1、文科数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 11 页）拉萨市 2023 届高三第一次模拟考试 文科数学全解全析及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A C C A B C D A D D 1D【解析】由题意，知|0Ax x.又|2Bx x，所以(0,)AB.故选 D 2B【解析】由1i2iz，得2i1122iiiz故选 B 3A【解析】当1x 时，1(1)213f，当3x 时，(3)|35|2f，所以(1)2f f故选 A 4C【解析】设点A
2、的坐标为(,)AAxy，由题意，得(2,0),F所以|4124BF.根据抛物线的定义，知|24AAFx，所以2,Ax 所以216,Ay 则4Ay 故选 C.5C【解析】由表中数据，得4.5x，而样本点的中心()x y,在回归直线20.8yx上，则9.8y，所以56.6910.4159.8658.8m，解得12.8m，故选 C 6A【解析】2292 32 9232 2 32 236 2xyxyxy，当且仅当923xy时等号成立，所以923xy的最小值为6 2故选 A 7B【解析】如图，设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接,PH HG PG，则,PHHG,PGBC所以22PGPHH
3、G2299.6173.1613.16，则14422PBCABCDBCPGSPGSABBCAB正方形 26.321.3719.2，故选 B 8C【解析】由1n，1T，得32a，31 28T ，1a；由1 12n ，得22a，321 2232T ，1a；由213n ，得12a，3211 22264T ，1a；由314n ，得02a，32101 222264T ，1a，输出64T，故选 C 文科数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 11 页）9D【解析】由题意，知直线l的方程为(2)yk x，即20kxyk.因为圆C的圆心坐标为(1,1)C，半径2r，所以圆心C到直线l的距离22|()12ABd
4、r.又22|12|31|11kkkdkk，所以2|31|11kk，即22(31)1kk，解得0k（舍去）或34k 故选 D 10A【解析】cos2sin2，sin2cos1，22，得54cossin4sincos3，1sin()2，os()3c2，3tan()3，故选 A 11D【解析】因为213()cos3sin cos(cos21)sin222f xxxxxx131cos2sin2222xxsin(2)6x 12，所以函数()f x的最小正周期22T，故 A 错误；因为1sin(2)16x，所以函数()f x的最大值max3()2f x，故 B 错误；因为1131()sin(2)sin12
5、12623222f，不等于()f x的最大值或最小值，所以函数()f x的图象不关于直线12x对称，故 C 错误；因为()12 6x，所以2(0)62x，所以函数()f x在()12 6，上单调递增，故 D 正确.故选 D 12D【解析】3751252=128，3 272(5)(2)，即62 77524，6ln57ln4，ln57ln46，47log 56，zx 令2(1)()ln1xf xxx，则22214(1)()0(1)(1)xfxxxx x，()f x在(0,+)上单调递增，19()(1)05ff，即192(1)191975lnln01955615，yz，yzx，故选 D 二、填空题：
6、本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。133【解析】作出不等式组202yxyxy所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由2zxy，得22xzy .文科数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 11 页）作出直线20 xy，并平移，当该直线经过点C时，z取得最小值.由2yxxy，解得11xy，即点(1,1)C，所以2zxy的最小值为12 13.故填 3.142【解析】如图，建立平面直角坐标系,则(1,1),(4,2)ab,所以422 a b故填2 155【解析】如图,3ACBADB，2CBD，2ACAD，2sin33AB，2cos3BCBD 1，2CD，所以BCD是等腰直角三角形，斜边
