1、24 二项式定理 【考纲解读】【考纲解读】 1.能用计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【知识整合】【知识整合】 1.二项式定理 (1)二项式定理：(ab)n 0 n Can 1 n Can 1br n Can rbrn n Cbn(nN*)； (2)通项公式：Tr1 r n Can rbr，它表示第 r1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 0 n C， 1 n C， n n C来源:163文库 2.二项式系数的性质来源:Z+xx+k.Com 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 k n C n k n C 增减性
2、来源:163文库来源:学_科_网 Z_X_X_K来源:学_科_网 Z_X_X_K 二项式系数 k n C 当 k 1 2 n (nN*)时，是递增的 当 k 1 2 n (nN*)时，是递减的 二项式系数最 大值 当 n 为偶数时，中间的一项 2 n n C取得最大值 当 n 为奇数时，中间的两项 1 2 C n n 与 1 2 C n n 取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(ab)n展开式的各二项式系数和： 0 n C 1 n C 2 n C n n C2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 0 n C 2 n C 4 n C+ 1 n C 3 n C 5 n
3、 C 2n 1. 【名师点睛】【名师点睛】 (ab)n的展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列， 从第一项开始， 次数由 n 逐项减 1 直到零； 字母 b 按升幂排列， 从第一项起， 次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 0 n C， 1 n C，一直到 1n n C ， n n C. 【名师划重点】【名师划重点】 1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为 零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1，代回通项公式即可.
4、 2.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不 等式的知识求解. 3.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每 一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可. 4.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特 定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分 类考虑特定项产生的所有可能情形. 【高考真题再现】【高考真题再现】 【例题】设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN.已知 2 324
5、 2aa a. （1）求 n 的值； （2）设(13)3 n ab，其中 * , a bN，求 22 3ab的值. 【答案】 （1）5n； （2）-32. 【解析】 （1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa ， 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为 2 324 2aa a， 所以 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn ， 解得5n （2）由（1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555
6、CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一： 因为 * , a bN，所以 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab， 从而 2222 3763 4432ab 解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为 * , a bN，所以 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 【举一反三】【举一反三】 1 （2020 江苏省盐城中学高三月考）二
7、项式 3 1 2 n x x 展开式中第五项的二项式系数是第三项系 数的 4 倍.求： （1）n； （2）展开式中的所有的有理项. 【答案】 （1）6； （2） 1 2 1 T x ， 2 4 5 2 Tx ， 6 7 64 x T 【解析】 （1）二项展开式的通项 14 33 1 3 11 ( 1) 22 n rr nr rrr rnn r x TCC x x . 依题意得， 422 2 1 4( 1) 2 nn CC， 所以 ! 4!4 !2!2 ! nn nn ， 解得6n. （2）由（1）得 1(6 4 ) 3 16 1 ( 1) 2 r rr r r TC x ， 当0r ，3，6时
8、为有理项， 故有理有 1 2 1 T x ， 2 4 5 2 Tx ， 6 7 64 x T . 2 （2017 山西省高考模拟（理） ） （1）求 5 1 2 x 的展开式中 3 x的系数及展开式中各项系数之和； （2）从 0，2，3，4，5，6 这 6 个数字中任取 4 个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四 位数的个数. 【答案】 （1） 1 32 （2）300 【解析】 试题分析： （1）直接利用二项展开式定理求解即可展开式中 3 x的系数，令1x 即可得结果； （2） 分选0 ，不选0 两种情况讨论，再利用分类计数加法原理可得结果. 试题解析：（1） 5 15 1 2 r r
