1、 专题七 解直角三角形的应用 类型类型一一 简单应用简单应用 (20192019惠阳区模拟)为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A，B 两 地间的公路进行改建如图，A，B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地 需途经 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC100 千米，A45，B30. (1)开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？ (2)开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？(结果保留根号) 【分析】 (1)过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在 RtACD 中，解直角三角 形求出 CD，进而解答即可；
2、 (2)在 RtCBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出答案 【自主解答】 1 1汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许 多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设计了 如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速在 l 外取一点 P，作 PCl，垂足为点 C，测得 PC30 米，APC71，BPC35，上午 9 时测得一汽车从点A 到点B 用时6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超 速(参考数据：sin 350.57，cos 3
3、50.82，tan 350.70，sin 710.95，cos 710.33，tan 712.90) 类型类型二二 仰角、俯角问题仰角、俯角问题 (20192019空港经济区模拟)如图，为了测量矗立在高速公路水平地面上的交 通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45， 再笔直往前走 8 米到达 B 处，在 B 处测得警示牌上端 C 的仰角为 30，求警示 牌的高度 CD.(结果精确到 0.1 米，参考数据： 21.41， 31.73) 【分析】 根据 CDCMDM，求出 CM，DM 即可解决问题 【自主解答】 2 2(20192019铜仁)如图，A，B 两个小岛相距
4、 10 km，一架直升机由 B 岛飞往 A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的 h km，当直升机飞到 P 处时，由 P 处 测得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45和 60，已知 A，B，P 和海平面上一点 M 都 在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(结果取整数， 31.732) 类型类型三三 方向角问方向角问题题 (20192019菏泽)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5 月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达 A 处时，测 得小岛B位于它的北偏东30方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后 到达 C 处，测得小岛 B 位于它的西
5、北方向，求此时航母与小岛的距离 BC 的长 【分析】 过点 B 作 BDAC 于点 D，构建直角三角形进行解答即可 【自主解答】 3 3(20192019新疆)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处 (1)求海轮从 A 处到 B 处的途中与灯塔 P 之间的最短距离(结果保留根号)； (2)若海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处，试判断海轮能否在 5 小时内 到达 B 处，并说明理由(参考数据： 21.41， 31.73， 62.45) 类型类型四四 坡度、坡角问题坡度、坡角问题 如
6、图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是 10 米，坡面 AC 的倾斜角CAB45，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天 桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角BDC30，若新坡面 下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆 除(结果保留一位小数参考数据： 21.414， 31.732) 【分析】 在 RtABC，RtDBC 中，利用锐角三角函数分别计算 AB，DB，然后 计算 DH 的长，根据 DH 与 3 的关系得结论 【自主解答】 4 4某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自 动扶梯如图所
7、示，已知原阶梯式自动扶梯 AB 长为 10 m，坡角ABD 为 30； 改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACB 为 15，请你计算改造后的斜坡式自动 扶梯 AC 的长度(结果精确到 0.1 m参考数据：sin 150.26，cos 150.97，tan 150.27) 参考答案 类型一 【例 1 1】 (1)如图，过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D. ABCD， CDBCsin 301001 250(千米)， AC CD sin 4550 2(千米)， ACBC10050 2(千米) 答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走(10050 2)千米 (2)BDBCcos 30100 3
8、 2 50 3(千米)， CD1 2BC50(千米) AD CD tan 4550(千米)， ABADBD5050 3(千米)， ACBCAB10050 2(5050 3)5050 250 3(千米) 答：开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走(5050 250 3)千米 跟踪训练 1解：在 RtAPC 中， ACPCtanAPC302.987， 同理 BC21， ABACBC872166， 汽车的车速为66 6 11(米/秒)39.6(千米/小时)5 小时， 海轮以每小时 30 海里的速度从 A 处到 B 处，海轮不能在 5 小时内到达 B 处 类型四 【例 4 4】 由题意知，AH10 米，BC10 米 在 RtABC 中， CAB45，ABBC10 米 在 RtDBC 中， CDB30，DB BC tanCDB10 3(米)， DHAH(DBAB)1010 310 2010 32.7(米) 答：该建筑物需要拆除 跟踪训练 4解：在 RtABD 中，ABD30，AB10， ADAB sinABD10sin 305. 在 RtACD 中，ACD15，sinACDAD AC， AC AD sinACD 5 sin 1519.2. 答：改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度约为 19.2 m.
