1、 2020 届高中毕业班第一次适应性测试 文科数学 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填 写在答题卡上. 2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.
2、 已知集合|10Ax x ，| 12Bxx ，则AB （ ） A. 1, B. 1, C. 1,1 D. 1,2 2. 设11i xyi ，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xyi在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知0,， 3 cos 5 ，则sin 6 的值为（ ） A. 4 33 10 B. 3 34 10 C. 7 10 D. 2 3 5 4. 2.5PM是空气质量的一个重要指标，我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值，即2.5PM日均 值在 3 35g/m以下空气质量为一级，在 33 35g/m75g/m之间空
3、气质量为二级，在 3 75g/m以上空气 质量为超标.如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日2.5PM日均值（单位： 3 g/m）的统计数据，则下列叙 述不正确的是（ ） A. 这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标 B. 这 10 天中有 5 天空气质量为二级 C. 从 5 日到 10 日，2.5PM日均值逐渐降低 D. 这 10 天的2.5PM日均值的中位数是 47 5. 若实数x，y满足 1 10 220 x xy xy ，则2zxy的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 6. 已知圆 22 420xyaxay与直线2100xy相切，则圆的半径
4、为（ ） A. 5 B. 2 C. 2 5 D. 4 7. 已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F且斜率为3的直线与双曲 线在第一象限的交点为A，且 12 0AF AF，若3 1a ，则 2 F的坐标为（ ） A. 1,0 B. 3,0 C. 2,0 D. 3 1,0 8. 如图，正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 11 AB，CD的中点，则异面直线 1 D E与 1 AF所成的 角的余弦值为（ ） A. 5 5 B. 5 6 C. 3 3 D. 3 6 9. 已知a为正实数，若函数 322 32f xxaxa的极
5、小值为 0，则a的值为（ ） A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 10. 已知抛物线C： 2 4yx的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作 AAl，垂足为A.若 3 cos 5 FAA，则AF （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 11. 已知函数 2 2cos10 3 f xx 的一个零点是 4 x .则当取最小值时， 函数 f x的一 个单调递减区间是（ ） A. , 36 B. , 12 6 C. , 12 3 D. 7 , 3 12 12. 已知定义域为R的奇函数 f x的导函数为 fx， 当0x时， xfxf x.若 2 2 log
6、 3 log 3 a f ， 4 4 log 6 log 6 f b ， sin 8 sin 8 f c ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. abc B. cab C. cba D. bca 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考 题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在平面上， 1 e， 2 e是方向相反的单位向量，若向量b满足 12 bebe，则b的值为_. 14. 设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边， 三角形ABC的面积等于 222 3
7、4 bca， 则内角A的大小为_. 15. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积 为_. 16. 关于圆周率， 数学发展史上出现过许多很有创意的求法， 如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发， 我们也可以通过设计下面的实验来估计的值， 先请 240 老同学， 每人随机写下两个都小于 1 的正实数x， y组成的实数对, x y；若将, x y看作一个点，再统计点, x y在圆 22 1xy外的个数m；最后再根 据统计数m来估计的值.假如统计结果是52m，那么可以估计的近似值为_.（用分数表示） 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤. 17. 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久.目前我国南方农户在播种水稻时一般 有直播、撒播两种方式.为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某农场于 2019 年选取了 200 块农 田，分成两组，每组 100 块，进行试验.其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行 播种.得到数据如下表： 每亩产量 （单位： 斤） 播种方式 840,860 860,880 880,900 900,920 920,940 直播 4 8 18 39 31 撒播 9 19 22 32 18 约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为“产量高”
