 整理可得27(2)2nnSn 10 分 故7nS，又54968S 所以符合题设条件的m的最小值为7 12 分 20解：（1）依题意X服从超几何分布，且5 000N，200M，500n，故 200()500205000E X 4 分（2）当685N 时，(15)0P X，当685N 时，15485200200500CC(15)CNNP X，记15485200200500CC()CNNa N，则 4855001 2005004851200CC(1)()CCNNNNa Na N (1500)(1200)(
16、1)(1200485)NNNN (499)(199)(1)(684)NNNN 22698499 199683684NNNN 9 分 数学试题评分参考第 4 页（共 5 页）由22698499 199683684NNNN当且仅当499 1996846 665.715N，知当6856 665N时，(1)()a Na N；当6 666N 时，(1)()a Na N，故6 666N 时()a N最大，所以N的估计值为6 666 12 分 21解：（1）由已知得223291ab，22210ab，故4a，3b 所以C的方程为221169xy 4 分（2）设(4 2,)Et，则|3t，且3 2|2t，11(
17、,)G x y，22(,)H xy 直线:(2 2)2 2tDE yx 由22(2 2),2 21169tyxxy得2222(92)8 2161440txt xt，所以 21228 229txxt，21221614429tx xt 7 分 11221122(2 2,)(4 2,)(4 2,)(2 2,)GD HEGE DHxyx tyx tyxy 12121212226 2()()32x xy yxxt yy 22212123 2(2)(6 2)()43244tx xtxxt 22222224(8)(9)4(324)4322929ttttttt 0 所以GD HEGE DH ，即|GDHDGE
18、HE 12 分 数学试题评分参考第 5 页（共 5 页）22解：（1）由题设可知0a，有2()3h xxa，令()0h x，解得13ax ，23ax 当0a 时，3ax 时，()h x单调递增；33aax 时，()h x单调递减；3ax 时，()h x单调递增 当0b，2()0h x，所以()h x有2个零点当0b，1()0h x，所以()h x有2个零点 当0a，有0b，则()h x有1个零点 4 分（2）因 为PQ为C在 点P处 的 切 线，且QC，所 以PQP，()PPQPP，由题设可 知*0PPQ*0PPQQQ，所以*(0)PPQ，故PPQ 8 分（3）直线PQ的斜率1212yyxx，设PQ与C的第三个交点为33(,)xy，则 3311()yxxy，代入23333yxaxb+得 222331131133()2()xxy xxyxaxb，代入23111yxaxb+得 2222313111()20 xxxxxya，同理可得 2222323222()20 xxxxxya+，两式相减得2312xxx，因此PQ的坐标为2212121212211121212(),2()yyyyyyxxxxyxxxxxx 12 分
