1、一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在ABC中，AB=7.5，AC=9，SABC=动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正QCN，设点P运动时间为t秒（1）求cosA的值；（2）当PQM与QCN的面积满足SPQM=SQCN时，求t的值；（3）当t为何值时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN的边上【答案】（1）coaA=；（2）当t=时，满足SPQM=SQCN；（3）当
2、t=s或s时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN的边上【解析】分析：（1）如图1中，作BEAC于E利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PHAC于H利用SPQM=SQCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形如图3中，当点M落在QN上时，作PHAC于H如图4中，当点M在CQ上时，作PHAC于H分别构建方程求解即可；详解：（1）如图1中，作BEAC于ESABC=ACBE=，BE=，在RtABE中，AE=，coaA=（2）如图2中，作PHAC于HPA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9
3、-9t）2，SPQM=SQCN，PQ2=CQ2，9t2+（9-9t）2=（5t）2，整理得：5t2-18t+9=0，解得t=3（舍弃）或当t=时，满足SPQM=SQCN（3）如图3中，当点M落在QN上时，作PHAC于H易知：PMAC，MPQ=PQH=60，PH=HQ，3t=（9-9t），t=如图4中，当点M在CQ上时，作PHAC于H同法可得PH=QH，3t=（9t-9），t=，综上所述，当t=s或s时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN的边上点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考
4、问题，属于中考常考题型2在RtACB和AEF中，ACBAEF90，若点P是BF的中点，连接PC，PE.特殊发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PCPE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕点A顺时针旋转(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记k，当k为何值时，CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】 成立 ，成立 当k为时，总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P作PMCE于点
5、M，由EFAE，BCAC，得到EFMPCB，从而有，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE（2）过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，先证DAFEAF，即可得出AD=AE；再证DAPEAP，即可得出PD=PE；最后根据FDAC，BCAC，PMAC，可得FDBCPM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论（3）因为CPE总是等边三角形，可得CEP=60，CAB=60；由ACB=90，求出CBA=30；最后根据，=tan30，求出当CPE总是等边三角形时，k的值是多少即可【详解】解：（1）PC=PE成立，理由如下：如图2，过点
6、P作PMCE于点M，EFAE，BCAC，EFMPCB，点P是BF的中点，EM=MC，又PMCE，PC=PE；（2）PC=PE成立，理由如下：如图3，过点F作FDAC于点D，过点P作PMAC于点M，连接PD，DAF=EAF，FDA=FEA=90，在DAF和EAF中，DAF=EAF，FDA=FEA，AF=AF，DAFEAF（AAS），AD=AE，在DAP和EAP中，AD=AE，DAP=EAP，AP=AP，DAPEAP（SAS），PD=PE，FDAC，BCAC，PMAC，FDBCPM，点P是BF的中点，DM=MC，又PMAC，PC=PD，又PD=PE，PC=PE；（3）如图4，CPE总是等边三角形，
7、CEP=60，CAB=60，ACB=90，CBA=90ACB=9060=30，=tan30，k=tan30=，当k为时，CPE总是等边三角形【点睛】考点：1几何变换综合题；2探究型；3压轴题；4三角形综合题；5全等三角形的判定与性质；6平行线分线段成比例3如图，抛物线y=x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3（1）求tanDBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且DBP=45，求点P的坐标【答案】（1）tanDBC=；（2）P（，）【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DEBC于点E利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD/AB，OB
8、=OC，所以BCO=BCD=ABC=45由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BCDE=由此可知tanDBC=；（2）过点P作PFx轴于点F由DBP=45及ABC=45可得PBF=DBC，利用（1）中的结果得到：tanPBF=设P（x，x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（，）试题解析：（1）令y=0，则x2+3x+4=（x+1）（x4）=0，解得 x1=1，x2=4A（1，0），B（4，0）当x=3时，y=32+33+4=4，D（3，4）如图，连接CD，过点D作DEBC于点EC（0，4），CD/AB，BCD=ABC=45在
9、直角OBC中，OC=OB=4，BC=4在直角CDE中，CD=3CE=ED=，BE=BCDE=tanDBC=；（2）过点P作PFx轴于点FCBF=DBP=45，PBF=DBC，tanPBF=设P（x，x2+3x+4），则=，解得 x1=，x2=4（舍去），P（，）考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数4（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，ABCD，点B（10，0），C（7，4）直线l经过A，D两点，且sinDAB=动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿BCD的方向向点D运动，过点P作