9、r r TCx ，展开式中 3 x的系数为 2 3 5 15 22 C . 令1x ，得各项系数之和为 5 11 232 . （2）若不选 0，则有 4 5 120A 个； 若选 0，则有 13 35 180C A 个. 故能组成120 180300个不同的四位数. 【押题预测】【押题预测】 1 （2020 河南省巩义中学高三期中（理） ）在 8 2 3 1 2x x 的展开式中，求： （1）第 5 项的二项式 系数;（2）第 5项的系数;（3）倒数第 3 项;（4）含 9 x的项 【答案】 （1）70（2）1120（3） 2 112x（4） 9 1792x 【解析】 （1）第 5项的二项式系
10、数为 4 8 70C ， （2）第 5 项的系数为 4 44 82 11120C， （3）倒数第 3 项即为第 7项， 6 2 622 6 18 3 1 2112TCxx x （4） 7 168 28 3 188 3 17 21 21693 3 r r r r rrr r r TCxCxr x ，令得 99 3 1 1792xTx 含 的项为 2 （2020 武汉外国语学校高三期中）已知 322 3 n xx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992，其中,2nN n （）求n的值； （）求其展开式中的有理项 【答案】 （）5n； （） 6 90x、 10 243x. 【解析】 （）由题意
11、可得 322 3 n xx展开式中二项式系数和为2n， 令1x ，可得 322 3 n xx展开式中各项系数和为1 34 n n ， 则由题意可得42992 nn ，化简得 2322310 nn ， 由2310 n 可得2320 n ， 所以5n； （）由（）得 5 332222 33 n xxxx， 则其展开式的通项公式 5 2410 2 33 155 33 r r r rrr r TCxxCx ， 要使 410 3 r 为有理数，则2r =或=5r， 当2r =时， 410 2266 3 55 3390 r rr CxCxx ； 当=5r时， 410 551010 3 55 33243 r
12、 rr CxCxx ； 所以其展开式中的有理项为 6 90x、 10 243x. 3 （2020 山东省济南外国语学校高三月考）已知在 3 3 1 2 n x x 的展开式中，第 6项为常数项 （1）求含 2 x的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项 【答案】(1) 45 4 ；(2)答案见解析. 【解析】 2 3 1 1 () 2 nr rr rn TCx （1） 2 5 =010 3 n n 102 =22 3 r r 22 10 145 () 24 C （2） 102 2,5,8 3 r Zr Q 展开式中所有的有理项为 2 22255882 101010 2 145163145 (
13、)()() 24282256 x CxCCx x =，=，= 4 （2020 山东省昌乐二中高三月考） 2 1 3 n x x 的二项展开式中. （1）若第 5项的二项式系数与第 3项的二项式系数的比是14:3，求展开式中的常数项； （2）若所有奇数项的二项式系数的和为A，所有项的系数和为B，且 243 64 A B ，求展开式中二项 式系数最大的项. 【答案】 （1）5； （2） 5 2 10 9 x ， 5 10 27 x. 【解析】 （1）依题意 42 :14:3 nn CC ， 化简得2356nn， 解得10n或5n （舍去） ， 1010 5 2 2 11010 2 33 r r r
14、rr r r TCxxxC ， 令 105 0 2 r ，解得2r =， 常数项为第 3 项， 22 310 35TC . （2） 1 2nA ，令1x ，得 4 3 n B ，则 1 2243 64 4 3 n n A B ，解得：5n， 则展开式中二项式系数最大的项是第 3项和第 4 项， 2 5 23 2 35 2 110 () 39 TCxx x ， 3 325 45 2 110 () 327 TCxx x . 5（2020 福建省宁化第一中学高三月考）在 * 2 2 n xnN x 的展开式中. （1）若第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求展开式中各项系数的和； （2）若其展
15、开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中含x的项. 【答案】 （1）1（2） 3 264Tx 【解析】 （1） * 2 2 n xnN x 展开式的通项为 5 2 1 2 2 2 r nr n r r rr rnn TCxC x x 由题意知，第五项系数为 4 4 2 n C，第三项的系数为 2 2 2 n C， 则有 44 22 ( 2)10 ( 2)1 n n C C ，化简得 2 5240nn， 解得8n 或3n（舍去）. 令1x 得各项系数的和为 8 121. （2） 012 79 nnn CCC， 2 1560nn . 12n或13n （舍去）. 通项公式 5 6 12 2 1
16、1212 2 2 ()()( 2) r rrrrr r TCxCx x ， 令 5 61 2 r，则2r =， 故展开式中含x的项为 22 312( 2) 264TCxx. 6 （2019 江苏省如东高级中学高三期中）若 * 4 1 2 n xnN x 展开式中各项的二项式系数和 为 256. （1）求 n； （2）求展开式中含 x 的项. 【答案】 （1）8n ； （2） 5 35 8 Tx 【解析】 （1）由题意， 120 2256 n nnnn n CCCC，所以8n （2） 4 4 3 1 8 4 88 1 2 2 r r r rr r r TCxxCx ， 令 3 41 4 r ，得：4r 展开式中含 x的项为 4 58 4 135 28 TCxx
