1、理科数学试题第 1 页（共 11 页）绝密启用前绝密启用前赤峰市高三年级赤峰市高三年级 420 模拟考试试题模拟考试试题 理科数学理科数学注意事项：注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
2、本试卷上无效3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设全集1,2,3,4,5,6,7,8U=,1,3UAB=,()2,4UAB=,则集合B为（）A1,3,5,6,7,8 B2,4,5,6,7,8 C5,6,7,8 D1,2,3,42、棣莫弗公式()()cossincos,sinnnrirnin+=，（i是虚数单位，0r）是由法国数学家棣莫弗（16671754
3、）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内的复数112 cossin44i+对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 理科数学试题第 2 页（共 11 页）3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（）A该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D该直播间第三季度食品收入低于前
4、两个季度的食品收入之和.4、函数()21sinf xxxx=在()(),00,上的图像大致为（）A B C D 5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第n环，则第1n 号环必须解下(或套上)，1n 往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为na，已知()12121,2,213nnnaaaaan=+，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（）A42 B85 C170 D341 理科数学试题第 3 页（共 11 页）6、下列选项中，命题p是命
5、题q的充要条件的是（）A在ABC中，:p AB，:sinsinqAB.B已知x,y是两个实数，2:230p xx，:02qx.C对于两个实数x,y,:8p xy+，:3q x 或5y.D两条直线方程分别是1:260laxy+=，()22:110lxaya+=,12:p ll，:2q a=或1.7、记函数()()sin0,02f xx=+Bacb Cbac Dcab 12、初中时代我们就说反比例函数kyx=的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把1yx=的图象顺时针旋转4可以得到双曲线22122xy=.已知函数32 33yxx=+，在适当的平面直角坐标系中，
6、其标准方程可能是（）A221124xy=B22114143xy=C221412yx=D2211414yx=理科数学试题第 5 页（共 11 页）二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13、已知向量()2,0a=，(),2 3bx=，且a与b的夹角为23，则x=14、已知()()()()62601261111xaaxaxax=+，则4a=15、某三棱锥的三视图如右图所示，则此三棱锥外接球的体积是 16、已知抛物线()2:20C xpy p=，焦点为F，过点()2 2,Mp作抛物线C的两条切线，切点分别是A，B，已知线段AB的中点()0,
7、6N x，则AFBF的值是 理科数学试题第 6 页（共 11 页）三、三、解答题：共解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共必考题：共 60 分分 17、（12 分）函 数()f x对 任 意xR有()()11f xfx+=，数 列 na满 足()()12101nnafffffnnn=+，令()2421nnba=.数列 na中，已知112a=，对任意的,p q
8、N都有p qpqaaa+=+，令21nnba=.在、中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）数列 na是等差数列吗？请给予证明.（2）设12nnTbbb=+，48nMn=，试比较nT与nM的大小.理科数学试题第 7 页（共 11 页）18、（12 分）2022 年中国新能源汽车销售继续蝉联全球第一，以生产充电电池起家的比亚迪在 2002年才进入汽车行业，2022 年 2 月已成为全球唯一一家同时掌握电池、电机、电控芯片、整车制造等全产业链核心技术的新能源汽车厂商，成为新能源汽车（纯电动和插电式混动）的销量冠军，在中国新能源汽车的总销量中占比约为1
9、3.2022 年 4 月 3 日，比亚迪宣布停止纯燃油汽车的整车生产，成了全球首家“断油”的企业，为了解中国新能源车的销售情况，随机调查 10000 辆新能源汽车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）求a的值，并求出中国新能源车的销售价格的平均数、众数、中位数；（2）若从新能源车中随机的抽出 3 辆，设这 3 辆新能源车中比亚迪汽车的数量为X，求X的分布列与数学期望，并解释此期望值的含义.理科数学试题第 8 页（共 11 页）19、（12 分）已知ABC为等边三角形，其边长为4，点D为边AC的中点，点E在边AB上，并且DEAB，将ADE沿DE折起到A DE.（1）证明：平面A
10、BE平面BCDE；（2）当平面A DE与平面BCDE成直二面角时，在线段BC上是否存在一点P，使得平面A PD和平面A BE所成二面角的正切值为3，若存在，求出点P的位置;若不存在，请说明理由.理科数学试题第 9 页（共 11 页）20、（12 分）已知函数()()()()2,xf xeg xa xxaR=.（1）在当1a=时，分别求()f x和()g x过点()0,0的切线方程；（2）若()()cos0f xg xx+，求a的取值范围.理科数学试题第 10 页（共 11 页）21、（12 分）已知椭圆()2222:10 xyEabab+=的离心率为12，其左、右顶点分别为,A B,左右焦点为
