1、数列一、 数列的概念与简单表示法1、 数列的概念 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为,或者简记为,其中表示数列的通项。注: 研究对象:“数”(与集合相区别)。 首项(第1项):数列中的排在第1位的数。 第2项 :数列中的排在第2位的数。 通项(第n项):数列中的排在第n位的数。 注意与含义的区别: :表示数列中的第n项。:表示数列,简单记法。 数列的项性质:有序性 :一个数列不仅与构成数列的数有关,而且与排列顺序有关。可重复性 :数列中数可以重复出现。补充知识:集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性。例:
2、a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合,不同的数列b 1、2、2、3、5、5可以表示数列,但不能构成集合。 从函数的角度研究数列: 对于任意一个数列,其每一项与序号都有对应的关系,见下表:序号(项数n)123n项数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集1,2,3,,n)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。注:1、数列可以看作特殊的函数(离散型),其图像是一系列孤立的点。 2、函数不一定是数列。2、 数列的表示方法 列表法:列出表格表示出数列的项和序号的关系 例:数列6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示序号(项数)1
3、23456项666666666666666666666 图像法: 在平面直角坐标中,数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点(,)。 通项公式法:用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。3、 数列的通项公式: 数列的第n项叫做数列的通项。 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。注: 并不是所有的数列都可以用通项公式表示 例:小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9,2,6精确到1,0.1,0.01,0.001,的近似值组成的数列3,3.1,3.14,3.142, 只给出一个数列的若干项,而未指明数列构成规律时,该数列的通项公式不能唯
4、一确定。例:数列1,4,7,10,通项公式可以是,也可以 数列通项公式的表示方法不唯一。例:数列-1,1,-1,1,-1,通项公式可以是,也可以是。4、 数列的递推公式: 递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即或,那么这个式子叫做数列的递推公式。 通项公式与递推公式异同点:相同点:都可以确定一个数列,都可以求出数列的任意一项。不同点:通项公式可以通过代入项数n直接求出项。简单直接 递推公式需要通过一次或者多次赋值,求出需要的项。赋值繁琐所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。(相应专题练习)5、 数列的前n项和:叫
5、做数列的前n项和,记作数列的通项与前n项和的关系:注:1、不是对一切正整数n都成立的,而是对于的一切正整数恒成立,因为当时,无意义。 2、由前n项和求通项公式时,要分两种情况:和,然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当时,也适合的表达式,则将两种情况统一合写。若不能,则需要采用分段形式来表示。例: (1); (2);(3);(4);(5);6、 数列的分类: 分类标准名称含义举例项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,n无穷数列项数无限的数列1,4,9, 项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列3,4,5,n+2递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列1, , 常数列各项相等的数列6,6,6, ,6摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4, 7、 数列的性质: 单调性,周期性,有界性 单调性:递增数列:,递减数列:,摆动数列:有大有小常数列:,=求数列的最大(小)项,一般先研究数列的单调性,可以用 或 求解,也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。 周期性: ,=(k为正整数),那么称数列是以k为周期的周期函数。例:、注意:,不是周期函数。递推公式(创新题型):, 有界性:, ,那么称为 有界数列,否则称为无界数列。例:1、等均为有界数列 2、等均为无界数列