10、PM垂直于x轴，与折线ADC相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点P，Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点A的坐标为 ，直线l的解析式为 ；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值【答案】解：（1）（4，0）；y=x+4（2）在点P、Q运动的过程中：当0t1时，如图1，过点C作CFx轴于点F，则CF=4，BF=3
11、，由勾股定理得BC=5过点Q作QEx轴于点E，则BE=BQcosCBF=5t=3tPE=PBBE=（142t）3t=145t，S=PMPE=2t（145t）=5t2+14t当1t2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167tS=PMPE=2t（167t）=7t2+16t当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t4）+（5t5）=7，解得t=当2t时，如图3，MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，S=PMMQ=4（167t）=14t+32综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为（3）当0t
12、1时，a=50，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，当0t1时，S随t的增大而增大当t=1时，S有最大值，最大值为9当1t2时，a=70，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，当t=时，S有最大值，最大值为当2t时，S=14t+32k=140，S随t的增大而减小又当t=2时，S=4；当t=时，S=0，0S4综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为（4）t=或t=时，QMN为等腰三角形【解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sinDAB=，利用特殊三角函数值，得到AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：C（7，4），ABCD，D（0，4）s
13、inDAB=，DAB=45OA=OD=4A（4，0）设直线l的解析式为：y=kx+b，则有，解得：y=x+4点A坐标为（4，0），直线l的解析式为：y=x+4（2）弄清动点的运动过程分别求解：当0t1时，如图1；当1t2时，如图2；当2t时，如图3（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值（4）QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：如图4，点M在线段CD上，MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，MN=DM=2t4，由MN=MQ，得167t=2t4，解得t=如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时QMN为等腰三角形，t=当
14、t=或t=时，QMN为等腰三角形考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用5如图，AB是O的直径，E是O上一点，C在AB的延长线上，ADCE交CE的延长线于点D，且AE平分DAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若AB6，ABE60，求AD的长【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到OAEDAE，再利用半径相等得AEOOAE，等量代换即可推出OEAD，即可解题，（2）根据30的三角函数值分别在RtABE中，AEABcos30， 在RtAD
15、E中，AD=cos30AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，AE平分DAC，OAEDAEOAOE，AEOOAEAEODAEOEADDCAC，OEDCCD是O的切线（2）解：AB是直径，AEB90，ABE60EAB30，在RtABE中，AEABcos30=6=，在RtADE中，DAEBAE30，AD=cos30AE=.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，过A作ADBC于D（如图），则sinB ，sinC，即ADc
16、sinB，ADbsinC，于是csinBbsinC，即 同理有：，所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题（1）如图，ABC中，B75，C45，BC60，则AB ；（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB（3）在（2）的条件下，试求75的正弦值（结果保留根号）【答案】（1）20；（2）15海里
17、；（3）.【解析】【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出A的角度，过B作BMAC于M，求出MBC=30，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；（3）在三角形ABC中，A=45，ABC=75，ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75的值【详解】解：（1）在ABC中，B=75，C=45，BC=60，则A=60， =， =，即 =，解得：AB=20. （
18、2）如图，依题意：BC=600.5=30（海里）CDBE，DCB+CBE=180DCB=30，CBE=150ABE=75ABC=75，A=45，在ABC中，= 即= ，解之得：AB=15答：货轮距灯塔的距离AB=15海里（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.在直角三角形ABM中，A=45，AB=15，所以AM=15，在直角三角形BDC中，BCM=60，BC=30，可求得CM=15，所以AC=15+15，由题意得， ，sin75= 【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法7如图（1），已知正方形
19、ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并直接写出FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB6，BC8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请求出tanFCN的值若FCN的大小发生改变，请举例说明【答案】（1）见解析；（2）FCN45，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，FCN的大小
