1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k0，x0）的图象上，点D的坐标为（ ，2）（1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k0，x0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离 【答案】（1）解：作DEBO，DFx轴于点F，点D的坐标为（ ，2），DO=AD=3，A点坐标为：（ ，5），k=5 ；（2）解：将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x0）的图象上D，DF=DF=2，D点的纵坐标为2，设点D（x，2）2=
2、，解得x= ，FF=OFOF= = ，菱形ABCD平移的距离为 ，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为 ，综上，当菱形ABCD平移的距离为 或 时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可2已知反比例函数y= 的图象经过点A（ ，1） （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点P（m， m
3、+6）也在此反比例函数的图象上（其中m0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M若线段PM上存在一点Q，使得OQM的面积是 ，设Q点的纵坐标为n，求n22 n+9的值 【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k= ，反比例函数的解析式为y= （2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C在RtAOC中，OC= ，AC=1，OA= =2，AOC=30，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB，AOB=30，OB=OA=2，BOC=60过点B作x轴的垂线交x轴于点D在RtBOD中，BD=OBsinBOD= ，OD= OB=1，B点坐标为（1， ），将x=1代入y= 中，得y= ，点B（1， ）在反比例函数y
4、= 的图象上（3）解：由y= 得xy= ，点P（m， m+6）在反比例函数y= 的图象上，其中m0，m（ m+6）= ，m2+2 m+1=0，PQx轴，Q点的坐标为（m，n）OQM的面积是 ， OMQM= ，m0，mn=1，m2n2+2 mn2+n2=0，n22 n=1，n22 n+9=8 【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（ ，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，AOC的大小，然后根据旋转的性质得出AOB=30，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反
5、比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由OQM的面积是 ，根据三角形的面积公式及m0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n22 n+9的值3如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x0）交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0 ， 0），与y轴交于点C （1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标 （2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标 （3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1 ， x2 ，
6、 x0之间的关系（不要求证明） 【答案】（1）解：直线y=ax+b与双曲线y= （x0）交于A（1，3）， k=13=3，y= ，B（3，y2）在反比例函数的图象上，y2= =1，B（3，1），直线y=ax+b经过A、B两点， 解得 ，直线为y=x+4，令y=0，则x=4，P（4，O）（2）解：如图，作ADy轴于D，AEx轴于E，BFx轴于F，BGy轴于G，AE、BG交于H， 则ADBGx轴，AEBFy轴， = ， = = ，b=y1+1，AB=BP， = ，= = ，B（ ， y1）A，B两点都是反比例函数图象上的点，x1y1= y1 ， 解得x1=2，代入 = ，解得y1=2，A（2，2）
7、，B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1 ， x2 ， x0之间的关系为x1+x2=x0 【解析】【分析】（1）先把A（1，3），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作ADy轴于D，AEx轴于E，BFx轴于F，BGy轴于G，AE、BG交于H，则ADBGx轴，AEBFy轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（ ， y1），然后根据k=xy得出x1y1= y1 ， 求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标
8、；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0 4如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c0）的图象相交于点B（3，2）、C（1，n）（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1y2时x的取值范围； （3）在y轴上是否存在点P，使PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：把B（3，2）代入 得：k=6反比例函数解析式为： 把C（1，n）代入 ，得：n=6C（1，6）把B（3，2）、C（1，6）分别代入y1=ax+b，得： ，解得： 所以一次函数解析式为y1
9、=2x4（2）解：由图可知，当写出y1y2时x的取值范围是1x0或者x3（3）解：y轴上存在点P，使PAB为直角三角形如图，过B作BP1y轴于P1 ， B P1 A=0，P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2AB交y轴于P2P2BA=90，P2AB为直角三角形在RtP1AB中， 在RtP1 AB和RtP2 AB P2（0， ）综上所述，P1（0，2）、P2（0， ） 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结
