1、2019年浙江中考相似三角形培优汇编1.（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若FPG=90，AEP的面积为4，DPH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 .H答案：AEPFAEP=DPH又A=A=90，D=D=90A=DAEPDPH又AB=CD，AB=AP，CD=DPAP= DP设AP=DP=xSAEP：SDPH=4：1AE=2DP=2xSAEP=x0x=2AP=DP=2AE=2DP=4PH=EP=DH=DH=AP=1AD=AE+EP+PH+DH=5+
2、3AB=AP=22.（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在BC,AD上，MN,EF交于点P，记k=MNEF.（1）若ab的值是1，当MNEF时，求的值.（2）若ab的值是，求k的最大值和最小值.（3）若的值是3，当点N是矩形的顶点，MPE=60，MP=EF=3PE时，求ab的值.答案：（1）作FHBC，MQCD，如图1， 四边形ABCD为正方形， FHAB，MQBC， FHMQ MNEF， HFENMQ，FHEMQN90， FHEMQN， MNEF， k1 （2） a : b1 : 2， b2a由题意得，2aMNa，aEFa，当M
3、N取最长时，EF可取到最短，此时k的值最大，最大值为当MN取最短时，EF可取到最长，此时k的值最小，最小值为 （3）连结FN，ME 3，MPEF3PE， 3， 2， PNFPME ， 2，MENF设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m 当点N与点D重合时，如图2，点M恰好与点B重合，过点F作FHBD于点H， MPEFPH60， PH2m，FH2m，HD10m， 当点N与点C重合，如图3，过点E作EHMN于点H，则PHm，HEm， HCPHPC13m， MEFC， MEBFCBCFD又 BD， MEBCFD， 2， 综上所述，a：b的值为或 3.（2019嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上
4、的问题，温故后进行了操作、推理与拓展(1)温故：如图1，在ABC中，ADBC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点PN分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图2，任意画ABC，在AB上任取一点P，画正方形PQMN，使Q，M在BC边上，N在ABC内，连结BN并延长交AC于点N，画NMBC于点M，NPMN交AB于点P，PQBC于点Q，得到四边形PQMN小波把线段BN称为“波利亚线”推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形答案：（1）解：如图1中， 图1PNBC，APNABC，即，解得PN
5、（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求证明：如图2中， 图2由画图可知：QMNPQMNPQBMN90，四边形PNMQ是矩形，MNMN，BNMBNM，同理可得：，MNPN，MNPN，四边形PQMN是正方形4.（2019金华）如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AB=14。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF。 （1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO （2）已知点G为AF的中点。 如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。若AD=6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形?若存在，求CE
6、的长；若不存在，试说明理由。答案： （1）解：由旋转的性质得： CD=CF，DCF=90，ABC是等腰直角三角形，AD=BD，ADO=90，CD=BD=AD，DCF=ADC，在ADO和FCO中， ，ADOFCO（AAS），DO=CO，BD=CD=2DO.（2）解：如图1，分别过点D、F作DNBC于点N，FMBC于点M，连结BF， DNE=EMF=90，又NDE=MEF，DE=EF，DNEEMF，DN=EM，又BD=7，ABC=45，DN=EM=7，BM=BC-ME-EC=5，MF=NE=NC-EC=5，BF=5，点D、G分别是AB、AF的中点，DG= BF= ；过点D作DHBC于点H，AD=6
7、BD，AB=14，BD=2，（）当DEG=90时，有如图2、3两种情况，设CE=t，DEF=90，DEG=90，点E在线段AF上，BH=DH=2，BE=14-t，HE=BE-BH=12-t，DHEECA， ，即 ，解得：t=62，CE=6+2，或CE=6-2，（）当DGBC时，如图4,过点F作FKBC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA，连结FM，则NC=DH=2，MC=10，设GN=t，则FM=2t，BK=14-2t，DHEEKF，DH=EK=2，HE=KF=14-2t，MC=FK，14-2t=10，解得：t=2，GN=EC=2，GNEC，四边形GECN为平行四边形，ACB
8、=90，四边形GECN为矩形，EGN=90，当EC=2时，有DGE=90，（）当EDG=90时，如图5：过点G、F分别作AC的垂线交射线于点N、M，过点E作EKFM于点K，过点D作GN的垂线交NG的延长线于点P，则PN=HC=BC-HB=12，设GN=t，则FM=2t，PG=PN-GN=12-t，DHEEKF，FK=2，CE=KM=2t-2，HE=HC-CE=12-（2t-2）=14-2t，EK=HE=14-2t，AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t，MN= AM=14-t，NC=MN-CM=t，PD=t-2，GPDDHE， ，即 ，解得：t1=10-，t2=10+（舍去
