1、圆的知识点及基础训练第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系7、圆周角定理8、圆周角定理的推论9、圆锥的侧面积与全面积2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面，线段OP绕它固定的一个端点O ，另一端点P所经过的 叫做圆，定点O叫做 ，线段OP叫做圆的 ，以点O为圆心的圆记作 ，读作圆O。2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦
2、。3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“”就可表示出来。4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P到圆心O的距离为d，O的半径为R，则：点P在O外 ；点P在O上 ；点P在O 。6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。8、过 的三点确定一个圆。9、经过三角
3、形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD，如图所示，试说明：矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（中考数学）有下列四个命题： 直径是弦； 经过三个点一定可以作圆； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个例2、下列说法中，错误的是（ ）A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆最长的弦是直径 D.弧小于半圆例3、下列命题中，正确的是（ ）A三角形
4、的三个顶点在同一个圆上 B过圆心的线段叫做圆的直径C大于劣弧的弧叫优弧 D圆任一点到圆上任一点的距离都小于半径例4、下列四个命题： 经过任意三点可以作一个圆； 三角形的外心在三角形的部； 等腰三角形的外心必在底边的中线上； 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个【题型三】点和圆的位置关系的判断例1、O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（4，2），则点P与O的位置关系是（ ）A点P在O B点P在O上 C点P在O外例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以A点为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆且至少有
5、一个点在圆外，则A的半径r的取值围是 【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 【题型五】圆中角的求解如右上图，AB为O的直径，CD为O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，E=18，求AOC的度数温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。巩 固 练 习1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊
6、的活动区域。3m 2、如果O所在平面一点P到O上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为 3、如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC，DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a，b，c的大小关系是 第5题第3题4、已知O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在O的 5、如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心6、若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值围是 7、在RtABC中，C=90，两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则ABC的外接圆面积为
7、8、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条【课本相关知识点】1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 4、分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。5、 的距离叫做弦心距。6、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 【典型例题】 【题型一】应用垂径定理计算与证明 例1、如图所示，直径CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。例2、如图所示，已知线段AB交O于C、D两
8、点，OA、OB分别交O于E、F两点，且OA=OB，求证：AC=BD60cm10cm温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。【题型二】垂径定理的实际应用例1、某居民区一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问：修理人员应准备径多大的管道？温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是 【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用例1、如
9、图，已知M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设O的半径为4cm，MN=4cm。（1）求圆心O到弦MN的距离（2）求ACM的度数【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等巩 固 练 习1、下列说确的是（ ）A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合2、下列命题： 垂直于弦的直径平分这条弦； 平分弦的直径垂直于弦；垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、如图，O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）个A.2 B.3 C.
10、4 D.54、半径为5cm的圆有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为 cm5、圆的半径等于2cm，圆一条弦长2cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于 ACOMNB6、如图，矩形ABCD与O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的长为 OPMAN第8题第6题第7题第9题图 7、如图，AB是O的直径，CD是弦。若AB=10cm，CD=6cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为 8、如图，半径为5的P与y轴交于点M（0，-4）、N（0，-10），函数y=（x2CD B. ABCD，OMAB，ONCD，M、N为垂足，那么OM、ON的关系是（
11、）A. OMON B. OM=ON C. OMON D. 无法确定9、如图所示，已知AB为O的弦，从圆上任一点引弦CDAB，作OCD的平分线交O于点P，连续PA、PB。求证：PA=PB10、如图所示，M、N为AB、CD的中点，且AB=CD。求证：AMNCNM11、如图，MONO，过MN的中点A作ABON，交于点B，试求的度数【课本相关知识点】1、顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 3、圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 4、拓展一下：圆接四边形的对角 5、圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相
12、等的圆周角所对 的也相等【典型例题】【题型一】圆周角定理的应用例1、ABC为O的接三角形，BOC=100，求BAC的度数。【题型二】圆周角定理推论的应用例1、如图所示，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长。例2、如图所示，A、B、C三点在O上，CE是O的直径，CDAB于点D。（1）求证：ACD=BCE；（2）延长CD交O于点F，连接AE、BF，求证：AE=BF【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题例1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86，30，则ACB的大小为 例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有
13、一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）图形1图形2答案：解法一：如图（1），把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B，另一边交于点C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C），度量BC长即为直径；解法二：如图（2），把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C，然后把角尺顶点与C点重合，有一边与CB重合，让另一边与井盖边缘交于D点，延长DC交井盖边于E，度量DE长度即为直径；巩 固 练 习1、图中圆周角有（ ）第1题第3题第4题第5题第2题A.1个
14、 B.2个 C.3个 D.4个2、如图，正方形ABCD接于O，点P在AB上，则DPC = .3、如图，已知EF是O的直径，把A为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止设POF=x，则x的取值围是（）A30x60 B30x90 C30x120 D60x1204、如图，PB交O于点A、B，PD交O于点C、D，已知的度数为42，度数为38，则P+Q= 5、如图，AB是O的直径，C, D, E都是O上的点，则12 = .6、如图，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的
15、角有（ ）第6题A.2个 B.3个 C.4个 D.5个第8题第7题7、已知，如图，AB为O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC=45。给出下列四个结论： EBC=22.5； BD=DC； 是的2倍； AE=BC。其中正确结论的序号是 8、如图，O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角为 9、如图，AB, AC 是O的两条弦，且AB=AC延长CA到点D使AD=AC， 连结DB并延长,交O于点E求证：CE是O的直径10、如图，在O中AB是直径， CD是弦，ABCD.(1)P是上一点（不与C, D重合）求证：CPD=COB； (2)点P在
