1、 核心母题三 圆 【核心母题】 如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，OFAB，交AC 于点F，点 E 在 AB 的延长线上，射线 EM 经过点 C，且ACEAFO180. (1)求证：EM 是O 的切线； (2)若AE，BC 3，求阴影部分的面积(结果保留 和根号) 【知识链接】 圆周角定理，切线的性质与判定，扇形面积的计算 【母题分析】(1)连接 OC，根据垂直的定义得到AOF90，根据三角形的内 角和得到ACE90A，根据等腰三角形的性质得到OCE90，得到 OCCE，于是得到结论； (2)根据圆周角定理得到ACB90，推出ACOBCE，得到BOC 是等边 三角形，根据扇
2、形和三角形的面积公式即可得到结论 【母题解答】 角度角度一一 条件条件开放型开放型 子题 1 1：如图，已知ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF.若 AB 为O 的直径， 要使 EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)： _ 【子题分析】 根据切线的判定定理求解即可 【子题解答】 角度角度二二 结论开放型结论开放型 子题 2 2：如图，已知ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF.若 AB 是不过圆心 O 的 弦，且CAEB，那么 EF 是O 的切线吗？请证明你的判断 【子题分析】 作直径 AM，连接 CM，根据圆周角定理求出MB，ACM 90，求出MACCAE90，再
3、根据切线的判定推出即可 【子题解答】 角度角度三三 设置陷阱设置陷阱 子题 3 3：已知O 的半径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5，则弦 AB 所对的圆周 角的度数是( ) A30 B60 C30或 150 D60或 120 【子题分析】 根据特殊角的三角函数值求角度即可本题易因忽略不是直径的 弦所对的圆周角有 2 个而出错，审题时要注意题目中的陷阱 【子题解答】 角度角度四四 由静态向动态衍由静态向动态衍生生 子题 4 4：如图，ABC 中，ACB90，sin A 5 13，AC12，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心， P
4、A长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为_ 【子题分析】 注意分情况讨论 【子题解答】 角度角度五五 设置背景设置背景 子题 5 5：如图，一下水管道横截面为圆形，直径为 100 cm，下雨前水面宽为 60cm，一场大雨过后，水面宽为 80 cm，则水位上升_cm. 【子题分析】 注意分两种情形求解即可解决问题 【子题解答】 角度角度六六 与坐标、旋转结合与坐标、旋转结合 子题6 6：如图，OAC 的顶点O 在坐标原点，OA 边在x 轴上，OA2，AC1，把 OAC绕点A按顺时针方向旋转到OAC，使得点O的坐标是(1， 3)，则 在旋转过程中线段 OC 扫过部分(阴影部分)的面
5、积为_ 【子题分析】 过 O作 OMOA 于 M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据 图形得出阴影部分的面积 SS扇形 OAOSOACSOACS扇形 CACS扇形 OAO S扇形 CAC，分别求出即可 【子题解答】 角度角度七七 与三角形、四边形结合与三角形、四边形结合 子题 7 7：如图，AB 是O 的直径，DOAB 于点 O，连接 DA 交O 于点 C，过点 C 作O 的切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F. (1)求证：CEEF； (2)连接 AF 并延长，交O 于点 G.填空： 当D 的度数为_时，四边形 ECFG 为菱形； 当D 的度数为 _时，四边形 ECOG 为
6、正方形 【子题分析】 (1)连接 OC，利用切线的性质、等腰三角形的性质与判定、互 余，即可得到结论； (2)当D30时，DAO60，证明CEF 和FEG 都为等边三角形，从 而得到 EFFGGECECF，则可判断四边形 ECFG 为菱形； 当D22.5时，DAO67.5，利用三角形内角和计算出COE 45，利用对称得EOG45，则COG90，接着证明OECOEG 得到 OGEOCE90，从而证明四边形 ECOG 为矩形，然后进一步证明四边形 ECOG 为正方形 【子题解答】 模型模型一一 常见切线的判定模型常见切线的判定模型 方法 图形示例 利用等角代换证明：通过互余 的两个角之间的等量代换
