1、2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】集合，则.故选：C2函数的定义域是( )ABCD【答案】D【分析】根据对数的真数部分大于，列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义需满足，解得，即函数的定义域为，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，属于基础题.3函数则（ ）A0B-2C2D6【答案】A【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.【详解】由，则.故选：A4将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.ABCD【答案】D【解析】试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，
2、有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为,故选D.【解析】古典概率点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m:n属基础题5的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】利用二倍角公式求解即可.【详解】；故选：A.6已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解
3、.【详解】因为与直线平行，所以斜率相等，即；过点，则由点斜式可知直线方程为，即直线的方程为，故选：D.【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.7已知向量，若，则实数的值为（ ）A-2B2C-1D1【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】因为，所以，所以，即.故选：B8已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：12345147在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）.A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【答案】B【解析】解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B9已知直线和圆，则直线和圆
4、的位置关系为（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小，即可判断.【详解】圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线和圆的位置关系为相交，故选：A10下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）.ABCD【答案】B【解析】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，在（0，+）上不单调，B的底数大于1，在（0，+）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B【解析】函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键1
5、1下列命题正确的是()A一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B平行于同一个平面的两条直线平行C与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】D【解析】A错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；B错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；C错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；D正确；设故做一平面，则，又故选D12已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（ ）A27.5B28.5C27D28【答案】A【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列
6、，根据中位数的定义计算可得.【详解】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：，所以这组数据的中位数是.故选：A.【点睛】关键点点睛：理解茎叶图，掌握中位数的定义是本题的解题关键.13若，则的最小值是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用二次函数的单调性求最值即可.【详解】由题意得：令，则函数的对称轴为：，又，所以函数先减后增，当时，函数取最小值，则，所以的最小值是；故选：C.14偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（ ）A单调递增，且有最小值B单调递增，且有最大值C单调递减，且有最小值D单调递减，且有最大值【答案】A【分析】根据偶函数图象的特点可知在区间上单调递增，即可得出最值.【详解】因为
7、是偶函数，在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，所以在区间上最小值为，最大值为，故选：A15已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）A横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变【答案】A【分析】根据三角函数的伸缩变换可得到答案.【详解】将图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得的图象，故选：A.二、填空题16函数的最小正周期为_【答案】【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可【详解】解：函数的最小正周期为故答案为：【点睛】此题考查余弦型函数的周期，
8、属于基础题.17在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是_【答案】【分析】先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用即可得出答案.【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为：，则该班学生人数是.故答案为：.18已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_【答案】 【分析】由扇形的弧长和圆心角可得半径，再由S扇形=计算即可得解.【详解】由扇形的圆心角为，弧长为，可得扇形半径为.从而有扇形面积为：.故答案为.【点睛】(1)本题主要考查扇形的弧长、圆心角和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推
9、理计算能力.(2) S扇形=，其中代表弧长, 代表圆的半径，属于基础题.三、双空题19.已知等差数列中，则公差_，_.【答案】2 9 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】等差数列中，则公差，所以.故答案为：2；9四、解答题20在中，角，所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据余弦定理计算可得结果；（2）根据正弦定理计算可得结果.【详解】（1），是的内角，.（2），又因为，所以.【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键.21如图，在正方体中，、分别为的中点.（1）求证：；（2）求证：
10、平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结，证出，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得.（2）连结，证出，再利用线面平行的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）连结，由正方体得，平面.又平面，又四边形是正方形，而，平面，又平面，.（2）连结，由分别为的中点得，且四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.22已知数列满足，且（1）求及（2）设，求数列的前项和【答案】（1）2，；（2）.【分析】（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.（2）先把表示出来，利用分组求和法得到答案.【详解】解：（1）因为，所以数列是以首项为2，公比为3的等比数列，所以数列；（2）=
11、.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.23已知圆，直线.（1）当为何值时，直线与圆相切.（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，得出圆的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数的值，进而可得出直线的方程.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为，当直线与圆相切时，则，解得；（2）由题意知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.因此，直线
12、的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.24已知函数满足： ； .（1）求，的值；（2）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）把条件；，代入到中求出即可；（2）不等式恒成立，设则分，两种情况讨论，只需即可.【详解】（1） ，满足，可得，即，即， ，；（2）由（1）得，设，当，即时，故只需，解得，与不合，舍去；当，即时，故只需，解得，又，故 综上，的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在上方即可)； 讨论最值或恒成立.