7、CD的中点M为BCD外接圆的圆心，连接BM，过M作平面BCD的垂线，过AB的中点N作BM的平行线，两直线的交点O即为四面体ABCD外接球的球心连接OB,易知1222BMCD,1322OMNBAB,所以四面体ABCD外接球的半径ROB2222325()()222OMBM，所以四面体ABCD外接球的表面积245SR 故填5.163 38【解析】由题意,得双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为3yx,则223ba,所以双曲线2222:13xyCaa,即22233xya由双曲线 C 的一条渐近线的倾斜角为3,PMOM PNON，得3MPN 设00()P xy,则222000000|3
8、|3|3|3|2244xyxyxyaPMPN 在PMN中，|MN 222233|2|cos|322PMPNPMPNPMPNPMPNPMPNa（当且仅文科数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 11 页）当|PMPN时取等号），所以3a，此时(3,0)P,33|,|22PMOM，所以OMP的面积为1133|2222PMOM3 38故填3 38 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）【解析】（1）当1n 时，1116614Saa，
9、则112a （1 分）当2n 时，由614nnSa，得11614nnSa，（2 分），得1644nnnaaa，（3 分）12nnaa，即12(2)nnana，（4 分）数列na是以112a 为首项，2为公比的等比数列，（5 分）11(2)2nna，当1n 时也满足上式，11(2)2nna（6 分）（2）由（1）得212111(2)21(2)nnnbS （7 分）1463n，（8 分）4(14)3614nnnT（10 分）14469nn 2323818nn（12 分）说明：第一问：15分段没有说明na为等比数列直接得出通项公式不扣分 2利用11614nnSa 求解也按相应步骤给分 第二问：112
10、 分段将4(14)3614nnnT化简为14469nn也正确，不扣分 文科数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 11 页）18（12 分）【解析】（1）测试成绩在90100,内的频率为10.120.320.40.120.04，（1 分）所以0.040.00410a （2 分）设测试成绩的中位数为 x 分，因为0.120.320.440.5,0.120.320.40.840.5，所以7080 x，所以700.040.50.120).32(x，解得71.5x，（5 分）所以0.004a，参与本次活动的球迷测试成绩的中位数约为71.5分（6 分）（2）由题意，知测试成绩在80,90)内的球迷有5
11、00.126 人，记这 6 人分别为123456aaaaaa,；测试成绩在90,100内的球迷有500.042 人，记这 2 人分别为12b b,（7 分）所以样本中共有 8 名“真球迷”，其中“狂热球迷”有 2 名，从“真球迷”中随机抽取 2 人的所有情况有 28种，（8 分）分别为：12131415161112,()()()()(),(),(,)a aa aa aa aa aa ba b,232425262122()()()()()()aaaaaaaaabab,3435363132()()()()()aaaaaaabab,45464142,()()()(,),a aa aa ba b,56
12、5152,()()(,)a aa ba b,6162,()()a ba b,12(,)b b,（10 分）其中抽取的 2 人中恰有 1 人为“狂热球迷”的情况有 12 种，分别为：221111()(),)a ba ba b，,2123()(,),a ba b 34212126162455,()()()()(),(),(,)a ba ba ba ba ba ba b，（11 分）故所求概率123287P（12 分）说明：1第一问中式子对，而结果不对，扣 1 分 2第一问中“0.004a，参与本次活动的球迷测试成绩的中位数约为71.5分”，最后没有回答不扣分 3第二问没有列出基本事件，只给出基本事
13、件的个数，扣 2 分 19（12 分）【解析】（1）因为111ABCABC为直三棱柱，所以1A A 平面111ABC.又1C M平面111ABC，所以11A AC M.（1 分）因为M为棱11AB的中点，1111ACBC，所以111C MAB.（2 分）因为1A A平面11A ABB，11AB 平面11A ABB，1111A AABA，所以1C M 平面11A ABB.又AM 平面11A ABB，所以1C MAM（3 分）因为M为棱11AB的中点，所以111112A AABAM.文科数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 11 页）又11A AAM，所以145AMA，同理145B MB，所以