7、得证 已知CAE B， 证明CAE BAC90 利用平行线性质证明：如果有 与要证的切线垂直的直线，则 证明半径与这条直线平行即可 已知 BCAC， 证明 OEAC 利用三角形全等或相似证明： 通过证明切线所在三角形与含 90角的三角形全等或相似 已知 ACBC，OA 平分COD，证 明AOCAOD 图中无 90角用等腰三角形 的性质证明：通过圆心到切点 的连线为所在等腰三角形的中 线或角平分线，根据“三线合 一”的性质得证 已知 OAOB，AC BC，证明 OCAB 子题 8 8：如图，已知 AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，点 E 在O 外，EAC B60. (1)求ADC 的度数
8、； (2)求证：AE 是O 的切线 子题9 9：如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D， 过点 B 作 PD 的垂线，与 PD 的延长线相交于点 C，若O 的半径为 4，BC6，则 PA 的长为_ 子题 1010：如图，在ABC 中，ABAC，B30，以点 A 为圆心，以 3 cm 为 半径作A，当 AB_cm 时，BC 与A 相切 模型模型二二 求阴影面积模型求阴影面积模型 基本思想：转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积 (1 1)直接和差法 图形 面积计算方法 S阴影SACBS扇形 CAD S阴影SAOBS扇形 COD S阴影S扇形 EAFSAD
9、E S阴影S扇形 BABS半圆 ABS半圆 AB S阴影S扇形之和 nr 2 360 子题 1111：如图，将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90到矩形 ABCD 的位置时，若 AB2，AD4，则阴影部分的面积为( ) A. 4 3 3 B. 2 32 3 C. 8 34 3 D. 8 32 3 子题 1212：如图，直径 AB 为 3 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B 到了 点 B处，则图中阴影部分的面积是( ) A3 B. 3 2 C6 D24 子题 1313：如图，分别以ABC 的三个顶点为圆心作A，B，C ，且半径都 是 0.5 cm，则图中三个阴影部分面积之
10、和等于( ) A. 12 cm 2 B. 8 cm 2 C. 6 cm 2 D. 4 cm 2 (2 2)构造和差法 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影S扇形 BOESOCES扇形 COD S阴影SODCS扇形 DOE S阴影S扇形 AOBSAOB S阴影S扇形 AOCSOCB 子题 1414：如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交AB 于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作CD 交 OB 于点 D.若 OA4，则图中阴影 部分的面积为( ) A. 3 3 B. 32 3 C. 3 2 3 D2 3 2 3 子题 1515：如图，AB 是O
11、的直径，弦 CDAB 于点 E，O 的半径为 3 cm，弦 CD 的长为 3 cm，则图中阴影部分的面积是_cm 2. 子题1616：如图，AB是O 的直径，C 是O 外一点，ABAC，连接BC，交O 于 点 D，过点 D 作 DEAC，垂足为 E. (1)求证：DE 与O 相切； (2)若B30，AB4，则图中阴影部分的面积是_(结果保留根号和 ) (3 3)割补法 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影S矩形 ACDF S阴影S扇形 BOC S阴影S扇形 COD 子题 1717：如图，扇形 AOB 的圆心角为直角，边长为 1 的正方形 OCDE 的顶点 C， E，D 分别在 OA，OB，
12、AB 上，过点 A 作 AFED，交 ED 的延长线于点 F，则图中 阴影部分的面积等于_ 子题1818：如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD2 3，则阴影 部分图形的面积为( ) A4 B2 C D. 子题 1919：如图，CD 是O 的直径，AB，EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB 16，CD20，EF12，则图中阴影部分的面积是( ) A9625 B8850 C50 D25 参考答案 【核心母题突破】 【核心母题】 (1)如图，连接 OC. OFAB， AOF90， AAFO90180. ACEAFO180， ACE90A. OAOC，AACO， ACE90ACOAC