20、总保持不变，tanFCN理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可（2）作FHMN于H先证ABEEHF，得到对应边相等，从而推出CHF是等腰直角三角形，FCH的度数就可以求得了（3）解法同（2），结合（1）（2）得：EFHGAD，EFHABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论【详解】（1）证明：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ABAD，AEAGEF，BADEAGADC90，BAE+EADDAG+EAD，ADG90ABE，BAEDAG，在ADG和ABE中，ADGABE（AAS）（2）解：FCN45，理由如下：作FHMN于H，如图1所示：则EHF9
21、0ABE，AEFABE90，BAE+AEB90，FEH+AEB90，FEHBAE，在EFH和ABE中，EFHABE（AAS），FHBE，EHABBC，CHBEFH，FHC90，FCN45（3）当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，理由如下：作FHMN于H，如图2所示：由已知可得EAGBADAEF90，结合（1）（2）得：EFHGAD，EFHABE，EHADBC8，CHBE，；在RtFEH中，tanFCN，当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似
22、来得出线段的相等或成比例8已知RtABC，BAC90，点D是BC中点，ADAC，BC4，过A，D两点作O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆O与DB相交于点Q时，过D作DHAB（垂足为H）并交O于点P，问：当O变动时DPDQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由【答案】（1）（2）当ON等于1或1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
23、的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OEDM，易得到ADC为等边三角形，得CAD=60，则DAO=30，DON=60，然后根据含30的直角三角形三边的关系得DN=AD=，ON=DN=1；当MD=ME，DE为底边，作DHAE，由于AD=2，DAE=30，得到DH=，DEA=60，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又M=DAE=30，MD=ME，得到MDE=75，则ADM=90-75=15，可得到DNO=45，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=，则ON=-1；（3）连AP、AQ，DPAB，得ACDP，则PDB=C=6
24、0，再根据圆周角定理得PAQ=PDB，AQC=P，则PAQ=60，CAQ=PAD，易证得AQCAPD，得到DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而ADC为等边三角形，CD=AD=2，即可得到DP-DQ的值【详解】解：（1）BAC90，点D是BC中点，BC4，ADBC；（2）连DE、ME，如图，DMDE，当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，OEDM，又ADAC，ADC为等边三角形，CAD60，DAO30，DON60，在RtADN中，DNAD，在RtODN中，ONDN1，当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；当MDME，DE为底边，如图3，作DHAE，AD2，DAE30，
25、DH，DEA60，DE2，ODE为等边三角形，OEDE2，OH1，MDAE30，而MDME，MDE75，ADM907515，DNO45，NDH为等腰直角三角形，NHDH，ON1；综上所述，当ON等于1或1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；（3）当O变动时DPDQ的值不变，DPDQ2理由如下：连AP、AQ，如图2，CCAD60，而DPAB，ACDP，PDBC60，又PAQPDB，PAQ60，CAQPAD，ACAD，AQCP，AQCAPD，DPCQ，DPDQCQDQCD2【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等也考查了等
26、腰三角形的性质以及含30的直角三角形三边的关系9如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分BAD、BF平分ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及PAF=60，过点P作PHAD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tanADP试题解析：(1)AE平分BAD BF平分ABCBAE=EAF ABF=EBFAD/BCEAF=AEB AFB=EBFBAE=AEB AFB=
27、ABFAB=BE AB=AFAF=AB=BEAD/BCABEF为平行四边形又AB=BEABEF为菱形（2）作PHAD于H由ABC=60而已（1）可知PAF=60，PA=2，则有PH=，AH=1，DH=AD-AH=5tanADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数10如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c0），以A为圆心AB长为半径的交y轴正半轴于点D，与BC有交点时，交点为E，P为上一点（1）若c6+2，BC ，的长为 ；当CP6时，判断CP与A的位置关系，井加以证明；（2）若c10，求点P与BC距离的最大值；（3）分别直接写出当c1，c6，c9，c11时
28、，点P与BC的最大距离（结果无需化简）【答案】（1）12，；详见解析；（2）；（3）答案见详解【解析】【分析】（1）先求出AB，AC，进而求出BC和ABC，最后用弧长公式即可得出结论；判断出APC是直角三角形，即可得出结论；（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论【详解】（1）如图1，c6+2，OC6+2，AC6+226，AB6，在RtBAC中，根据勾股定理得，BC12，tanABC，ABC60，AEAB，ABE是等边三角形，BAE60，DAE30，的长为，故答案为12，；CP与A相切证明：APAB6，ACOCOA6，AP2+CP
29、2108，又AC2（6）2108，AP2+PC2AC2APC90，即：CPAP而AP是半径，CP与A相切（2）若c10，即AC1028，则BC10若点P在上，APBE时，点P与BC的距离最大，设垂足为F，则PF的长就是最大距离，如图2，SABCABACBCAF，AF，PFAPAF；如图3，若点P在上，作PGBC于点G，当点P与点D重合时，PG最大此时，sinACB，即PG若c10，点P与BC距离的最大值是；（3）当c1时，如图4，过点P作PMBC，sinBCPPM=；当c6时，如图5，同c10的情况，PF6=，当c9时，如图6，同c10的情况，PF ，当c11时，如图7，点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c10时情况，DG 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键