10、论5已知：O是坐标原点，P（m，n）（m0）是函数y= （k0）上的点，过点P作直线PAOP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（am）设OPA的面积为s，且s=1+ （1）当n=1时，求点A的坐标； （2）若OP=AP，求k的值； （3）设n是小于20的整数，且k ，求OP2的最小值 【答案】（1）解：过点P作PQx轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，a= = （2）解：解法一：OP=AP，PAOP，OPA是等腰直角三角形m=n= 1+ = an即n44n2+4=0，k24k+4=0，k=2解法二：OP=AP，PAOP，OPA是等腰直角三角形m=n设OPQ的面积为s1
11、则：s1= mn= （1+ ），即：n44n2+4=0，k24k+4=0，k=2（3）解：解法一：PAOP，PQOA，OPQOAP设：OPQ的面积为s1 ， 则 = 即： = 化简得：化简得：2n4+2k2kn44k=0（k2）（2kn4）=0，k=2或k= （舍去），当n是小于20的整数时，k=2OP2=n2+m2=n2+ 又m0，k=2，n是大于0且小于20的整数当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、619时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ 192+ ，192+ 182+ 32
12、+ 5，OP2的最小值是5 【解析】【分析】（1）利用OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PAOP，可得OPA是等腰直角三角形， 由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,在n的范围内求出OP2的最值.6平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x0）与y2= （x0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b（1）若ABx轴，求OAB的面积； （2）若OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b0，求ab的值；
13、（3）作边长为2的正方形ACDE，使ACx轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x0）的图象都有交点，请说明理由 【答案】（1）解：由题意知，点A（a， ），B（b， ），ABx轴， ，a=b；AB=ab=2a，SOAB= 2a =3（2）解：由（1）知，点A（a， ），B（b， ），OA2=a2+（ ）2 ， OB2=b2+（ ）2 ， OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB，OA2=OB2 ， a2+（ ）2=b2+（ ）2 ， a2b2=（ ）2（ ）2 ， （a+b）（ab）=（ + ）（ ）= ，a0，b0，ab0，ab0，a+b0，1
14、= ，ab=3（舍）或ab=3，即：ab的值为3；（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x0）的图象都有交点理由：如图，a3，AC=2，直线CD在y轴右侧且平行于y轴，直线CD一定与函数y1= （x0）的图象有交点，四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a， ）的左上方，C（a2， ），D（a2， +2），设直线CD与函数y1= （x0）相交于点F，F（a2， ），FC= = ，2FC=2 = ，a3，a20，a30， 0，2FC0，FC2，点F在线段CD上，即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x0）的图象都有交点【解析】【分析】（1）先判断出
15、a=b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可7如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求DOC的面积. （3）双曲线上是否存在一点P，使得POC和POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）解：将C(1，4)代入反
16、比例函数解析式可得：k=4，则反比例函数解析式为： ，将D(4，m)代入反比例函数解析式可得：m=1（2）解：根据点C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=x+5则点A的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0)SDOC=552512512=7.5（3）解：双曲线上存在点P(2,2),使得SPOC=SPOD，理由如下：C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)，OD=OC=，当点P在COD的平分线上时，COP=POD，又OP=OP，POCPOD，SPOC=SPOD.C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)，可得COB=DOA，又这个点是COD的平分线与双曲线的y=交点，BOP=POA
17、，P点横纵坐标坐标相等，即xy=4，x2=4，x=2，x0，x=2，y=2，故P点坐标为(2,2)，使得POC和POD的面积相等利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(2,2).答：存在，P(2，2)或P(-2，-2) 【解析】【分析】（1）观察图像，根据点C的坐标可求出函数解析式及m的值。（2）利用待定系数法，由点D、C的坐标求出直线CD的函数解析式，再求出直线CD与两坐标轴的交点A、B的坐标，然后利用SDOC=SAOB-SBOC-SAOD ， 利用三角形的面积公式计算可解答。（3）双曲线上存在点P，使得SPOC=SPOD ， 这个点就是COD的平分线与双曲线的y=交点，易证POCP
18、OD，则SPOC=SPOD ， 可得出点P点横纵坐标坐标相等，利用反比例函数解析式，建立关于x的方程，就可得出点P的坐标，利用对称性，可得出点P的另一个坐标，即可得出答案。8如图，已知，A（0，4），B（3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点（1）证明四边形ABCD为菱形； （2）求此反比例函数的解析式； （3）已知在y= 的图象（x0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标 【答案】（1）解：A（0，4），B（3，0），C（2，0），OA=4，OB=3，OC=2，AB= =5，BC=5，AB=BC，D为B点关于AC的