16、劣弧CD上（不与C , D重合）时，CP/D与COD有什么数量关系？请证明你的结论11、（1）如图（1）已知，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O交AB、AC于D、E求证：ODE是等边三角形；（2）如图（2）若A=60，ABAC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由12、如图所示，直径AB、CD互相垂直，P是OC的中点，过点P的弦MNAB，试判断MBC与MBA的大小关系。13、如图，AB为O的直径，弦DA、BC的延长线相交于点P，且BC=PC，求证：（1）AB=AP （2）【课本相关知识点】1、弧长公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为=
17、2、在弧长公式中，有3个变量： ，已知其中的任意两个，都可以求出第3个变量。我们只需要记住一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）3、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。4、扇形面积公式2：半径为R，弧长为的扇形面积为 5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。【典型例题】【题型一】静止图形的
18、弧长计算与运动图形的弧长计算【例1】、如图所示，在ABC中，ACB=90，B=15，以C为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D。若AC=6，求的长【例2】、如图，菱形ABCD中，AB=2，C=60，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 【题型二】求阴影部分的面积问题【例1】、如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，以BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE。求图中阴影部分的面积。AHBOC【例2】、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 例
19、3例2【例3】、如上图，RtABC中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将ABC绕点B顺时针旋转120到A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）ABCD【例4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。0BA【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题【例1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积
20、是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm、DBA=20，端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD扫过的面积为 cm2（取3.14）【例2】、如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 57度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14，结果精确到1）巩 固 练 习1、如果一条弧长等于r，它的半径是r，那么这条弧所对的圆心角度数为 2、如果一条弧长为，它的半径为R，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加 3、扇形的弧
21、长为20cm，半径为5cm，则其面积为 cm24、一个扇形的弧长是20cm，面积是240cm2，那么扇形的圆心角是 5、图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（ ）A.0 B.2 C.3 D.46、如图所示，扇形AOB的圆心角为90，分别以OA、OB为直径在扇形作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是 第8题第7题第6题7、如图，AB=12，C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为 8、如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）（到了初中阶段，其实即使不
22、说，结果也要保留，这是一个基本常识）9、如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=2将ABC绕顶点A顺时针方向旋转至ABC的位置，B，A，C三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 第10题第9题10、（2013年中考题）在ABC中，C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示，若AB=4，AC=2，则的值是（ ）A. B. C. D. 11、如图，O的半径为R，AB与CD是O的两条互相垂直的直径，以B为圆心，BC为半径为,交AB于点E，求圆中阴影部分的面积。12、如图，已知矩形ABCD中，BC=2AB，以B为圆心，BC为半径的圆交AD于E，交BA的延长线于F ，设AB
23、=1，求阴影部分的面积.13、如图，在ABC中，已知AB=4cm，B=30，C=45，若以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点E，交BC于点F。（1）求的长 （2）求CF的长【课本相关知识点】1、圆锥可以看做是直角三角形绕 旋转一周所成的图形。 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。另一条直角边旋转而成的面叫做 。圆锥的 和 的和叫做圆锥的全面积（或表面积）。2、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 3、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 4、圆锥的母线长，高h，底面圆半径r满足关系式 5、已知圆锥的底面圆半径r
24、和母线长，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 6、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值围为 【典型例题】【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积）【例1】如图所示，在ABC中，BAC=30，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ）A. 2a B. ab C. 3a2+ab D. a（2a+b）【例2】如图，有一圆心角为120，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）A. 4cm B. C. D. 【例3】如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆
25、心角等于120（如图），则r与R之间的关系是 例3例2例1【题型二】与圆锥有关的方案设计题【例1】在一个边长为a的正方形材料上截取一扇形，围成母线长为a的圆锥（1）试设计两种不同的截法（要求每一种截法尽量减少浪费的材料），并把截法在图上表示出来（2）分别求出（1）中两种不同截法所得的圆锥底面的半径和高（3）（1）中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大？ 【题型三】与圆锥有关的最短距离问题【例1】如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径。巩 固 练 习1、一个圆锥形零件的底面半径为4，
26、母线长为12，那么这个零件侧面展开图的圆心角为 2、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于 3、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为 第3题第4题第5题4、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为 5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 cm6、如图所示，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出
27、一个圆心角为90的最大扇形ABC（1）求被剪后阴影部分的面积（2）用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥，则该圆锥的底面半径是多少？第三章 圆的基本性质的知识点及典型例题知识框图三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的求不规则阴影部分的面积圆的相关证明求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积求半径、弦长、弦心距圆的中心对称性和旋转不变性圆心角定理及逆定理圆的轴对称性垂径定理及其2个逆定理点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆弧可分为劣弧、半圆、优弧在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧圆概 念圆、圆心、半径、直径弧、弦、弦心距、等弧
28、圆心角、圆周角三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形圆的基本性质圆周角定理及2个推论圆的相关计算证明多边形的形状；证明两线垂直证明弧度之间的数量关系；证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距
29、中有一对量相等，那么 都相等。注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求，那么所求的是弧长4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等5、拓展一下：圆接四边形的对角之和为 6、弧长公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为= 7、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可
30、以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。扇形面积公式2：半径为R，弧长为的扇形面积为 8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 10、圆锥的母线长，高h，底面圆半径r满足关系式 11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值围为 考点一、与圆相关的命题的说确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要
31、利用勾股定理和垂径定理及逆定理考点四、求圆心角、圆周角考点五、求阴影部分的面积考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题考点八、方案设计题，求最大扇形面积考点九、将圆锥展开，求最近距离练习一、选择题1、下列命题中： 任意三点确定一个圆；圆的两条平行弦所夹的弧相等； 任意一个三角形有且仅有一个外接圆； 平分弦的直径垂直于弦； 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿 的路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）PAOBstOsOtOst