9、，否则为“产量低”. （1）请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均每亩产量； （同一组中的数据用该区间的中点值为代 表） （2）请根据以上统计数据填写下面的2 2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方 式”有关？ 产量高 产量低 合计 直播 撒播 合计 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.10 0.010 0.001 0 k 2.706 6.635 10.828 18. 已知数列 n a满足 1 4a ， 1 1 23 2n nn aa . （1）证明：数列 2 n n a 为等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设 1
10、6 4n n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T. 19. 如图所示，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，侧棱 1 AA 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， ADAB，/ABCD， 1 224ABADAA. （1）证明： 1 AD 平面 11 ABC D； （2）若四棱锥 111 AABC D的体积为10 3 ，求四棱柱 1111 ABCDABC D的侧面积. 20. 已知函数 2 212 ln0f xxaxax a. （1）当1a 时，求函数 f x的图象在点1x 处的切线方程； （2）讨论函数 f x的单调性. 21. 已知椭圆C： 22 2 1(02) 4 x
11、y b b 的离心率 2 0, 2 e ，F为椭圆C的右焦点，D，E为椭圆的 上、下顶点，且DEF的面积为3. （1）求椭圆C的方程； （2）动直线l： 1 2 yxt与椭圆C交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM 与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，若多做，则按所做的第一个题目计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l的倾斜角为30，且经过点2,1A.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直
12、线 2 l：cos3，从原点O作射线交 2 l于点M，点N为射线OM上的点，满足 12OMON，记点N的轨迹为曲线C. （1）设动点 1 Pl，记e是直线 1 l的向上方向的单位方向向量，且APte，以t为参数求直线 1 l的参数 方程； 求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 1 l与曲线C交于P，Q两点，求 11 APAQ 的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f xxx. （1）求不等式 8f xx的解集； （2） 记函数 yf x的最小值为k， 若a，b，c是正实数， 且 331 1 2kakbkc ， 求证：239abc. 2020 届高中毕业班第一
13、次适应性测试 文科数学参考答案 一、选择题 1-5：BDACB 6-10：ACAAD 11-12：DC 1. B 【解析】由已知得|1Ax x，又| 12Bxx ，所以|1ABx x.故选 B. 2. D 【解析】由11i xyi ，其中x，y是实数，i是虚数单位，得 1x xy ， 1 1 x y ，所以xyi 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选 D. 3. A 【解析】由0,， 3 cos 5 ，得 4 sin 5 ， 所以sinsincoscossin 666 43314 33 525210 ，故选 A. 4. C 【解析】由图易知：A、B、D 正确，对于选项 C，由于 10 日的2
14、.5PM的日均值大于 9 日的2.5PM的 日均值，C 错误，故选 C. 5. B 【解析】作出可行域如图所示： 作直线2yxz ，再将其平移至1,2A时，直线的纵截距最小，z的最小值为 4.故选 B. 6. A 【解析】由题意知圆心坐标为2 , aa，半径为 2 5a， 所以 2 2 2210 5 21 aa a ，解得1a， 所以圆的半径为5，故选 A. 7. C 【解析】由 12 0AF AF及 2 AF的斜率为3，易得 12 6 AFF ，得 1 3AFc， 2 AFc，由双 曲线的定义得32cca，又3 1a ，所以 23 1 2 3 1 c .故选 C. 8. A 【解析】如图，连
15、接BE，BF， 1 D F，易知 1 BED F为平行四边形，所以 1 / /DEBF，所以异面直线 1 D E与 1 AF所成的角即为 1 AF与BF所成的锐角，即 1 AFB，连接 1 AB，设2AB ，则在 1 ABF中， 1 2 2AB ，5BF ， 222 11 3AFAAADDF. 所以 222 11 1 1 9585 cos 252 35 AFBFAB AFB AF BF .故选 A. 9. A 【解析】由已知 2 3632fxxaxx xa，又0a，所以由 0fx 得0x或2xa， 由 0fx 得02xa，所以 f x在2xa处取得极小值，即 3 232 2 22322420f
16、aaaaaaa，又0a，解得 1 2 a ，故选 A. 10. D 【解析】 作出图形如下所示， 过点F作FFAA， 垂足为F.设3AFx， 因为 3 cos 5 FAA， 故5AFx，4FFx，由抛物线定义可知，5AFAAx，则22A Fx，故1x . 所以55AFx，故选 D. 11. D 【解析】 由已知 21 cos 432 ， 得 2 2 433 k ， 所以84k或 4 8 3 kkZ， 又0，所以 min 4，此时 2 ( )2cos 41 3 f xx ， 由 2 242 3 kxk 得() 26212 kk xkZ ， 当1k 时，得 f x的一个单调减区间为 7 , 3 1
17、2 .故选 D. 12. C 【解析】设 f x g x x ，因为 f x为奇函数，所以 g x为偶函数；又当0x时， 2 0 xfxf x gx x ，所以 g x在0,上单调递增， 因为 242 0sin1log6log 6log 3 8 ，又 22 22 log 3log 3 log 3log 3 ff a ， 所以 42 sinlog 6log 3 8 ggg ，即cba，故选 C. 二、填空题 13. 1 14. 3 15. 20 3 16. 47 15 13. 1 【解析】由题意 12 0bebe，即 2 1212 0beebe e ， 又 1 e， 2 e是方向相反的单位向量，
