1、提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题|类型1|圆与切线有关的问题1.2018咸宁 如图T7-1,以ABC的边AC为直径的O恰为ABC的外接圆,ABC的平分线交O于点D,过点D作DEAC交BC的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AB=25,BC=5,求DE的长.图T7-12.2018徐州 如图T7-2,AB为O的直径,点C在O外,ABC的平分线与O交于点D,C=90.(1)CD与O有怎样的位置关系?请说明理由.(2)若CDB=60,AB=6,求AD的长.图T7-2|类型2|圆与四边形结合的问题3.2017宜昌 如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC
2、,以AE为直径的O与边CD相切于点D,B点在O上,连接OB.(1)求证:DE=OE;(2)若ABCD,求证:四边形ABCD是菱形.图T7-34.2018镇江 如图T7-4,平行四边形ABCD中,ABAC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的P与对角线AC交于A,E两点.(1)如图,当P与边CD相切于点F时,求AP的长;(2)不难发现,当P与边CD相切时,P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的长的取值范围.图T7-4|类型3|圆与三角函数结合的问题5.201
3、8贵港 如图T7-5,已知O是ABC的外接圆,且AB=BC=CD,ABCD,连接BD.(1)求证:BD是O的切线;(2)若AB=10,cosBAC=35,求BD的长及O的半径.图T7-56.2018铜仁 如图T7-6,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.(1)求证:DFAC;(2)求tanE的值.图T7-6|类型4|圆与相似三角形结合的问题7.2018通辽 如图T7-7,O是ABC的外接圆,点O在BC边上,BAC的平分线交O于点D,连接BD,CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P
4、.(1)求证:PD是O的切线;(2)求证:ABDDCP;(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.图T7-78.2017苏州 如图T7-8,已知ABC内接于O,AB是直径,点D在O上,ODBC,过点D作DEAB,垂足为E,连接CD交OE于点F.(1)求证:DOEABC;(2)求证:ODF=BDE;(3)连接OC,设DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若S1S2=27,求sinA的值.图T7-8参考答案1.解:(1)证明:连接OD,AC是O的直径,ABC=90,BD平分ABC,ABD=45,AOD=90.DEAC,ODE=AOD=90,DE是O的切线.(2)在RtA
5、BC中,AB=25,BC=5,AC=AB2+BC2=5,OD=52.过点C作CGDE,垂足为G,则四边形ODGC为正方形,DG=CG=OD=52.DEAC,CEG=ACB,又ABC=CGE=90,ABCCGE,CGGE=ABBC,即52GE=255,解得GE=54,DE=DG+GE=154.2.解:(1)CD是O的切线,理由如下:连接OD,则OD=OB,2=3.BD平分ABC,2=1,1=3,ODBC.C=90,BCCD,ODCD,CD是O的切线.(2)CDB=60,C=90,2=1=3=30,AOD=2+3=30+30=60.AB=6,OA=3,AD的长=601803=.3.证明:(1)如图
6、,连接OD,CD是O的切线,ODCD,2+3=1+COD=90,又DE=EC,2=1,3=COD,DE=OE.(2)OD=OE,DE=OE,OD=DE=OE,3=COD=DEO=60,2=1=30.OA=OB=OE,且OE=DE=EC,OA=OB=DE=EC,又ABCD,4=1,2=1=4=OBA=30,ABOCDE,AB=CD.又ABCD,四边形ABCD是平行四边形.DAE=12DOE=30,1=DAE,CD=AD,四边形ABCD是菱形.4.解:(1)如图,连接PF.在RtABC中,由勾股定理得AC=BC2-AB2=102-62=8.设AP=x,则DP=10-x,PF=x.P与边CD相切于点
7、F,PFCD.四边形ABCD是平行四边形,ABCD.又ABAC,ACCD,PFAC,DPFDAC.PFAC=PDAD,即x8=10-x10.解得x=409,即AP=409.(2)409AP245或AP=55.解:(1)证明:连接BO并延长交AC于H,如图,由于O是ABC的外接圆,AB=BC,则BHAC且AH=CH.AB=CD,ABCD,四边形ABDC是平行四边形,ACBD,BHBD,即OBBD,BD是O的切线.(2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2ABcosBAC=21035=12,BD=12.设O的半径为r,且OH=x,则有r+x=BH,AH2+x2=r2,又BH=AB2-AH2=
8、102-62=8,r+x=8,又由AH2+x2=r2得(r+x)(r-x)=AH2=36,r-x=92,联立,解得r=254,O的半径为254.6.解:(1)证明:如图,连接OD,DF是O的切线,ODEF,ODE=90.AC=BC,ABC=A.OD=OB,OBD=ODB,A=ODB,ODAC,CFE=ODE=90,DFAC.(2)如图,连接BG,BC是直径,BGC=90.在RtACD中,DC=AC2-AD2=52-32=4.ABCD=2SABC=ACBG,BG=ABCDAC=645=245,CG=BC2-BG2=52-(245)2=75.BGAC,EFAC,BGEF,E=CBG,tanE=ta
9、nCBG=CGBG=724.7.解:(1)证明:连接OD.BC是O的直径,BAC=90,AD平分BAC,BAC=2BAD.又BOD=2BAD,BOD=BAC=90.DPBC,ODP=BOD=90,即PDOD,又OD是O的半径,PD是O的切线.(2)证明:DPBC,ACB=P,又ACB=ADB,ADB=P.ABD+ACD=180,ACD+DCP=180,DCP=ABD,ABDDCP.(3)BC是O的直径,BDC=BAC=90.在RtABC中,BC=AB2+AC2=52+122=13(cm).AD平分BAC,BAD=CAD,BCD=CBD,BD=CD.在RtBCD中,BD2+CD2=BC2,BD=
10、CD=22BC=2213=1322(cm).ABDDCP,ABCD=BDCP,即51322=1322CP,PC=16.9(cm).8.解:(1)证明:AB是O的直径,ACB=90.DEAB,DEO=90.DEO=ACB.ODBC,DOE=ABC,DOEABC.(2)证明:DOEABC,ODE=A.A和BDC是BC所对的圆周角,A=BDC,ODE=BDC,ODE-CDE=BDC-CDE,即ODF=BDE.(3)DOEABC,SDOESABC=ODAB2=14,即SABC=4SDOE=4S1.OA=OB,SBOC=12SABC,即SBOC=2S1.S1S2=27,S2=SBOC+SDOE+SDBE=2S1+S1+SDBE,SDBE=12S1,BE=12OE,即OE=23OB=23OD,sinA=sinODE=OEOD=23.
