1、 1 数学数学必会基础题型必会基础题型平面向量平面向量 【基本概念基本概念与公式】与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.1.向量向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。 2.2.向量的模向量的模：向量的大小（或长度） ，记作：|AB或|a。 3.3.单位向量单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| | 1e 。 4.4.零向量零向量：长度为 0 的向量。记作：0。 【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.5.平行向量（共线向量）平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。 6.6.相等向量相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.7.相反向量相反向量：长度相等，方向相反
2、的向量。ABBA 。 8 8. .三角形法则：三角形法则： ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数） 9 9. .平行四边形法则平行四边形法则： 以, a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。 1010. .共线定理共线定理：/abab。当0时，ab与同向；当0时，ab与反向。 1111. .基底基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.12.向量的模：向量的模：若( , )ax y，则 22 |axy， 2 2 |aa， 2 |()abab 13.13.数量积数量积与夹角公式与夹角公式：| |cosa bab； cos | | a b ab 1414
3、. .平行与垂直：平行与垂直： 1221 /ababx yx y； 1 212 00aba bx xy y 题型题型 1 1. .基本概念基本概念判断正误判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是ABCD。 （5）若ABCD，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （7）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。 （8）若mamb，则ab。 （9）若mana，则mn。 （10）若a与b不共线，则a
4、与b都不是零向量。 2 （11）若| | |a bab ，则/ab。 （12）若| |abab，则ab。 题型题型 2.2.向量的加减运算向量的加减运算 1.设a表示“向东走 8km”, b表示“向北走 6km”,则|ab 。 2.化简()()ABMBBOBCOM 。 3.已知| 5OA ,| 3OB ,则|AB的最大值和最小值分别为 、 。 4.已知ACABAD为与的和向量， 且,ACa BDb， 则AB ，AD 。 5.已知点 C 在线段 AB 上，且 3 5 ACAB,则AC BC，AB BC。 题型题型 3 3. .向量的向量的数乘数乘运算运算 1.计算： （1）3()2()abab
5、（2）2(253 )3( 232 )abcabc 2.已知(1, 4),( 3,8)ab ，则 1 3 2 ab 。 题型题型 4 4. .作图法球向量的和作图法球向量的和 已知向量, a b，如下图，请做出向量 1 3 2 ab和 3 2 2 ab。 a b 题型题型 5 5. .根据图形由根据图形由已知向量求未知向量已知向量求未知向量 1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB AC，表示AD。 2.在平行四边形ABCD中，已知,ACa BDb，求ABAD和。 3 题型题型 6 6. .向量的坐标运算向量的坐标运算 1.已知(4,5)AB ，(2,3)A，则点B的坐标是 。 2.已知
6、( 3, 5)PQ ，(3,7)P，则点Q的坐标是 。 3.若物体受三个力 1 (1,2)F , 2 ( 2,3)F , 3 ( 1, 4)F ,则合力的坐标为 。 4.已知( 3,4)a ，(5,2)b ，求ab，ab，32ab。 5.已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求, x y的值。 6.已知(2,3)AB ，( , )BCm n，( 1,4)CD ，则DA 。 7.已知O是坐标原点，(2, 1), ( 4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。 题型题型 7 7. .判断两个向量能否作为一组基底判断两个向量能否作为一组基底 1.已知 12 ,e e是
7、平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A. 1212 eeee和 B. 1221 326eeee和4 C. 1221 33eeee和 D. 221 eee和 2.已知(3,4)a ，能与a构成基底的是（ ） A. 3 4 ( , ) 5 5 B. 4 3 ( , ) 5 5 C. 34 (,) 55 D. 4 ( 1,) 3 题型题型 8 8. .结合三角函数求向量坐标结合三角函数求向量坐标 1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，| 2OA ，150xOA，求OA的坐标。 2.已知O是原点，点A在第一象限，| 4 3OA ，60xOA，求OA的坐标。 4 题型题型 9 9.