11、12,F F,点P为椭圆上异于,A B的动点，且12PFF的面积最大值为3（1）求椭圆E的方程及PAPBkk的值（PAk、PBk分别指直线PAPB、的斜率）（2）设动直线l交椭圆E于,M N两点，记直线AM的斜率为1k，直线BN的斜率为2k，且1213kk=求证：直线MN过定点 设AMNBMN、的面积分别为12,S S，求12SS的取值范围.理科数学试题第 11 页（共 11 页）（二）选考题：共选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22、选修 4-4：坐标系与参数方程（10
12、 分）在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为()11+2xtyt=+=t为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C的方程为()1sin1=（1）求曲线1C的普通方程，曲线2C的直角坐标方程；（2）若点()0,1M，曲线1C，2C的交点为,A B两点，求MAMB的值 23、选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数()21f xxxa=+，若()3f x 的解集为,1b.（1）求实数,a b的值;（2）已知,m n均为正数，且满足12202amn+=，求证：2244mn+.高三理数 第 1 页 共 8 页 赤峰市高三年级 420 模拟考试试题 理科数学答案 202304
13、 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 C B C D B A C A B C D A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13-2.1460.156.1617 或 44 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17（12 分）选择条件 解：（1）由已知
14、得，()()12101nnafffffnnn=+（1）()()12110nnafffffnnn=+（2）1 分 两式相加，得()()()()111120110nnnaffffffffnnnn=+2 分 由()f x对任意Rx有()()11f xfx+=，得()()1122011nnffffffnnnn+=+=+=4 分()1*2nnanN+=5分 由1211222nnnnaa+=得，数列 na是以11a=为首项，12d=的等差数列.6 分（2）由（1）知12nna+=，()221442nnban=7 分 12222211114123nnTbbbn=+=+8 分 又()21111111nn nn
15、nnn=10 分 高三理数 第 2 页 共 8 页 211111114414 2812231nnTSnnnn+=11 分 即nnTS 12 分 选择条件 解：（1）由已知，对任意的*,Np q都有p qpqaaa+=+，令,1pn q=1 分 则1112nnaaa+=，2 分 故数列 na为以112a=为首项，12d=为公差的.AP 4 分()112nnaand=+=.6 分（2）由（1）知2nna=，24nbn=7 分 12222211114123nnTbbbn=+=+8 分 又()21111111nn nnnnn=10 分 211111114414 2812231nnTSnnnn+=11分
16、 即nnTS12 分 18（12 分）解：（1）由频率分布直方图得，()5 0.001 0.0050.0150.0170.041a+=.0.022a=.1 分 销售价格的平均数 10 0.2220 0.430 0.1740 0.1550 0.0560 0.0124.4=+=2 分 由频率分布直方图得，众数为 20（万元）.3 分 0.220.280.5+=中位数0.2815 10220.4=+=（万元）4 分（2）比亚迪汽车在中国新能源汽车的总销量中占比约为13，5 分 1(3,)3XB，即 X 服从二项分布.6 分 则，328(0),327P X=7 分 高三理数 第 3 页 共 8 页 2
17、131 2124(1),3 3279P XC=8 分 2232 12(2),3 39P XC=9 分 311(3).327P X=所以，X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 827 49 29 127 10 分()131.3E X=11分 其含义是：若从新能源车中随机地抽出 3 辆，平均有一辆是比亚迪汽车.12 分 19（12 分）（1）证明：DEAB 折叠后，,DEA E DEBE A EBEE=2 分 DEA BE平面 3分 又DE 平面 BCDE4 分 平面A BE 平面BCDE.5 分 （2）解：由（1）知，A EB为二面角AEDB的平面角，平面A DE与平面BCDE成直二面角 90
18、A BE=即，A EBE.EDEBEA、两两互相垂直.6分 如图，以E为坐标原点，分别以EBEDEA、所在的直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则zxy 高三理数 第 4 页 共 8 页()()()()3,0,0,0,3,0,1,2 3,0,0,0,1BDCA 7 分 点P在线段BC上，令()2,2 3,0,0,1BPBC=，则()32,2 3,0P，()()0,3,1,32,2 3,1A DA P=8分 由（1）知，DEA BE平面，则A BE平面的法向量()10,1,0n=.9 分 设平面A PD的法向量()2,nx y z=，由2200nA DnA P=得，()30322 30yz