14、AMBM（4 分）因为1C M 平面1BC M，BM 平面1BC M，1C MBMM,所以AM 平面1BC M（5 分）（2）因为11112ACBC，1111ACBC，11112A AAB，所以112 2AB，11111122A AABAMC M，（8 分）所以22112AMBMA AAM.（10 分）由（1）知1C M 平面11A ABB，所以11A BC MCABMVV1111112 222233263ABMSC MAMBMC M，即三棱锥1ABC M的体积为2 23（12 分）说明：第一问：13 分段没有“1A A平面11A ABB，11AB 平面11A ABB，1111A AABA”不
15、扣分.25 分段没有“1C M 平面1BC M，BM 平面1BC M，1C MBMM”不扣分.第二问：18 分段得出112 2AB，11111122A AABAMC M.210 分段得出22112AMBMA AAM.312 分段得出12 23A BC MV.20（12 分）【解析】（1）由题意，得椭圆E的半焦距3c，当A为椭圆E的上顶点时，()0Ab,，设00()B xy,，（1 分）则1100(3)(3)AFbFBxy,，,.由117AFFB，得008 377bxy ，8 3()77bB,，（2 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 11 页）将点 B 的坐标代入椭圆E的方程，得
16、24a.（3 分）又23c，2221bac，（4 分）椭圆E的标准方程是2214xy.（5 分）（2）以AB为直径的圆不经过点2F，理由如下：依题意，知直线l的方程为1(3)2yx.（6 分）联立22141(3)2xyyx，消去y，并整理，得222 310 xx.（7 分）设11(,)A x y，22(,)B xy，则由根与系数的关系，得123xx，1212x x .（8 分）易知，直线2AF,2BF的斜率都存在且不为0.若以AB为直径的圆经过点2F，则22,AFBF所以直线2AF,2BF的斜率之积为1，即221AFBFkk，（9 分）而2212121212(3)(3)1433(3)(3)AF
17、BFyyxxkkxxxx 121212123()3143()3x xxxx xxx 13(3)3112114443(3)32 ，（11 分）所以以AB为直径的圆不经过点2F.（12 分）说明：1第二问中直接回答“以AB为直径的圆不经过点2F”得 1 分.2第二问 8 分后若用220F A F B 去验证也给分.21（12 分）【解析】（1）当2a 时，2()e2xf xx，（1 分）所以()e2xfxx，所以所求的切线斜率为0(0)e1f.（2 分）又0(0)e23f，所以切点为(0,3)，（3 分）所以曲线()yf x在0 x 处的切线方程为3yx，即30 xy（4 分）（2）对函数()f
18、x求导，得()exfxax.函数()f x有两个不同的极值点12,x x，等价于()fx有两个零点12,x x，且零点两侧()fx的函数值异号，文科数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 11 页）即exyax有两个零点12,x x（5 分）令()exg xax，则()exg xa i)当0a 时，()0g x，()g x在R上单调递增，()g x不可能有两个零点；（6 分）ii)当0a 时，由()0g x，得lnxa，即()g x在(ln)a,上单调递增 由()0g x，得lnxa，即()g x在(ln)a,上单调递减（7 分）要使()g x有两个零点，则()ln0ga，即ln0aaa，解
19、得ea （8 分）此时，0(0)=e010g，2ln2(2ln)=e2 ln2 ln(2ln)agaaaaaaa aa，0ln2lnaa 令()=2ln(e)r aaa a，则2()=1r aa.因为()r a在(e,+)上单调递增，所以22()=110er aa，所以()=2lnr aaa在(e,)上单调递增，则()=2ln(e)=e20r aaar，即(2ln)0ga，所以当ea 时，()g x有两个零点且两个零点12,x x分别位于区间(0 ln)a,，(ln,2ln)aa内（9 分）所以2121eexxaxax令21extx，则2211eeexxxxt，所以21lnxxt，即22lnx