8、.求求数量积数量积 1.已知| 3,| 4ab，且a与b的夹角为60，求（1）a b， （2）()aab， （3） 1 () 2 abb， （4）(2) (3 )abab。 2.已知(2, 6),( 8,10)ab ，求（1）|,|ab， （2）a b， （3）(2)aab， （4）(2) (3 )abab。 题型题型 1010. .求向量的求向量的夹角夹角 1.已知| 8,| 3ab，12a b，求a与b的夹角。 2.已知( 3,1),( 2 3,2)ab ，求a与b的夹角。 3.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。 5 题型题型 1111. .求向量的模求向量的模
9、 1.已知| 3,| 4ab，且a与b的夹角为60，求（1）|ab， （2）|23 |ab。 2.已知(2, 6),( 8,10)ab ，求（1）|,|ab， （5）|ab， （6） 1 | 2 ab。 3.已知| 1 | 2ab，|32 | 3ab，求|3|ab。 题型题型 1212. .求单位向量求单位向量 【与与a平行的单位向量：平行的单位向量： | a e a 】 1.与(12,5)a 平行的单位向量是 。 2.与 1 ( 1, ) 2 m 平行的单位向量是 。 题型题型 1313. .向量向量的的平行平行与垂直与垂直 1.已知(6,2)a ，( 3,)bm ，当m为何值时， （1）/
10、 /ab？（2）ab？ 2.已知(1,2)a ，( 3,2)b ， （1）k为何值时，向量kab与3ab垂直？ （2）k为何值时，向量kab与3ab平行？ 6 3.已知a是非零向量，a ba c，且bc，求证：()abc。 题型题型 1414. .三点共线三点共线问题问题 1.已知(0, 2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：, ,A B C三点共线。 2.设 2 (5 ),28 ,3() 2 ABab BCab CDab ，求证：ABD、 、三点共线。 3.已知2 ,56 ,72ABab BCab CDab ，则一定共线的三点是 。 4.已知(1, 3)A，(8, 1)B，若点(21,2
11、)Caa在直线AB上，求a的值。 5.已知四个点的坐标(0,0)O，(3,4)A，( 1,2)B ，(1,1)C，是否存在常数t，使 OA tOBOC成立？ 题型题型 1515. .判断多边形的形状判断多边形的形状 1.若3ABe，5CDe ，且| |ADBC,则四边形的形状是 。 2.已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0,2)D，证明四边形ABCD是梯形。 7 3.已知( 2,1)A ，(6, 3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形。 4.在平面直角坐标系内，( 1,8),( 4,1),(1,3)OAOBOC ,求证：ABC是等腰 直角三角形。 题型题型 1616. .
12、平面向量的平面向量的综合综合应用应用 1.已知(1,0)a ，(2,1)b ，当k为何值时，向量kab与3ab平行？ 2.已知( 3, 5)a ，且ab，| 2b ，求b的坐标。 3.已知ab与同向，(1,2)b ，则10a b ，求a的坐标。 3.已知(1,2)a ，(3,1)b ，(5,4)c ，则c a b。 4.已知(5,10)a ，( 3, 4)b ，(5,0)c ，请将用向量, a b表示向量c。 8 5.已知( ,3)am，(2, 1)b ， （1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围； （2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。 6.已知(6,2)a ，( 3,)bm ，当m为何值时
13、， （1）a与b的夹角为钝角？（2） a与b的夹角为锐角？ 7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)A ，(3,4)B，(2,1)D，且/ABDC， 2ABCD，求点C的坐标。 8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(2,1)A，( 1,3)B ，(3,4)C， 求第四个顶点D的坐标。 9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶， 航船实际航行方向与水流方向 成30角，求水流速度与船的实际速度。 10. 【2007 年广东卷】 已知ABC三个顶点的坐标分别为(3,4)A，(0,0)B，( ,0)C c， （1）若0AB AC，求c的值； （2）若5c ，求sinA的
14、值。 9 【备用】【备用】 1.1.已知| 3,| 4,| 5abab，求|ab和向量, a b的夹角。 2.2.已知xab，2yab，且| | 1ab，ab，求, x y的夹角的余弦。 1.1.已知(1,3),( 2, 1)ab ，则(32 ) (25 )abab 65 。 4.4.已知两向量(3,4),(2, 1)ab，求当axbab与垂直时的 x 的值。 5.5.已知两向量(1,3),(2, )ab，ab与的夹角为锐角，求的范围。 变式：变式：若( ,2),( 3,5)ab ，ab与的夹角为钝角，求的取值范围。 选择、填空题的特殊方法：选择、填空题的特殊方法： 1.1.特例法特例法 例：
15、 全品P27：4。因为 M,N 在 AB,AC 上的任意位置都成立，所以取特殊情况， 即 M,N 与 B,C 重合时，可以得到1mn，2mn。 2.2.代入验证法代入验证法 例：已知向量(1,1),(1, 1),( 1, 2)abc ，则c （ D ） A. 13 22 ab B. 13 22 ab C. 31 22 ab D. 31 22 ab 变式：变式：已知(1,2),( 1,3),( 1,2)abc ，请用, a b表示c。 解：解：设cxayb，则( 1,2)(1,2)( 1,3)xy 即：( 1,2)( ,2 )(,3 )(,23 )xxyyxyxy 1223xyxy 且，即：1232xyxy 且 解得： 49 55 xy， 49 55 cab 3.3.排除法排除法 例：已知 M 是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（ D ） A.AMMBBC B.3AMAC C.ABBCAC D.AMBMCM 解：观察前三个选项都不与AB共线，所以选 D。