19、对称点，AB=AD，CB=CD，AB=AD=CD=CB，四边形ABCD为菱形（2）解：四边形ABCD为菱形，D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，4= ，k=20，反比例函数的解析式为：y= （3）解：四边形ABMN是平行四边形，ANBM，AN=BM，AN是BM经过平移得到的，首先BM向右平移了3个单位长度，N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，M点的纵坐标为： 4= ，M点的坐标为：（0， ） 【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=C
20、D=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标9已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C ， OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说
21、明理由 【答案】 （1）解：函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx24x+3，则顶点D（2，1）；（2）解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得： 直线BC的表达式为：yx+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H ， 设点P（x ， x24x+3），则点H（x ， x+3），则SPBC PHOB （x+3x2+4x3） （x2+3x）， 0，故SPBC有最大值，此时x ，故点P（ ， ）；（3）解：存在，理由： 如上图，过点C作与y轴夹角为30的直线CH ， 过点A作AHCH ， 垂足为H ， 则HQ CQ ，
22、Q+ QC最小值AQ+HQAH ， 直线HC所在表达式中的k值为 ，直线HC的表达式为：y x+3则直线AH所在表达式中的k值为 ，则直线AH的表达式为：y x+s ， 将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y x+ ，联立并解得：x ，故点H（ ， ），而点A（1，0），则AH ，即：AQ+ QC的最小值为 .【解析】【分析】（1）将坐标（1，0），B（3，0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出D的坐标. （2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（x ， x24x+3），则点H（x ， x+3），求出x的值即可. （3）存在，过点C作与y轴夹角为30的直线CH
23、 ， 过点A作AHCH ， 垂足为H ， 则HQ CQ ， Q+ QC最小值AQ+HQAH ， 求出k值，再将A的坐标代入计算即可解答.10如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，顶点为点 （1）求这条抛物线的解析式及直线 的解析式； （2） 段 上一动点（点 不与点 、 重合），过点 向 轴引垂线，垂足为 ，设 的长为 ，四边形 的面积为 求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围； （3）在线段 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）解：抛物线 与 轴交于 、 两点， ，解得： ，二次函数的解析式为 ， ， 设
24、直线 的解析式为 ， 则有 ，解得： ，直线 的解析式为 （2）解： 轴， ， 点 的坐标为 ， ， ， ， 为线段 上一动点（点 不与点 、 重合）， 的取值范围是 （3）解：线段 上存在点 ， ， 使 为等腰三角形； ， ， ，当 时， ，解得 ， （舍去），此时 ，当 时， ，解得 ， （舍去），此时 ，当 时， 解得 ，此时 （1） ， ；（2） ， 的取值范围是 ；（3） 或 或 【解析】【分析】（1）将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标，再设直线 的解析式为 ， 代入M的值计算即可.（2）由已知 轴， ，可得点 的坐标为 ，再根据 即可求得t的值.（3）存在，根据等腰三角形
25、的性质，分情况进行解答即可.11在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为P ， Q，比如P（1，2），Q（1，2）是一个“和谐点对” （1）写出反比例函数y 图象上的一个“和谐点对”； （2）已知二次函数yx2+mx+n ， 若此函数图象上存在一个和谐点对A ， B，其中点A的坐标为（2，4），求m ， n的值；在的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当AMB为锐角时，求b的取值范围【答案】 （1）解：y ， 可取P（1，1），Q（1，1）；（2）解：A（2，4）且A和B为和谐点对， B点坐标为（2，4），将A和B两点坐标代入yx2+mx+n
26、 ， 可得 ， ；如图：（） M点在x轴上方时，若AMB 为直角（M点在x轴上），则ABC为直角三角形，A（2，4）且A和B为和谐点对，B点坐标为（2，4），原点O在AB线段上且O为AB中点，AB2OA，A（2，4），OA ，AB ，在RtABC中，O为AB中点MOOA ，若AMB 为锐角，则 ；（） M点在x轴下方时，同理可得， ，综上所述，b的取值范围为： 或 【解析】【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；（2）由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；当M在x轴上方时，可先求得AMB为
27、直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围12已知抛物线 的顶点坐标为 ，经过点 . （1）求抛物线 的解析式； （2）如图1，直线 交抛物线 于 ， 两点，若 ，求 的值； （3）如图2，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，交 轴的负半轴于点 ，点 在抛物线 上. 求点 的坐标（用含 的式子表示）；若 ，求 ， 的值.【答案】 （1）解：已知抛物线 的顶点坐标为 ， 设抛物线 的解析式为 ，把 代入得：6=16a-2，解得： ，抛物线 的解析式为 （2）解：设直线 交 轴点 ，则点 的坐标 ， . ， .