20、xtt，解得2ln1ttxt.令ln()(e)1tts ttt，则21ln()(1)tts tt 令()1ln(e)ttt t ，则11()10tttt，所以()t在e,)上单调递增，所以()(e)e20t，即()0s t，所以()s t在e,)上单调递增，所以e()(e)e1s ts，即2lne1e1ttxt（10 分）又22exax，令ee()()e1xp xxx，则2e(1)()xxp xx，当e1e1x 时，()0p x，所以()p x在区间e,)e1上单调递增，所以1e 1e()()(e1)ee1p xp，即1e 1(e1)ea（11 分）令1()lnm xxx，则22111()=x
21、m xxxx.因为()0m x 对任意(1,+)x恒成立，所以1()lnm xxx在(1+)上单调递增，则(e1)(1)1mm，所以1ln(e1)+1e1，即1e 1(e1)ee，所以1e 1(e1)ea，即a的取值范围为1e 1(e1)e,)（12 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 11 页）说明：第一问：11 分段写出2a 时()f x的解析式 22 分段求()f x，并求出切线斜率 33 分段写出切点坐标 44 分段写出切线方程，切线方程写成3yx不扣分 第二问：15 分段将函数极值点问题转化为导函数的零点问题 26 分段得出0a 不满足题意 37 分段讨论当0a 时，(
22、)exg xax的单调性 48 分段将 g(x)有两个零点转化为()ln0ga 得出ea 59 分段得出 g(x)的两个零点所在区间 610 分段解出2ee1x 711 分段把 a 看成2x的函数，求出 a 的取值范围 812 分段由前提条件ea 与求出的 a 的取值范围取交集得出a的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）由1xtyt，消去t,得21(0)yxy或1yx.（2 分）由sin2cos0，得sin2 cos0,将cos,sinxy代入，得20 xy.（
23、4 分）故曲线 C 的普通方程为21(0)yxy或1yx，直线 l 的直角坐标方程为20 xy.（5 分）（2）设(1,)P tt是曲线 C 上任一点，则点 P 到直线l的距离为2|2(1)|5115|2()|5485ttt，（8 分）所以当1,4t 即116t 时,点 P 到直线l的距离最小，即|PQ取得最小值，为3 58（10 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 10 页（共 11 页）说明：第一问：1式子“21(0)yxy”中，没有写“0y”，扣 1 分.2没有写“cos,sinxy”不扣分.第二问另解：由题意，知当曲线 C 在点 P 处的切线与直线 l 平行时，两平行线之间的距离为所
24、求的最小值.（7 分）设:2lyxb与21(0)yxy相切，则由221yxbyx，消去 y，整理得224(41)10 xbxb，由22(41)16(1)0bb，得158b ，（8 分）所以15:28lyx，所以|PQ的最小值为21515|0|3 588=8521d.（10 分）23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】（1）344213()2221442xxf xxxx，（1 分）3,0()3,0 xxg xxx，（2 分）画出()yf x，()yg x的图象如图所示：（5 分）（2）要证1()()2f xg x，即证|21|23|1|32xxx，（6 分）只需证13131222|2|2
25、|3xxxxx 33|11(22)|222xxxx，当且仅当1()2x 3()02x，即1322x时，等号成立（7 分）文科数学 全解全析及评分标准 第 11 页（共 11 页）同理，1313|()|12222xxxx，当且仅当1()2x 3()02x，即1322x时，等号成立（8 分）又1|02x，当且仅当12x 时，等号成立，（9 分）13131222|2|2|3xxxxx，当且仅当12x 时，等号成立，1()()2f xg x成立（10 分）说明：第一问：11 分段将()f x化为分段函数时有错不得分 22 分段将()g x化为分段函数时有错不得分 35 分段正确作出()f x的图象得
26、2 分，正确作出()g x的图象得 1 分 作图时函数图象形状大致正确，但关键点不正确扣 1 分 4只画图不写出()f x和()g x分段函数形式扣 2 分 第二问：16 分段将()f x和()g x代入1()()2f xg x 2 7 分段将不等式拆解成 x 系数为 1 的含 5 个绝对值的不等式，并利用绝对值三角不等式得出|2|1x 3|2x 的最小值及等号成立的条件 38 分段利用绝对值三角不等式得出13|22xx的最小值及等号成立的条件 49 分段得出1|02x 等号成立的条件 510 分段得出原不等式等号成立的条件，从而证出原不等式 6第（2）问如果通过平移作图证明，此问也可得 5 分
