1、 1 数学数学必会基础题型必会基础题型概率概率 【知识点【知识点 1 1】基本概念基本概念 确定性现象确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或者不发生某种结果。 随机现象随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出 现哪种结果的现象。 试验：试验：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。 事件事件：试验的每一种可能的结果，都是一个事件。 必然事件必然事件：在一定条件下必然发生的事件。 不可能事件不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 随机事件随机事件： 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 用, ,A B C等大写英文字 母表示随机事件，
2、简称为事件。 概率概率：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大 时，我们可以将发生的频率 m n 作为事件A发生的概率的近似值，即 m P A n 。 概率的性质：概率的性质： 随机事件的概率为0( )1P A。 必然事件用表示，不可能事件用表示，必然事件的概率为1，即 1P； 不可能事件的概率为0，即 0P。 概率为 1 的事件不一定为必然事件，概率为 0 的事件不一定为不可能事件。 【必会题型必会题型】 1.1.指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件： 某地明年 1 月 1 日刮西北风；当xR时， 2 0x ； 手电筒的电池没电，灯泡发亮；某电影院某天的
3、上座率超过50%； 某人开车通过 10 个路口都将遇到绿灯； 将一枚硬币抛掷 4 次出现两次正面和两次反面； 某校高一学生中男生比女生多；一粒花籽，播种后发芽； 函数1yk x的图象过点1,0；若a为实数，则0a 。 2.2.下列说法不正确的说法是（ ） 既然抛掷硬币出现正面的概率为 0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬 币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； 若某种彩票的中奖概率为 1 10 ，则买 1000 张这种彩票一定能中奖； 在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面 还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平； 一个骰子掷一次得到 2 的概率是 6 1
4、，这说明一个骰子掷 6 次会出现一次 2。 A. B. C. D. 3.3.10 件产品中有 8 件正品，2 件次品，从中随机地取出 3 件，则下列事件中是必 然事件的为（ ） A.3 件都是正品 B.至少一件次品 C.3 件都是次品 D.至少一件正品 4.4.从一批电视机中，随机抽取 10 台进行质检，其中有一台是次品，则这批电视 机中次品率 ( ) A.大于0.1 B.小于 0.1 C.等于 0.1 D.不确定 2 5 5. .连续抛掷 1000 次硬币，那么第 999 次出现正面朝上的概率是 。 6 6. .在教师联欢会上，到会的女老师比男老师多 12 人，从这些老师中随机挑选一 人表演
5、节目，则选到男老师的概率为 9 20 ，则参加联欢会的老师共有 人。 7 7. .据调查，10000 名司机开车时约有 5000 名系安全带，若从中随意抽查一名司 机有无系安全带的情况，系安全带的概率是（ ） A.25% B.35% C.50% D.75% 8 8. .在 20 瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取瓶，恰为过保质期的概 率为（ ） A. 1 2 B. 1 10 C. 1 20 D. 1 40 【知识点【知识点 2 2】古典概型古典概型 1.1.基本事件：基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果。 2.2.等可能基本事件：等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生
6、的可能性都相同，则称 这些基本事件为等可能基本事件。 3.3.古典概型的两个条件：古典概型的两个条件： （1）所有的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。 例例 1.1.一个口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次摸 出两个球。求摸出的两个都是白球的概率是多少？ 解：解：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下 20 个基本 事件（摸到 1,2 号球用(1,2)表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)；(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)， (2,1),(3,1),(4
7、,1),(5,1),(3,2)；(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)， 记“摸到两个白球”为事件A，则事件 A 包括有 6 个基本事件： (1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(3,2)， 故 63 ( ) 2010 P A 。 摸到两白球的概率为 3 10 。 例例 2 2. .用不同的颜色给右图中的 3 个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色， 求(1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率。 解：解：如下图，基本事件共有27个， (1)记“3 个矩形颜色相同”为事件 A，由上图可知事件A包含的基本事件有 1 33 个， 31
8、 ( ) 279 P A (2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B，由上图可知事件B包含的基本事件 有2 36 个， 62 ( ) 279 P B 答：3 个矩形颜色都相同的概率为 1 9 ；3 个矩形颜色都不同的概率为 2 9 。 3 【必会题型】【必会题型】方法一：列表法方法一：列表法 1.1.同时抛掷两个骰子，计算： 向上的点数相同的概率；向上的点数之积为偶数的概率。 2.2.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求： （1）两数之和是 3 的倍数的概率；（2）两数之和不小于 10 的概率。 3 3. .从 3 件正品、1 件次品中随机取出两件，求取出的产品全是正品的概率。 4 4.