9、），CE=2t-2=18-2；综上所述：CE的长为=6+2，6-2，2或18-2.5.（2019温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BMBC，作MNBG交CD于点L，交FG于点N欧儿里得在几何原本中利用该图解释了现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ）A. B. C. D. 解：连接AG，点A，L，G在同一直线上，PF=a，AD=a-b，DL=a+b，CL=a-b，CG=b，ADCG，ADLGCL，即，整理可得：a
10、=3b，PH=，故选：C.6.（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OFDE于点F，连结OE动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当tanEOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Qs，APt，求s关于t的函数表达式当PQ与OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长解：（1
11、）令，则，为.为，在中，.又为中点，.（2）如图，作于点，则，.，由勾股定理得，.，为.（3）动点同时作匀速直线运动，关于成一次函数关系，设，将和代入得，解得，.（）当时，（如图），作轴于点，则.，.（）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.,，.，.（）由图形可知不可能与平行.综上所述，当与的一边平行时，的长为或.7.（2019台州）如图，直线l1l2l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若ABC90，BD4，且，则m+n的最大值为 答案：过B作BEl1于E，延长E
12、B交l3于F，过A作ANl2于N，过C作CMl2于M，设AEx，CFy，BNx，BMy，BD4，DMy4，DN4x，ABCAEBBFCCMDAND90，EAB+ABEABE+CBF90，EABCBF，ABEBFC，即，xymn，ADNCDM，CMDAND，即，yx+10，nm，（m+n）最大m，当m最大时，（m+n）最大m，mnxyx（x+10）x2+10xm2，当x时，mn最大m2，m最大，m+n的最大值为故答案为：8.（2019台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，APFD（1）求的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点
13、M，使EMEB，连接MF，求证：MFPF；（3）如图2，过点E作ENCD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQAP，连接BQ，BN将AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q落在边AD上请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN上，并说明理由答案：（1）设APFDa，AF2a，四边形ABCD是正方形ABCDAFPDFC即a1APFD1，AFADDF3（2）在CD上截取DHAFAFDH，PAFD90，APFD，PAFHDF（SAS）PFFH，ADCD，AFDHFDCHAP1点E是AB中点，BEAE1EMPEPA+AEEC2BE2+BC21+45，ECECPE，CM1PECPAPCDPPCDECPPC
14、D，且CMCH1，CFCFFCMFCH（SAS）FMFHFMPF（3）若点B在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，ENAB，AEBEAQBQAP1由旋转的性质可得AQAQ1，ABAB2，QBQB1，点B（0，2），点N（2，1）直线BN解析式为：yx2设点B（x，x2）AB2x点B（，）点Q（1，0）BQ1点B旋转后的对应点B不落在线段BN上9.（2019宁波）.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线. （1）如图1，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。
15、（2）如图2，在54的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上， （3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长。 答案：（1）解：AB=AC，AD是ABC的角平分线， ADBC.ADB=900.DAB+DBA=90.FAB与EBA互余.四边形ABEF是邻余四边形（2）解：如图所示（答案不唯一） （3）解：AB=AC，AD是ABC的角平分线， BD=CD.DE=2BE，BD=CD=3BE.CE=CD+DE=5BE.EDF=90，M为
16、EF中点，DM=ME.MDE=MED.AB=AC，B=C.DBQAECN. QB=3，NC=5.AN=CN，AC=2CN=10.AB=AC=10.10.（2019宁波）如图1， O经过等边ABC的顶点A，C（圆心O在ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BFEC交AE于点F. （1）求证：BD=BE. （2）当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。 答案：（1）证明：ABC为等边三角形， BAC=C=60 .DEB=BAC=60 ,D=C=60 DEB=D.BD=BE（2）解：如图，过点A作AGEC于点G. ABC为等边三角形，AC=6，BG= BC= AC=3.在RtABG中，AG= BG=3 .BFEC，BFAG.EBFEGA AF:EF=3:2,BE= BG=2.EG=BE+BG=3+2=5.在RtAEG中，AE= .