13、OOCE， OCE90，OCCE，EM 是O 的切线 (2)AB 是O 的直径，ACB90， ACOBCOBCEBCO90， ACOBCE. AE，AACOBCEE， ABCBCEE2A， A30，BOC60， BOC 是等边三角形，OBBC 3， 阴影部分的面积 60（ 3） 2 360 1 2 3 3 2 1 2 3 3 4 . 【母题衍生角度】 角度一 子题 1: 1: BAE90，EACABC. 理由：BAE90，AEAB. AB 是直径，EF 是O 的切线 AB 是直径，ACB90， ABCBAC90. EACABC， BAEBACEACBACABC90， 即 AEAB. AB 是直
14、径，EF 是O 的切线 角度二 子题 2: 2: EF 是O 的切线. 证明如下： 如图，作直径 AM，连接 CM， 则ACM90，MB， MCAMBCAM90. CAEB， CAMCAE90， AEAM. AM 为直径，EF 是O 的切线 角度三 子题 3: 3: 由图可知 OA10，OD5. 在 RtOAD 中， OA10，OD5，AD OA 2OD2 102525 3， tan 1 AD OD 3，160. 同理可得260， AOB126060120. 圆周角的度数是 60或 120.故选 D. 角度四 子题 4: 4: 在ABC 中，ACB90， AB 2BC2AC2. sin A 5
15、 13 BC AB，AC12， AB13，BC5. 如图 1，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ. 设 PQPAr. PQCA， PQ CA PB AB， r 12 13r 13 ，r 156 25. 如图 2，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A，B，T 共线 ABTABC， AT AC AB AB ， AT 12 17 13， AT 204 13， r 1 2AT 102 13. 综上所述，P 的半径为 156 25或 102 13. 角度五 子题 5: 5: 如图，作半径 ODAB 于 C，连接 OB. 由垂径定理得 BC 1 2AB30 cm. 在 RtOBC 中，
16、 OC 50 230240(cm) 当水位上升到圆心以下，水面宽 80 cm 时， 则 OC 50 240230(cm) 水位上升的高度为 403010(cm)； 当水位上升到圆心以上，水面宽 80 cm 时， 水位上升的高度为 403070(cm) 综上所述，水位上升的高度为 10 cm 或 70 cm. 故答案为 10 或 70. 角度六 子题 6: 6: 如图，过 O作 OMOA 于 M，则OMA90. 点 O的坐标是(1， 3)，OM 3，OM1. AO2，AM211，tanOAM 3 1 3， OAM60，即旋转角为 60， CACOAO60. 把OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到
17、OAC， SOACSOAC， 阴影部分的面积 SS扇形 OAOSOACSOACS扇形 CACS扇形 OAOS扇形 CAC 602 2 360 601 2 360 2. 故答案为 2. 角度七 子题 7: 7: (1)如图，连接 OC. CE 为切线， OCCE， OCE90，即1490. DOAB，3B90. 23， 2B90. OBOC，4B， 12，CEFE. (2)30 22.5 【母题衍生模型】 模型一 子题 8: 8: (1)解：ABC 与ADC 都是AC 所对的圆周角， ADCB60. (2)证明：AB 是O 的直径， ACB90，BAC30， BAEBACEAC306090， 即 BAAE， AE 是O 的切线 子题 9: 9: 4 子题 10: 10: 6 模型二 子题 11: 11: D 子题 12: 12: B 子题 13: 13: B 子题 14: 14: B 子题 1 15: 5: 3 3 4 子题 16: 16: (1)证明：如图，连接 OD. ABAC，OBOD， BCODB，ODAC. DEAC，CED90， ODE90，DE 与O 相切 (2) 3 2 3 子题 17: 17: 21 子题 18: 18: D 子题 19: 19: C