9、 .有两个不透明的箱子，每个箱子都装有 4 个完全相同的小球，球上分别标有数 字 1，2，3，4。若甲从一个箱子摸出一个球，乙从另一个箱子里摸出一个球， 谁摸出的球上的数字大谁就获胜（数字相同为平局），求甲获胜的概率。 5 5. .从甲乙丙三人中任选两名代表，求甲被选中的概率。 方法二：树状图方法二：树状图 6 6. .求一枚硬币抛三次都是正面朝上的概率。 7 7. .求抛掷三枚硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率。 8 8. .三名学生排成一排，求甲乙站在一起的概率。 9 9. .已知甲乙丙三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的 概率是多少？ 1010. .三人传球，由甲开
10、始发球，并作第一次传球，求经过 3 次传球后，球仍回到 甲手中的概率。 方法三：枚举法方法三：枚举法 1111. .有 5 条线段长度分别为 1，3，5，7，9，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条线段能构成一个三角形的概率为 。 1212. .已知甲乙两人可以随意入住两间空房，求甲乙两人恰好各住一间房的概率。 【知识点【知识点 3 3】几何概型几何概型 1.1.几何概型的概念几何概型的概念：求有关线段，平面图形，立体图形等的概率。 2.2.几何概型的条件：几何概型的条件： （1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 【必会题必会题型
11、型】 1.1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆 子，则豆子落入圆内的概率的 。 2.2.现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的 蒸馏水，则抽到细菌的概率是 。 3 3. .在等腰直角ABC的斜边AB上任取一点M， 则AM小于AC的概率是 。 4 4. .有一个半径为5的圆，现将一枚半径为1硬币向圆投去（不考虑硬币完全落在 圆外的情况），则硬币完全落入圆内的概率是 。 5 5. .某人早上醒来发现表停了，他打开收音机等待电台的整点报时，则他等待的时 间不多于 20 分钟的概率为 。 6 6. .任意剪断一条长度为 5 米的绳子， 则剪得的两段绳
12、子的长度都不小于 2 米的概 率是 。 7 7. .在长为 10 米的线段 AB 上任取一点 P，并以线段 AP 为边作正方形，则这个正 方形的面积在(25,49平方米之间的概率是 。 8 8. .某人在车站乘车出差，已知该站发往各站的车均为每小时一班，则此人等车时 间不多于 10 分钟的概率为 。 9 9. .若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率 为 。 4 1010. .在直角坐标系内，射线 OT 落在角60的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在xOT内的概率是 。 1111. .一只金鱼在一个长方体水缸中自由游弋，水缸长为 20dm，宽为 15dm
13、，则金鱼 的嘴尖离岸不超过 2dm 的概率是 。 1212. .若 2,2, 2,2xy ，则点( , )x y落在圆面 22 2xy内的概率是 。 【知识点【知识点 4 4】互斥事件互斥事件 1.1.互斥事件：互斥事件：不能同时发生的两个事件成为互斥事件。 2 2. .互斥事件的概率关系：互斥事件的概率关系：如果事件A，B互斥，那么事件BA发生的概率，等 于事件A，B分别发生的概率的和，即)()()(BPAPBAP。 3 3. .对立事件：对立事件：若两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。 事件A的对立事件记为A。 结论：结论：AA是必然事件，即：1)()()(APAPAAP，
14、( )1( )P AP A 。 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 例例题：题：某人射击 1 次，命中 7-10 环的概率 如右表所示： 求射击 1 次，至少命中 7 环的概率； 求射击 1 次，命中不足 7 环的概率。 解：解：记“射击 1 次，命中k环”为事件),10,(kNkAk且则事件 k A两两互斥。 记“射击一次，至少命中 7 环”的事件为A，则 )()( 78910 AAAAPAP=)()()()( 78910 APAPAPAP =9 . 032. 028. 018. 012. 0。 “射击一次，命中不足 7 环”是“射击一次，命中至少 7 环”的对立事件，记
15、为事件A。则1 . 09 . 01)(1)(APAP。 答：此人射击 1 次，至少命中 7 环的概率为 0.9；命中不足 7 环的概率为 0.1。 【必会题型必会题型】 1.1.如果事件A、B互斥，那么（ ） A.AB是必然事件 B.A+B是必然事件 C.A与B一定互斥 D.A与B一定不互斥 2.2.下列 4 个命题正确的是（ ） A.对立事件一定是互斥事件； B.若 A,B 为两个事件，则()( )( )P ABP AP B； C 若 A,B,C 两两互斥，则( )( )( )1P AP BP C； D.若事件 A,B 满足( )( )1P AP B，则 A,B 是对立事件。 3 3. .从
16、一批羽毛球中任取一个，质量小于 4.8 克的概率为 0.3，小于 4.85 克的概 率为 0.32，则质量在4.8，4.85克范围内的概率是（ ） A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 4.4.甲乙两人下棋， 和棋的概率是 1 3 ， 乙胜的概率是 1 2 ， 则甲不胜的概率是 。 5 5. .若 A,B 是互斥事件，则( )( )P AP B与 1 的大小关系是 。 6 6. .在 10 件产品中有 8 件一级品，2 件二级品，从中任取 3 件，记“3 件都是一级 品”为事件 A，则 A 的对立事件是 。 环数环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率概率 0.12 0.18 0.28 0.32