28、.由 得 ， ， ， ， ， ， .（3）解：依题意得抛物线 的解析式为 . 点 在抛物线 上， ，顶点 的坐标为 ，令 ，即 . ， （舍去），点 的坐标为 .作 轴于点 ，E（2-a，0），F（a，2a-2）， ， ，又 ， ，FH/y轴，FPO=PFH=22.5，FPO=EFP，PD=FD，设 交 轴于点 ，过D作DGFH于G，则DG=OH，EFH=45， ，FEH=45，a2,OD=OE=a-2，PD=a-2- = ，HO=a， ， ， （舍去）， .【解析】【分析】（1）观察函数图像可知抛物线关于y轴对称，可得到点A时抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=ax2-2，再将点B的坐标
29、代入求出a的值，即可得到抛物线C的解析式。 （2）由点A，B的坐标，可求出AB的长，利用三角形的面积公式，可得到点N和点M的横坐标之差为1，再将两函数联立方程组，可转化为x2-2kx+4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两个根之和和两根之积，由此可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值。 （3）利用函数平移规律，可得到C1的函数解析式，由点F在抛物线C1上，可建立m与a的二次函数，再求出顶点P的坐标，将点P代入抛物线C，建立方程，求出方程的解，可得到符合题意的点E的坐标；作FHx轴于点H，用含a的代数式表示出点E，F的坐标，即可求出FH、EH的长，再去证明EFP=PFH=2
30、2.5，从而可以推出PD=FD；设EF 交y轴于点 D，过D作DGFH于G，则DG=OH，利用解直角三角形求出PD，DF，OD的长，再建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到m的值。13如图1，在RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的 速度匀速移动点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒 （1）当t=_时，PQAB （2）当t为何值时，PCQ的面积等于5cm2？ （3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将PQC翻折，得到EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相
31、应的t值；若不能，请说明理由 能垂直，理由如下：延长QE交AC于点D，将PQC翻折，得到EPQ，QCPQEP，C=QEP=90，若PEAB，则QDAB，CQDCBA， ， ，QD=2.5t，QC=QE=2tDE=0.5tA=EDP，C=DEP=90，ABCDPE， ，解得： ，综上可知：当t= 时，PEAB【答案】 （1）2.4（2）解：点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，SCPQ= CPCQ= 5，t2-6t+5=0解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）当t=1秒时，PCQ的面积等于
32、5cm2（3）解： 【解析】【解答】解：(1) 点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，当PQAB时，PQCABC，PC：AC=CQ：BC，(6-t)：6=2t：8t=2.4当t=2.4时，PQAB 【分析】（1）根据题意可得PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，根据平行线可得PQCABC，利用相似三角形对应边成比例可得PC：AC=CQ：BC，即得(6-t)：6=2t：8，求出t值即可； （2）由SCPQ=CPCQ =5，据此建立方程，求出t值即可； （3） 延长QE交AC于点D， 根据折叠
33、可得 QCPQEP，若PEAB，则QDAB，可得 CQDCBA， 利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t，根据两角分别相等可证 ABCDPE，利用相似三角形对应边成比例 ， 据此求出t值即可.14如图，抛物线y= x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0） （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点M(m ， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 【答案】 （1）解：点A（-1，0）在抛物线y= x2 +bx-2上 (-1 )2 +b (-1) 2 = 0解得b = 抛物线的解析式为y= x2-
34、 x-2.y= x2- x-2 = (x2 -3x- 4 ) = (x- )2- ,顶点D的坐标为 ( , - ).（2）解：当x = 0时y = -2, C（0，-2），OC = 2。当y = 0时， x2- x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4B (4,0)OA =1, OB = 4, AB = 5.AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,AC2 +BC2 =AB2.ABC是直角三角形.（3）解：作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M ， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD
35、的值最小。 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.EDy轴, OCM=EDM,COM=DEMCOMDEM. ，m= 解法二：设直线CD的解析式为y =kx +n ,则 ，解得n = 2， . .当y = 0时， ， .【解析】【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；（2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。15如图，已知A是双曲线y= （k0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当O
36、A在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移 个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式； （2）求k的值 【答案】（1）解：OA在第一象限的角平分线上，直线OA的解析式为y=x，将OA向上平移 个单位后，N（0， ），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0， ）代入，可得b= ，直线MN的解析式为y=x+ （2）解：如图所示，过A作ABy轴于B，过M作MDy轴于D，则MDN=ABO=90，由平移可得，MND=AOB=45，MDNABO， = =2，设A（a，a），则AB=a，MD= a=DN，DO= a+ ，M（ a， a+ ），双曲线经过点A，M，k=aa= a（ a+ ），解得a=1，k=1 【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即MDNABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.