18、所以 12 0ee， 12 1e e ， 所以 2 10b ，即 2 1b ，所以1b . 14. 3 【解析】由已知 222 13 sin 24 ABC SbcAbca ，及余弦定理得sin3cosAA， 所以tan3A，又0A，所以 3 A . 15. 20 3 【解析】由三视图可知该正方体的边长为 2，截去部分为三棱锥，所以该几何体的体积 3 1120 22 2 2 323 V . 16. 47 15 【解析】由题意，240 对都小于 1 的正实数对, x y，满足 01 01 x y ，面积为 1，点, x y在圆 22 1xy外满足 22 1xy，且 01 01 x y ，面积为1
19、4 ， 因为点, x y在圆 22 1xy外的个数52m，所以 52 1 2404 ， 47 15 . 三、解答题 17.【解析】 （1）100 块直播农田的平均每亩产量为 48183931 850870890910930907 100100100100100 X （斤）. （2）由题中所给的数据得到2 2列联表如下所示： 产量高 产量低 合计 直播 70 30 100 撒播 50 50 100 合计 120 80 200 由表中数据可得 2 K的观测值 2 200 (70 5030 50)25 86.635 120 80 100 1003 k . 所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式
20、”有关. 18.【解析】 （1）因为 1 1 23 2n nn aa ，所以 1 1 3 22 nn nn aa ， 所以 2 n n a 为以 2 为首项，3 为公差的等差数列. 从而2(1) 331 2 n n a nn ，所以(31)2n n an. （2）由（1）得 21 1 1 6 43 2 (31)2(32)2 nn n nn nn b a ann 311 (31)(32)3132nnnn . 111111 25583132 n T nn 113 23264 n nn . 19.【解析】 （1）因为侧棱 1 AA 平面ABCD，所以 1 AAAD， 1 AAAB， 又ABAD， 1
21、 AAADA，所以AB 平面 11 ADD A， 而 1 AD 平面 11 ADD A，所以 1 ABAD； 又 1 AAAD， 1 AAAD，所以四边形 11 ADD A为正方形， 所以 11 ADAD， 又 1 ABADA，所以 1 AD 平面 11 ABC D. （2）记 1 AD与 1 AD的交点为O， 所以 1 AO 平面 11 ABC D， 又 1 224ABADAA，所以 1 2AO ， 1 2 2AD ， 设 11 CDC Dx，则 111 11 11 12810 3233 AABC D V ABC Dx ADAO ，解得1x ，即1CD， 所以 22 (4 1)213BC ，
22、 所以四棱柱 1111 ABCDABC D的侧面积为(12413) 2142 13S . 20.【解析】 （1）当1a 时， 2 42lnf xxxx， 2 2 4xfx x ， 13f， 10f， 所以函数 f x的图象在1x 处的切线方程为30y . （2）由已知 f x的定义域为0,， 2 2(1) 2 22(1)f xaxa a xx x a x 2(1)()xxa x . 当0a时，由 0fx 得0,1x，由 0fx 得1,x， 所以 f x在0,1单调递减，在1,单调递增， 当01a时，由 0fx 得,1xa，由 0fx 得 0,1,xa， 所以 f x在0,a，1,单调递增，在,
23、1a单调递减； 当1a 时， 2 21 0 x fx x 恒成立，所以 f x在0,单调递增； 当1a 时，由 0fx 得1,xa，由 0fx 得 0,1,xa， 所以 f x在0,1，, a 单调递增，在1,a单调递减. 21.【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c，则 2222 4cabb， 又由DEF的面积为3，得 1 23 2 cbbc . 由解得1c或3c ， 又椭圆C的离心率 2 0, 2 e ， 则3c 时， 32 0, 22 c e a ，舍去， 所以1c，3b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （2）设 11 1 , 2 A xxt ， 22 1 , 2 B xx
24、t ，,M m n， 将l： 1 2 yxt代入 22 1 43 xy 得 22 30xtxt.由 22 430tt 得 2 4t ， 则有 12 xxt ， 2 12 3x xt. 直线AM与直线BM的斜率之和 1221 12 11 22 MAMB nxtmxnxtmx kk mxmx 22 3 23 2 3 nm tmn tmtm 为与t无关的常数， 可知当 3 2 nm，23mn时斜率的和恒为 0，解得 1 3 2 m n 或 1 3 2 m n （舍）. 综上所述，在第一象限内满足条件的定点M的坐标为 3 1, 2 . 22.【解析】 （1）依题设直线 1 l的参数方程为 2cos30
25、 1sin30 xt yt （t为参数） ，即 3 2 2 1 2 xt t y （t为参数）. 设,N ， 111 ,0,0M ，由题设得 1 1 12 ， 又点M在 2 l：cos3即 11 cos3上，所以 3 12 cos ，即4cos， 将cosx，siny代入得曲线C的直角坐标方程为 22 400xyxx. （2）将 1 l的参数方程代入C的直角坐标方程中，得 2 2 331 24 210 222 ttt ，即 2 30tt ，则 1 t， 2 t为方程的两个根， 12 1tt ， 1 2 30t t ， 12 1111 APAQtt 2 121 2 12 1 21 2 4ttt
26、ttt t tt t 2 ( 1)1213 33 . 23.【解析】 （1） 218f xxxx 等价于 1 218 x xx 或 21 38 x x 或 2 218 x xx ， 解得7x或x或3x， 所以不等式的解集为 , 37,x . （2）依题意 21213f xxxxx， 当2,1x 时等号成立，所以 f x的最小值为 3，即3k ， 所以 111 1 23abc ，又a，b，c是正实数，由均值不等式得 111 23(23 ) 23 abcabc abc 2233 3 2332 aabbcc bcacab 2323 3 2332 abacbc bacacb 3 2229 ， 当且仅当23abc时取等号.也即239abc.
