1、线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习:1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示:如图1, CDAB,且ADBD ACBC.定理的作用:证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2, ACBC 点C在线段AB的垂直平分线m上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的
2、距离相等.性质的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之,也成立。4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4, OE是AOB的平分线,F是OE上一点,且CFOA于点C,DFOB于点D, CFDF. 定理的作用:证明两条线段相等;用于几何作图问题;角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.5
3、、角平分线性质定理的逆定理:角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5,点P在AOB的内部,且PCOA于C,PDOB于D,且PCPD,点P在AOB的平分线上. 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示:如图6,如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、 ABC、ACB的平分线,那么: AP、BQ、CR相交于一点I; 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、
4、E、F,则DIEIFI. 定理的作用:用于证明三角形内的线段相等;用于实际中的几何作图问题.(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.精品习题:1在ABC中,C=90,BD是ABC的平分线.已知,AC=32,且AD:DC=5:3,则点D到AB的距离为_.2如图,在ABD中,AD=4,AB=3,AC平分BAD,则= ( )A B
5、C D不能确定3如图,ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ABD分为三个三角形,则S:S:S等于_.4如图所示,BAC105,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC则PAQ的度数为 5ADBC,D=,AP平分DAB,PB平分ABC,点P恰好在CD上,则PD与PC的关系是( )APDPC BPDPC CPD=PC D无法判断6如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修一个超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )A在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处C在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B的
6、角平分线的交点处 7如图,CD是RtABC斜边AB上的高,将BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则A等于( )A25 B.30 C.45 D.60 8AC=AD,BC=BD,则有()AAB垂直平分CD BCD垂直平分ABCAB与CD互相垂直平分DCD平分ACB9如图,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B下列结论中不一定成立的是()APA=PB BPO平分APB COA=OB DAB垂直平分OP10随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有()处。
7、A、1 B、2 C、3D、411在RtABC中,A=90,AB=3,AC=4,ABC,ACB的平分线交于P点,PEBC于E点,求PE的长12如图,BDA、HDC都是等腰直角三角形,且D在BC上,BH的延长线与 AC交于点E,请你判断线段AC与BH有什么关系?并说明理由. 13如图,C=90,AC=BC,AD是BAC的角平分线求证:AC+CD=AB14如图,AD为ABC的角平分线,AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F,AC于EF交于点O(1)求证:3=B;(2)连接OD,求证:B+ODB=18015已知:DAB=120,AC平分DAB,B+D=180(1)如图1,当B=D时,求证:AB
8、+AD=AC;(2)如图2,当BD时,猜想(1)中的结论是否发生改变?说明理由16小明做了一个如图所示的“风筝”骨架,其中AB=AD,CB=CD(1)小芳同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为ACBD,垂足为点E,并且BE=ED,你同意小德的判断吗?为什么?(2)设AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积17如图,ABCD,AE、DE分别平分BAD和ADE,求证:AD=AB+CD。ABECDDAECB18如图,AC平分BAD,CEAB,且B+D=180,求证:AE=AD+BE。19已知:如图在ABC中,A=90,AB=AC,BD是ABC的平分线,求证:BC=AB+ADABCD