1、 （一）最短路径知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短 三、一点在两相
2、交直线内部例1：已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.ABMNE例2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AOB. .ENCMD例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？FAOBD CH例4：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处
3、牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。四、 综合应用例1：如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，问如何恰当地架桥可使ADDEEB的路程最短？例2：（二）角平分线性质判定1、角平分线的性质定理：注意两点：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等 （2）一对全等三角形 经典例题透析类型一：角平分线性质的应用 1、如图，ABC中，C=90，AD平分BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。思路
4、点拨:点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。举一反三：【变式】如图，ACB=90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CEAB,BDAC,B=C，BF=CF。求证：AF为BAC的平分线。思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。举一反三：【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DBAC,CEAB,D,E为垂足，试
5、判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。(2) 若D，E不是垂足，是否有同样的结论？并证明你的结论。类型三、角平分线的综合应用一、已知角平分线，构造三角形例题:如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180。三、作垂线段当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种：1、把已知角平分两个相等的小角；2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。例1 如图，已知：A=
6、90，ADBC，P是AB的中点，PD平分ADC，求证：CP平分DCB。分析：因为已知PD平分ADC，所以我们过P点作PECD，垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分DCB。证明：作PECD，垂足为E，APBDEC1234作图综合：如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。请你画出灯柱的位置P。图1图2分析：线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。2、直角三角形的全等问题：直角三角形的研究
7、是整个中学几何图形部分里的重点！直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。图1例1：图1，已知DOBC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？变形1：请说明BCE是直角三角形。变形2：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结CD （彩图为提示）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：CDBE图2图1变形3、如图2，在ABC中，高AD与BE相交
8、于点H，且AD=BD，问BHDACD，为什么？图2ABCEHD变形4：如图3， 已知EDAB，EFBC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。图3ACMEFBD图4变形5：如图4，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CDAD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗?请说明理由。例二：如图1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90，问BD=AB+ED吗?图5分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组9
9、0角，得到一组等量关系；（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。图6变形1：如图7， 如果ABCCDE，请说明AC与CE的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）；位置关系（垂直，平行之类）图7变形2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FAAE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形3：如图8，在ABC中，
10、BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，BDAE，CEAE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。图8分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC”，发现：AB在RtABD中，AC在RtCAE中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 变形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕
11、点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。图12图11（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图1012 （三）等腰三角形、等边三角形的全等必备知识：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例三：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=CE吗？分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等” 21图13变形2：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。 图15变形3：如图1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接BD，CE，请说明它们相等图16图17图18 13