19、xyz=+=，令1y=，则232 3,1,332n=，10 分 设平面A PD和平面A BE所成二面角为，则tan3=，1cos2=1221211232 3432n nn n=+11 分 32 3032=，解得12=.12 分 存在符合条件的点P，恰好为线段BC的中点.20（12 分）已知函数()()2(),()xf xeg xa xxaR=（1）在当1a=时，分别求()f x和()g x过点()0,0的切线方程；（2）若()()cos0f xg xx+，求a的取值范围 解：（1）设过点()0,0的切线与()f x的切点为()00,xx e.由()00 xfxe=，则切线方程为()000 xx
20、yeexx=，1 分 把()0,0代入得，01x=，故切线方程为0exy=.2 分 当1a=时，()2g xxx=+，因()0,0在图象上，故()0,0即为切点，3 分 故()01kg=，则切线方程为0 xy=.4 分（2）由()()cos0f xg xx+，得()2cos0 xh xeaxaxx=+.则()2sinxh xeaxax=+，则()2cosxhxeax=+，5 分 当1a 时，()2cos0 xhxeax=+，所以()2sinxh xeaxax=+在R上为增函数.高三理数 第 5 页 共 8 页()()010,1sin10hahae=+()()000,1,0 xhx=使 故，当(
21、)()()0,0,xxhxh x 时，单调递减，当()()()00,00 xxh xh=时，不符合题意.7 分 当1a=时，()2cosxh xexxx=+，()21sinxh xexx=+，()2cos0 xhxex=+恒成立，()hxR在上恒增，且()00h=故，当()()(),00,xhxh x 时，单调递减，当()()()0,0,xhxh x+时，单调递增.()min(0)0hxh=，()0h x 恒成立，1a=.9 分 当01a时，()2sinxh xeaxax=+，()2cosxhxeax=+在()1,0 x 上单调递增，且()()112cos10hae=+，故()hx在()1,0
22、 x 上单调递增，又()()113sin10,010hahae=，则()()111,0,0 xhx=使，故，当()()()1,00,xxhxh x时，单调递增，当()()()1,0,00 xxh xh=时，不符合题意.11分 当0a 时，由()11112cos1202haaee=+，不符合题意.综上，a的取值范围 1.12 分 21（12 分）解（1）由已知得，222123cabcabc=+，1 分 2,3,1abc=.2 分 故椭圆E的方程为22143xy+=.3 分 则()()2,0,2,0AB，令(),P x y，则22223 14322444PAPBxyyykkxxxx=+.4 分 高
23、三理数 第 6 页 共 8 页（2）由（1）知，13,4BMk k=又1213kk=294BMkk=.5 分 令()()1122,M x yN xy，则()()12129224y yxx=（*）6 分 设直线MN的方程为xmyn=+，与椭圆方程联立 2234120 xmynxy=+=得，()2223463120mymnyn+=.则()222121222631248 440,3434mnnmnyyy ymm=+=+.7 分（*）可化为()()()()()()12121222121249229229244y yxxmynmynm y ymnmyynn=+=+整理得2320nn+=，解得12nn=或
24、（舍）.8 分 故直线MN的方程为1xmy=+，过定点()1,0T.（另解，可设直线方程为（另解，可设直线方程为ykxm=+，联立整理得，联立整理得 22320,2mkmkmkmk+=或（舍）由知，直线MN过定点()1,0T，则()12121212113 122S SATBTyyyyyy=-9 分 由知12122269,3434myyy ymm+=+()22121212122121434mSSyyyyy ym+=+=+-10 分 令22211,1mtmt+=，则()12212121313tSSf tttt=+-11 分 因为13tt+在)1,+单调递增，故最大值为()13f=.当t+时，()0
25、f t.12SS-的取值范围是(0,3.12 分 高三理数 第 7 页 共 8 页（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做二题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分.做答时，用做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）解（1）由1tx=代入1 2yt=+得，1 分 1:210Cxy=.2 分 由()1 sin1=得，1y=+3 分 两边平方，得()2221xyy+=+4 分 化简，得2
26、:C221xy=+5 分（2）点()0,1M在直线1:210Cxy=上，6 分 设直线1C的倾斜角为，由斜率2k=知，52 5sin,cos55=.设直线1C的参数方程为()552 515xttyt=+为参数 7 分 代入2:C221xy=+，得24 550tt+=8 分 由121 20,4 5,5ttt t+=9 分 1 25MA MBt t=10分 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）解：（1）因为()3f x 的解集为,1b，所以()13f，即313a+，得10a+，故1a=.1 分 则()211f xxx=+，1112233xxx .2 分 11112223xxx+.3 分 133xxx.4 分 综上，()3f x 的解集为1,1，则1b=5 分 高三理数 第 8 页 共 8 页（2）由（1）知1a=，则()1220,02mnmn+=，6 分 故12222222mnmnmn=+=，1mn，7 分 当且仅当1,22mn=时，等号成立.8 分 所以，222242 444mnm nmn+=，9 分 当且仅当1,22mn=时，等号成立.10 分
